Đề Thi Chọn Đội Tuyển Tỉnh Quảng Ninh Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2019-2020

1. Cho dãy số $( u _ { n } )$ xác đinh bởi $$u_{ 1 } = 1 , \quad u_{ n + 1 } = \frac{1}{u_{ 1 } + u_{ 2 } + \cdots + u_{ n } } , \forall n \geq 1.$$ Chứng minh rằng tồn tại $n \in \mathbb{N}^{*}$ sao cho $$u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}>2020.$$
2. Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, đường cao $AD$, trực tâm $H$. Dựng đường tròn tâm $M$ đường kính $B C $. Từ $A$ kẻ các tiềp tuyến $A E$, $A F$ tới đường tròn $(M)$ ($E$, $F$ là các tiếp điểm). Các đường thẳng $EF$ và $BC$ cắt nhau tại $N$. Gọi $I$ là trung điểm $A H$. Đường thẳng qua $D$ vuông góc với $IM$ cắt các đường thẳng $AB$, $AC$ lần lượt tại $P$ và $Q $. Chứng minh các điểm $M$, $N$, $P$, $Q$ cùng nằm trên một đường tròn. 
3. Cho đa thức $$P_{m}(x)=x^{4}-(2 m+4) x^{2}+(m-2)^{2}$$ với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của $m$ để $P_{m}(x)$ viết được thành tích của hai đa thức hệ số nguyên có bậc lớn hơn hoặc bằng $1$.
4. Cho phương trình $$\frac{x+1}{y}+\frac{y+1}{x}=3$$ vói $x$, $y$ là các số nguyên dương. a) Tìm các nghiệm $(x, y)$ của phưưng trình sao cho $x$, $y$ nguyên tố cùng nhau. b) Chứng minh phương trình đã cho có vô số nghiệm.
5. Cho $a, b, c$ là các số thực thỏa mãn $a+b^{2} > 0$, $b+c^{2} > 0$, $c+a^{2} > 0$. Chứng minh rằng $$ \frac{3 a^{2}+1}{b+c^{2}}+\frac{3 b^{2}+1}{c+a^{2}}+\frac{3 c^{2}+1}{a+b^{2}} \geq 6 .$$
6. Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $$ x f(x+x y)=x f(x)+f\left(x^{2}\right) f(y),\, \forall x, y \in \mathbb{R} $$
7. Cho tam giác $A B C$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$, các tiếp tuyến tại $B$ và $C$ của $(O)$ cắt nhau tai $M$, các tiếp tuyến tai $A$ và $C$ của $(O)$ cắt nhau tai $N $. Các đường thẳng $A M$ và $B C$ cắt nhau tai $D$. Các đường thẳng $B N$ và $C A$ cắt nhau tai $E$. Các điểm $I$, $J$ lần lượt là trung điểm của $A D$, $B E$. a) Chứng minh $\widehat{A B I}=\widehat{B A J}$. b) Tính tỉ số các cạnh của tam giác $A B C$ để góc $\widehat{A B I}$ có số đo lớn nhất. 
8. Cho số nguyên dương $n \geq 2 $. Tìm số các tập con của tập $S_{n}=\{1 ; 2 ; 3 ; \ldots ; n\}$ chứa đúng hai số nguyên dương liên tiếp.