Đề Thi Chọn Đội Tuyển Toán Trung Quốc Tham Dự IMO 2021

1. Cho hai số nguyên dương $m$ và $n$. Xét các số thực không âm $a_{i, j}(1 \leq i \leq$ $m, 1 \leq j \leq n)$ thỏa mãn $a_{i, 1} \geq a_{i, 2} \geq \cdots \geq a_{i, n}$ và $a_{1, j} \geq a_{2, j} \geq \cdots \geq a_{m, j}$ với mọi $1 \leq i \leq m$ và $1 \leq j \leq n$. Ký hiệu $$\begin{aligned} X_{i, j} &=a_{1, j}+\cdots+a_{i-1, j}+a_{i, j}+a_{i, j-1}+\cdots+a_{i, 1}, \\ Y_{i, j} &=a_{m, j}+\cdots+a_{i+1, j}+a_{i, j}+a_{i, j+1}+\cdots+a_{i, n}.\end{aligned}$$ Chứng minh rằng $$\prod_{i=1}^{m} \prod_{j=1}^{n} X_{i, j} \geq \prod_{i=1}^{m} \prod_{j=1}^{n} Y_{i, j}.$$
2. Cho hai số nguyên dương $n$ và $k$ thỏa mãn $n > k^{2} > 4$. Trong một bảng ô vuông $n \times n$, một $k$-nhóm là một tập $k$ ô vuông con nằm trong các dòng và cột khác nhau. Tìm số nguyên dương $N$ lớn nhất sao cho có thể chọn $N$ ô vuông con trong bảng và tô màu chúng để: trong mỗi $k-$ nhóm từ $N$ ô vuông con đã được tô màu, có hai ô vuông con cùng màu và hai ô vuông con khác màu.
3. Cho số nguyên dương $n$. Chứng minh rằng với mỗi $n$ số nguyên $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$, ít nhất $\left\lceil\frac{n(n-6)}{19}\right\rceil$ số trong $\left\{1,2, \cdots, \frac{n(n-1)}{2}\right\}$ không thể biểu diễn được dưới dạng $a_{i}-a_{j}(1 \leq i, j \leq n)$.
4. Cho $f(x)$ và $g(x)$ là hai đa thức với hệ số nguyên. Biết rằng với vô hạn số nguyên tố $p$, tồn tại số nguyên $m_{p}$ sao cho $$f(a) \equiv g\left(a+m_{p}\right) \pmod p$$ với mọi số nguyên $a$. Chứng minh rằng tồn tại số hữu tỷ $r$ sao cho $$f(x)=g(x+r) .$$
5. Cho tam giác $A B C$, và một đường tròn $\Omega$ tiếp xúc với $A B$, $A C$ lần lượt tại $B$, $C$. Điểm $D$ là trung điểm của $A C$, $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$. Một đường tròn $\Gamma$ qua $A$, $C$ cắt cung nhỏ $B C$ của $\Omega$ tại $P$, và cắt $A B$ tại $Q$. Biết rằng trung điểm $R$ của cung nhỏ $P Q$ có tính chất $C R \perp A B$. Tia $P Q$ cắt $A C$ tại $L$, $M$ là trung điểm của $A L$, $N$ là trung điểm của $D R$, và $X$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $O N$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $D N X$ đi qua tâm của $\Gamma$.
6. Cho số nguyên dương $n$ và $r$ số nguyên tố đôi một khác nhau $p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{r}$. Lúc đầu, có $(n+1)^{r}$ số được viết trên bảng là $p_{1}^{i_{1}} p_{2}^{i_{2}} \cdots p_{r}^{i_{r}}$ với $0 \leq i_{1}, i_{2}, \cdots, i_{r} \leq n$. Alice và Bob chơi một trò chơi nhau sau: Họ luân phiên thực hiện lượt chơi của mình, Alice đi đầu. Với lượt chơi của Alice, cô ấy xóa hai số $a, b$ (không cần khác nhau) và viết $(a, b)$. Với lượt chơi của Bob, anh ấy xóa hai số $a, b$ (không cần khác nhau) và viết $[a, b]$. Trò chơi kết thúc khi trên bảng chỉ còn một số. Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương $M$ sao cho Alice có thể đảm bảo số còn lại không lớn hơn $M$.
7. Tứ giác $A B C D$ nội tiếp đường tròn $\Gamma$ và thỏa mãn $A B+B C=A D+D C$. Gọi $E$ là điểm chính giữa của cung $B C D$, và $F$ $(\neq C)$ là antipode của $A$ đối với $\Gamma$. Gọi $I$, $J$, $K$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $A B C$, đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác $A B C$, tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $B C D .$ Giả sử có điểm $P$ thỏa mãn $\triangle B I C \sim \triangle K P J$. Chứng minh rằng $E K$ và $P F$ cắt nhau trên $\Gamma$.
8. Cho hai số nguyên dương $n>1$ và $k$. Tìm số $c$ nhỏ nhất có tính chất: Với mỗi số nguyên dương $m$ và $k n$-đều graph $G$ với $m$ đỉnh, có thể tô màu các đỉnh của $G$ bằng $n$ màu sao cho số cạnh đơn sắc không vượt quá $c m$.
9. Cho các số nguyên dương $a, b$ và $c$ đôi một nguyên tố cùng nhau. Gọi $f(n)$ là số nghiệm tự nhiên của phương trình $a x+b y+c z=n$. Chứng minh rằng tồn tại các hằng số thực $\alpha, \beta$ và $\gamma$ sao cho $$\left|f(x)-\left(\alpha n^{2}+\beta n+\gamma\right)\right|<\frac{1}{12}(a+b+c)$$ với mỗi số tự nhiên $n$.
10. Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{Z}^{+} \rightarrow \mathbb{Z}^{+}$sao cho với mỗi hai số nguyên dương $m \geq n$, $$f\left(m \varphi\left(n^{3}\right)\right)=f(m) \cdot \varphi\left(n^{3}\right).$$
11. Cho số nguyên dương $n$ và các số thực dương $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2 n+1}$. Với $k=1,2$, $\ldots, 2 n+1$, ký hiệu $$b_{k}=\max _{0 \leq m \leq n}\left(\frac{1}{2 m+1} \sum_{i=k-m}^{k+m} a_{i}\right)$$ trong đó chỉ số lấy theo modulo $2 n+1$. Chứng minh rằng số chỉ số $k$ thỏa mãn $b_{k} \geq 1$ không vượt quá $\displaystyle 2 \sum_{i=1}^{2 n+1} a_{i}$.
12. Tìm số thực dương $a$ nhỏ nhất có tính chất: Với mỗi ba điểm $A, B$ và $C$ thuộc đường tròn đơn vị, tồn tại một tam giác đều $P Q R$ cạnh $a$ sao cho $A, B$ và $C$ nằm trong hoặc trên biên tam giác $P Q R$.
13. Cho số nguyên $n \geq 5$ và một đa giác lồi $P$, đó là $A_{1} A_{2} \ldots A_{n}$. Chứng minh rằng có thể chọn một điểm trong mỗi tứ giác $A_{i} A_{j} A_{k} A_{l}$ $(1 \leq i<j<k<l \leq n)$, sao cho $C_{n}^{4}$ điểm được chọn đôi một khác nhau và mỗi đoạn thẳng nối hai trong chúng cắt một đường chéo nào đó của $P$.
14. Cho các số nguyên dương phân biệt $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2020}$. Với $n \geq 2021, a_{n}$ là số nguyên dương nhỏ nhất khác $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n-1}$ mà không chia hết $a_{n-2020} \ldots a_{n-2} a_{n-1}$. Chứng minh rằng mọi số nguyên đủ lớn đều xuất hiện trong dãy.
15. Tìm số thực $C$ lớn nhất sao cho với mọi số nguyên $n \geq 2$, tồn tại $x_{1}, x_{2}, \ldots$, $x_{n} \in[-1,1]$ để $$\prod_{1 \leq i<j \leq n}\left(x_{i}-x_{j}\right) \geq C^{\frac{n(n-1)}{2}}$$
16. Với mỗi số nguyên dương $x$, ký hiệu $\omega(x)$ là số ước nguyên tố phân biệt của $x$ và $\Omega(x)$ là số ước nguyên tố (kể cả bội) $x$. Chứng minh rằng $$\sum_{m=1}^{n} 5^{\omega(m)} \leq \sum_{k=1}^{n}\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor \tau(k)^{2} \leq \sum_{m=1}^{n} 5^{\Omega(m)}, \quad \forall n \in \mathbb{N}^{*}$$
17. Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sao cho $$f\left(x f(y)+y^{3}\right)=y f(x)+f(y)^{3}, \quad \forall x, y \in \mathbb{R}$$
18. Một tam giác trong mặt phẳng tọa độ được gọi là tam giác lưới nếu các tọa độ của các đỉnh của nó là các cặp số nguyên. Một điểm trong mặt phẳng tọa độ được gọi là $m$-lưới $(m \in \mathbb{Z})$ nếu tọa độ của nó có các thành phần là các số nguyên chia hết cho $m$. Chứng minh rằng tồn tại hằng số $\lambda$ sao cho với mỗi số nguyên dương $m>1$ và mỗi tam giác lưới $T$, nếu $T$ chứa đúng một điểm $m$-lưới bên trong nó thì $T$ có diện tích không lớn hơn $\lambda m^{3}$.
19. Cho số nguyên $n>1$. Tìm số nguyên dương $m$ nhỏ nhất sao cho tồn tại các số thực $x_{i j}(1 \leq i<j \leq n)$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện
• Với mọi $1 \leq i<j \leq n, x_{i j}=\max \left\{x_{i 1}, x_{i 2}, \ldots, x_{i j}\right\}$ hoặc $$x_{i j}=\max \left\{x_{1 j}, x_{2 j}, \ldots, x_{i j}\right\}$$
• Với mọi $1 \leq i \leq n$, có nhiều nhất $m$ chỉ số $k$ để $$ x_{i k}=\max \left\{x_{i 1}, x_{i 2}, \ldots, x_{i k}\right\} $$
• Với mọi $1 \leq j \leq n$, có nhiều nhất $m$ chỉ số $k$ để $$x_{k j}=\max \left\{x_{1 j}, x_{2 j}, \ldots, x_{k j}\right\}$$
20. Cho tam giác $A B C$ $(A B < A C)$ với tâm nội tiếp $I$ và nội tiếp đường tròn $\odot O$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các cung $B A C$ và $B C$. Điểm $D$ nằm trên $\odot O$ sao cho $A D \| B C$, và $E$ là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác $A B C$ với $B C$. Điểm $F$ nằm trong tam giác $A B C$ sao cho $F I \| B C$ và $\angle B A F=\angle E A C$. Kéo dài $N F$ đến gặp $\odot O$ tại $G$, kéo dài $A G$ dến gặp $I F$ tại $L$. $A F$ cắt $D I$ tại $K$. Chứng minh rằng $M L \perp N K$.
21. Tìm tất cả các số nguyên $n \geq 2$ và số hữu tỷ $\beta \in(0,1)$ có tính chất: Tồn tại các số nguyên dương $a_{1}, a_{2}, \ldots a_{n}$ sao cho với mỗi $I \subseteq\{1,2, \ldots, n\}$ có ít nhất hai phần tử, $$S\left(\sum_{i \in I} a_{i}\right)=\beta \sum_{i \in I} S\left(a_{i}\right).$$ Ở đây $S(n)$ ký hiệu tổng các chữ số của $n$ trong hệ thập phân.
22. Xét các số $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{60} \in[-1,1]$, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$\sum_{i=1}^{60} x_{i}^{2}\left(x_{i+1}-x_{i-1}\right)$$ ở đây chỉ số lấy theo modulo $60$.
23. Tìm số thực $\alpha$ nhỏ nhất sao cho với mỗi đa giác lồi $P$ có diện tích 1, tồn tại điểm $M$ trong mặt phẳng để diện tích của bao lồi của $P \cup Q$ không vượt quá $\alpha$, ở đây $Q$ là ảnh của $P$ qua phép đối xứng tâm $M$.
24. Cho số nguyên $n \geq 2$ và $2 n^{2}$ kỳ thủ trong một giải đấu cờ, mỗi hai kỳ thủ gặp nhau đúng một ván. Biết rằng
    • Nếu $A$ thắng $B$ và $B$ thắng $C$, thì $A$ thắng $C$.
    • có không quá $\dfrac{n^{3}}{16}$ ván hòa.
    Chứng minh rằng có thể chọn $n^{2}$ kỳ thủ và đánh số họ là $P_{i j}$ $(1 \leq i, j \leq n)$, sao cho với mỗi $i, j, i^{\prime}, j^{\prime} \in\{1,2, \ldots, n\}$, nếu $i<i^{\prime}$ thì $P_{i j}$ thắng $P_{i^{\prime} j^{\prime}}$.