$hide=mobile

Đề Thi Chọn Đội Tuyển Toán Trung Quốc Tham Dự IMO 2021

  1. Cho hai số nguyên dương $m$ và $n$. Xét các số thực không âm $a_{i, j}(1 \leq i \leq$ $m, 1 \leq j \leq n)$ thỏa mãn $a_{i, 1} \geq a_{i, 2} \geq \cdots \geq a_{i, n}$ và $a_{1, j} \geq a_{2, j} \geq \cdots \geq a_{m, j}$ với mọi $1 \leq i \leq m$ và $1 \leq j \leq n$. Ký hiệu $$\begin{aligned} X_{i, j} &=a_{1, j}+\cdots+a_{i-1, j}+a_{i, j}+a_{i, j-1}+\cdots+a_{i, 1}, \\ Y_{i, j} &=a_{m, j}+\cdots+a_{i+1, j}+a_{i, j}+a_{i, j+1}+\cdots+a_{i, n}.\end{aligned}$$ Chứng minh rằng $$\prod_{i=1}^{m} \prod_{j=1}^{n} X_{i, j} \geq \prod_{i=1}^{m} \prod_{j=1}^{n} Y_{i, j}.$$
  2. Cho hai số nguyên dương $n$ và $k$ thỏa mãn $n > k^{2} > 4$. Trong một bảng ô vuông $n \times n$, một $k$-nhóm là một tập $k$ ô vuông con nằm trong các dòng và cột khác nhau. Tìm số nguyên dương $N$ lớn nhất sao cho có thể chọn $N$ ô vuông con trong bảng và tô màu chúng để: trong mỗi $k-$ nhóm từ $N$ ô vuông con đã được tô màu, có hai ô vuông con cùng màu và hai ô vuông con khác màu.
  3. Cho số nguyên dương $n$. Chứng minh rằng với mỗi $n$ số nguyên $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$, ít nhất $\left\lceil\frac{n(n-6)}{19}\right\rceil$ số trong $\left\{1,2, \cdots, \frac{n(n-1)}{2}\right\}$ không thể biểu diễn được dưới dạng $a_{i}-a_{j}(1 \leq i, j \leq n)$.
  4. Cho $f(x)$ và $g(x)$ là hai đa thức với hệ số nguyên. Biết rằng với vô hạn số nguyên tố $p$, tồn tại số nguyên $m_{p}$ sao cho $$f(a) \equiv g\left(a+m_{p}\right) \pmod p$$ với mọi số nguyên $a$. Chứng minh rằng tồn tại số hữu tỷ $r$ sao cho $$f(x)=g(x+r) .$$
  5. Cho tam giác $A B C$, và một đường tròn $\Omega$ tiếp xúc với $A B$, $A C$ lần lượt tại $B$, $C$. Điểm $D$ là trung điểm của $A C$, $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$. Một đường tròn $\Gamma$ qua $A$, $C$ cắt cung nhỏ $B C$ của $\Omega$ tại $P$, và cắt $A B$ tại $Q$. Biết rằng trung điểm $R$ của cung nhỏ $P Q$ có tính chất $C R \perp A B$. Tia $P Q$ cắt $A C$ tại $L$, $M$ là trung điểm của $A L$, $N$ là trung điểm của $D R$, và $X$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $O N$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $D N X$ đi qua tâm của $\Gamma$.
  6. Cho số nguyên dương $n$ và $r$ số nguyên tố đôi một khác nhau $p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{r}$. Lúc đầu, có $(n+1)^{r}$ số được viết trên bảng là $p_{1}^{i_{1}} p_{2}^{i_{2}} \cdots p_{r}^{i_{r}}$ với $0 \leq i_{1}, i_{2}, \cdots, i_{r} \leq n$. Alice và Bob chơi một trò chơi nhau sau: Họ luân phiên thực hiện lượt chơi của mình, Alice đi đầu. Với lượt chơi của Alice, cô ấy xóa hai số $a, b$ (không cần khác nhau) và viết $(a, b)$. Với lượt chơi của Bob, anh ấy xóa hai số $a, b$ (không cần khác nhau) và viết $[a, b]$. Trò chơi kết thúc khi trên bảng chỉ còn một số. Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương $M$ sao cho Alice có thể đảm bảo số còn lại không lớn hơn $M$.
  7. Tứ giác $A B C D$ nội tiếp đường tròn $\Gamma$ và thỏa mãn $A B+B C=A D+D C$. Gọi $E$ là điểm chính giữa của cung $B C D$, và $F$ $(\neq C)$ là antipode của $A$ đối với $\Gamma$. Gọi $I$, $J$, $K$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $A B C$, đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác $A B C$, tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $B C D .$ Giả sử có điểm $P$ thỏa mãn $\triangle B I C \sim \triangle K P J$. Chứng minh rằng $E K$ và $P F$ cắt nhau trên $\Gamma$.
  8. Cho hai số nguyên dương $n>1$ và $k$. Tìm số $c$ nhỏ nhất có tính chất: Với mỗi số nguyên dương $m$ và $k n$-đều graph $G$ với $m$ đỉnh, có thể tô màu các đỉnh của $G$ bằng $n$ màu sao cho số cạnh đơn sắc không vượt quá $c m$.
  9. Cho các số nguyên dương $a, b$ và $c$ đôi một nguyên tố cùng nhau. Gọi $f(n)$ là số nghiệm tự nhiên của phương trình $a x+b y+c z=n$. Chứng minh rằng tồn tại các hằng số thực $\alpha, \beta$ và $\gamma$ sao cho $$\left|f(x)-\left(\alpha n^{2}+\beta n+\gamma\right)\right|<\frac{1}{12}(a+b+c)$$ với mỗi số tự nhiên $n$.
  10. Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{Z}^{+} \rightarrow \mathbb{Z}^{+}$sao cho với mỗi hai số nguyên dương $m \geq n$, $$f\left(m \varphi\left(n^{3}\right)\right)=f(m) \cdot \varphi\left(n^{3}\right).$$
  11. Cho số nguyên dương $n$ và các số thực dương $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2 n+1}$. Với $k=1,2$, $\ldots, 2 n+1$, ký hiệu $$b_{k}=\max _{0 \leq m \leq n}\left(\frac{1}{2 m+1} \sum_{i=k-m}^{k+m} a_{i}\right)$$ trong đó chỉ số lấy theo modulo $2 n+1$. Chứng minh rằng số chỉ số $k$ thỏa mãn $b_{k} \geq 1$ không vượt quá $\displaystyle 2 \sum_{i=1}^{2 n+1} a_{i}$.
  12. Tìm số thực dương $a$ nhỏ nhất có tính chất: Với mỗi ba điểm $A, B$ và $C$ thuộc đường tròn đơn vị, tồn tại một tam giác đều $P Q R$ cạnh $a$ sao cho $A, B$ và $C$ nằm trong hoặc trên biên tam giác $P Q R$.
  13. Cho số nguyên $n \geq 5$ và một đa giác lồi $P$, đó là $A_{1} A_{2} \ldots A_{n}$. Chứng minh rằng có thể chọn một điểm trong mỗi tứ giác $A_{i} A_{j} A_{k} A_{l}$ $(1 \leq i<j<k<l \leq n)$, sao cho $C_{n}^{4}$ điểm được chọn đôi một khác nhau và mỗi đoạn thẳng nối hai trong chúng cắt một đường chéo nào đó của $P$.
  14. Cho các số nguyên dương phân biệt $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2020}$. Với $n \geq 2021, a_{n}$ là số nguyên dương nhỏ nhất khác $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n-1}$ mà không chia hết $a_{n-2020} \ldots a_{n-2} a_{n-1}$. Chứng minh rằng mọi số nguyên đủ lớn đều xuất hiện trong dãy.
  15. Tìm số thực $C$ lớn nhất sao cho với mọi số nguyên $n \geq 2$, tồn tại $x_{1}, x_{2}, \ldots$, $x_{n} \in[-1,1]$ để $$\prod_{1 \leq i<j \leq n}\left(x_{i}-x_{j}\right) \geq C^{\frac{n(n-1)}{2}}$$
  16. Với mỗi số nguyên dương $x$, ký hiệu $\omega(x)$ là số ước nguyên tố phân biệt của $x$ và $\Omega(x)$ là số ước nguyên tố (kể cả bội) $x$. Chứng minh rằng $$\sum_{m=1}^{n} 5^{\omega(m)} \leq \sum_{k=1}^{n}\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor \tau(k)^{2} \leq \sum_{m=1}^{n} 5^{\Omega(m)}, \quad \forall n \in \mathbb{N}^{*}$$
  17. Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sao cho $$f\left(x f(y)+y^{3}\right)=y f(x)+f(y)^{3}, \quad \forall x, y \in \mathbb{R}$$
  18. Một tam giác trong mặt phẳng tọa độ được gọi là tam giác lưới nếu các tọa độ của các đỉnh của nó là các cặp số nguyên. Một điểm trong mặt phẳng tọa độ được gọi là $m$-lưới $(m \in \mathbb{Z})$ nếu tọa độ của nó có các thành phần là các số nguyên chia hết cho $m$. Chứng minh rằng tồn tại hằng số $\lambda$ sao cho với mỗi số nguyên dương $m>1$ và mỗi tam giác lưới $T$, nếu $T$ chứa đúng một điểm $m$-lưới bên trong nó thì $T$ có diện tích không lớn hơn $\lambda m^{3}$.
  19. Cho số nguyên $n>1$. Tìm số nguyên dương $m$ nhỏ nhất sao cho tồn tại các số thực $x_{i j}(1 \leq i<j \leq n)$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện
    • Với mọi $1 \leq i<j \leq n, x_{i j}=\max \left\{x_{i 1}, x_{i 2}, \ldots, x_{i j}\right\}$ hoặc $$x_{i j}=\max \left\{x_{1 j}, x_{2 j}, \ldots, x_{i j}\right\}$$
    • Với mọi $1 \leq i \leq n$, có nhiều nhất $m$ chỉ số $k$ để $$ x_{i k}=\max \left\{x_{i 1}, x_{i 2}, \ldots, x_{i k}\right\} $$
    • Với mọi $1 \leq j \leq n$, có nhiều nhất $m$ chỉ số $k$ để $$x_{k j}=\max \left\{x_{1 j}, x_{2 j}, \ldots, x_{k j}\right\}$$
  20. Cho tam giác $A B C$ $(A B < A C)$ với tâm nội tiếp $I$ và nội tiếp đường tròn $\odot O$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các cung $B A C$ và $B C$. Điểm $D$ nằm trên $\odot O$ sao cho $A D \| B C$, và $E$ là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác $A B C$ với $B C$. Điểm $F$ nằm trong tam giác $A B C$ sao cho $F I \| B C$ và $\angle B A F=\angle E A C$. Kéo dài $N F$ đến gặp $\odot O$ tại $G$, kéo dài $A G$ dến gặp $I F$ tại $L$. $A F$ cắt $D I$ tại $K$. Chứng minh rằng $M L \perp N K$.
  21. Tìm tất cả các số nguyên $n \geq 2$ và số hữu tỷ $\beta \in(0,1)$ có tính chất: Tồn tại các số nguyên dương $a_{1}, a_{2}, \ldots a_{n}$ sao cho với mỗi $I \subseteq\{1,2, \ldots, n\}$ có ít nhất hai phần tử, $$S\left(\sum_{i \in I} a_{i}\right)=\beta \sum_{i \in I} S\left(a_{i}\right).$$ Ở đây $S(n)$ ký hiệu tổng các chữ số của $n$ trong hệ thập phân.
  22. Xét các số $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{60} \in[-1,1]$, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$\sum_{i=1}^{60} x_{i}^{2}\left(x_{i+1}-x_{i-1}\right)$$ ở đây chỉ số lấy theo modulo $60$.
  23. Tìm số thực $\alpha$ nhỏ nhất sao cho với mỗi đa giác lồi $P$ có diện tích 1, tồn tại điểm $M$ trong mặt phẳng để diện tích của bao lồi của $P \cup Q$ không vượt quá $\alpha$, ở đây $Q$ là ảnh của $P$ qua phép đối xứng tâm $M$.
  24. Cho số nguyên $n \geq 2$ và $2 n^{2}$ kỳ thủ trong một giải đấu cờ, mỗi hai kỳ thủ gặp nhau đúng một ván. Biết rằng
    • Nếu $A$ thắng $B$ và $B$ thắng $C$, thì $A$ thắng $C$.
    • có không quá $\dfrac{n^{3}}{16}$ ván hòa.
    Chứng minh rằng có thể chọn $n^{2}$ kỳ thủ và đánh số họ là $P_{i j}$ $(1 \leq i, j \leq n)$, sao cho với mỗi $i, j, i^{\prime}, j^{\prime} \in\{1,2, \ldots, n\}$, nếu $i<i^{\prime}$ thì $P_{i j}$ thắng $P_{i^{\prime} j^{\prime}}$.

Post a Comment


$hide=mobile

$hide=mobile

$hide=mobile

$show=post$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

Kỷ Yếu$cl=violet$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0$hide=mobile

Journals$cl=green$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0$hide=mobile

Name

Ả-rập Xê-út,1,Abel,5,Albania,2,AMM,3,Amsterdam,5,Ấn Độ,2,An Giang,23,Andrew Wiles,1,Anh,2,Áo,1,APMO,19,Ba Đình,2,Ba Lan,1,Bà Rịa Vũng Tàu,52,Bắc Giang,50,Bắc Kạn,1,Bạc Liêu,9,Bắc Ninh,48,Bắc Trung Bộ,7,Bài Toán Hay,5,Balkan,38,Baltic Way,30,BAMO,1,Bất Đẳng Thức,66,Bến Tre,46,Benelux,14,Bình Định,45,Bình Dương,23,Bình Phước,38,Bình Thuận,34,Birch,1,Booklet,11,Bosnia Herzegovina,3,BoxMath,3,Brazil,2,Bùi Đắc Hiên,1,Bùi Thị Thiện Mỹ,1,Bùi Văn Tuyên,1,Bùi Xuân Diệu,1,Bulgaria,6,Buôn Ma Thuột,1,BxMO,13,Cà Mau,14,Cần Thơ,14,Canada,40,Cao Bằng,7,Cao Quang Minh,1,Câu Chuyện Toán Học,36,Caucasus,2,CGMO,10,China,10,Chọn Đội Tuyển,351,Chu Tuấn Anh,1,Chuyên Đề,124,Chuyên Sư Phạm,31,Chuyên Trần Hưng Đạo,3,Collection,8,College Mathematic,1,Concours,1,Cono Sur,1,Contest,618,Correspondence,1,Cosmin Poahata,1,Crux,2,Czech-Polish-Slovak,26,Đà Nẵng,39,Đa Thức,2,Đại Số,20,Đắk Lắk,56,Đắk Nông,7,Đan Phượng,1,Danube,7,Đào Thái Hiệp,1,ĐBSCL,2,Đề Thi,1,Đề Thi HSG,1766,Đề Thi JMO,1,Điện Biên,8,Định Lý,1,Định Lý Beaty,1,Đỗ Hữu Đức Thịnh,1,Do Thái,3,Doãn Quang Tiến,4,Đoàn Quỳnh,1,Đoàn Văn Trung,1,Đống Đa,4,Đồng Nai,49,Đồng Tháp,52,Du Hiền Vinh,1,Đức,1,Duyên Hải Bắc Bộ,25,E-Book,33,EGMO,17,ELMO,19,EMC,9,Epsilon,1,Estonian,5,Euler,1,Evan Chen,1,Fermat,3,Finland,4,Forum Of Geometry,2,Furstenberg,1,G. Polya,3,Gặp Gỡ Toán Học,26,Gauss,1,GDTX,3,Geometry,12,Gia Lai,26,Gia Viễn,2,Giải Tích Hàm,1,Giảng Võ,1,Giới hạn,2,Goldbach,1,Hà Giang,2,Hà Lan,1,Hà Nam,29,Hà Nội,232,Hà Tĩnh,72,Hà Trung Kiên,1,Hải Dương,50,Hải Phòng,42,Hàn Quốc,5,Hậu Giang,4,Hậu Lộc,1,Hilbert,1,Hình Học,33,HKUST,7,Hòa Bình,13,Hoài Nhơn,1,Hoàng Bá Minh,1,Hoàng Minh Quân,1,Hodge,1,Hojoo Lee,2,HOMC,5,HongKong,8,HSG 10,101,HSG 11,91,HSG 12,585,HSG 9,425,HSG Cấp Trường,78,HSG Quốc Gia,106,HSG Quốc Tế,16,Hứa Lâm Phong,1,Hứa Thuần Phỏng,1,Hùng Vương,2,Hưng Yên,33,Hương Sơn,2,Huỳnh Kim Linh,1,Hy Lạp,1,IMC,26,IMO,56,IMT,1,India,45,Inequality,13,InMC,1,International,315,Iran,11,Jakob,1,JBMO,41,Jewish,1,Journal,20,Junior,38,K2pi,1,Kazakhstan,1,Khánh Hòa,17,KHTN,54,Kiên Giang,64,Kim Liên,1,Kon Tum,18,Korea,5,Kvant,2,Kỷ Yếu,42,Lai Châu,4,Lâm Đồng,33,Lạng Sơn,21,Langlands,1,Lào Cai,17,Lê Hải Châu,1,Lê Hải Khôi,1,Lê Hoành Phò,4,Lê Khánh Sỹ,3,Lê Minh Cường,1,Lê Phúc Lữ,1,Lê Phương,1,Lê Quý Đôn,1,Lê Viết Hải,1,Lê Việt Hưng,1,Leibniz,1,Long An,42,Lớp 10,10,Lớp 10 Chuyên,455,Lớp 10 Không Chuyên,229,Lớp 11,1,Lục Ngạn,1,Lượng giác,1,Lương Tài,1,Lưu Giang Nam,2,Lý Thánh Tông,1,Macedonian,1,Malaysia,1,Margulis,2,Mark Levi,1,Mathematical Excalibur,1,Mathematical Reflections,1,Mathematics Magazine,1,Mathematics Today,1,Mathley,1,MathLinks,1,MathProblems Journal,1,Mathscope,8,MathsVN,5,MathVN,1,MEMO,11,Metropolises,4,Mexico,1,MIC,1,Michael Guillen,1,Mochizuki,1,Moldova,1,Moscow,1,Mỹ,10,MYM,227,MYTS,4,Nam Định,33,Nam Phi,1,Nam Trung Bộ,1,National,249,Nesbitt,1,Newton,4,Nghệ An,52,Ngô Bảo Châu,2,Ngô Việt Hải,1,Ngọc Huyền,2,Nguyễn Anh Tuyến,1,Nguyễn Bá Đang,1,Nguyễn Đình Thi,1,Nguyễn Đức Tấn,1,Nguyễn Đức Thắng,1,Nguyễn Duy Khương,1,Nguyễn Duy Tùng,1,Nguyễn Hữu Điển,3,Nguyễn Mình Hà,1,Nguyễn Minh Tuấn,8,Nguyễn Phan Tài Vương,1,Nguyễn Phú Khánh,1,Nguyễn Phúc Tăng,1,Nguyễn Quản Bá Hồng,1,Nguyễn Quang Sơn,1,Nguyễn Tài Chung,5,Nguyễn Tăng Vũ,1,Nguyễn Tất Thu,1,Nguyễn Thúc Vũ Hoàng,1,Nguyễn Trung Tuấn,8,Nguyễn Tuấn Anh,2,Nguyễn Văn Huyện,3,Nguyễn Văn Mậu,25,Nguyễn Văn Nho,1,Nguyễn Văn Quý,2,Nguyễn Văn Thông,1,Nguyễn Việt Anh,1,Nguyễn Vũ Lương,2,Nhật Bản,4,Nhóm $\LaTeX$,4,Nhóm Toán,1,Ninh Bình,42,Ninh Thuận,15,Nội Suy Lagrange,2,Nội Suy Newton,1,Nordic,19,Olympiad Corner,1,Olympiad Preliminary,2,Olympic 10,99,Olympic 10/3,5,Olympic 11,92,Olympic 12,30,Olympic 24/3,7,Olympic 27/4,20,Olympic 30/4,69,Olympic KHTN,6,Olympic Sinh Viên,73,Olympic Tháng 4,12,Olympic Toán,304,Olympic Toán Sơ Cấp,3,PAMO,1,Phạm Đình Đồng,1,Phạm Đức Tài,1,Phạm Huy Hoàng,1,Pham Kim Hung,3,Phạm Quốc Sang,2,Phan Huy Khải,1,Phan Thành Nam,1,Pháp,2,Philippines,8,Phú Thọ,30,Phú Yên,29,Phùng Hồ Hải,1,Phương Trình Hàm,11,Phương Trình Pythagoras,1,Pi,1,Polish,32,Problems,1,PT-HPT,14,PTNK,45,Putnam,25,Quảng Bình,44,Quảng Nam,32,Quảng Ngãi,34,Quảng Ninh,43,Quảng Trị,27,Quỹ Tích,1,Riemann,1,RMM,12,RMO,24,Romania,36,Romanian Mathematical,1,Russia,1,Sách Thường Thức Toán,7,Sách Toán,69,Sách Toán Cao Học,1,Sách Toán THCS,7,Saudi Arabia,7,Scholze,1,Serbia,17,Sharygin,24,Shortlists,56,Simon Singh,1,Singapore,1,Số Học - Tổ Hợp,27,Sóc Trăng,28,Sơn La,12,Spain,8,Star Education,5,Stars of Mathematics,11,Swinnerton-Dyer,1,Talent Search,1,Tăng Hải Tuân,2,Tạp Chí,14,Tập San,6,Tây Ban Nha,1,Tây Ninh,29,Thạch Hà,1,Thái Bình,39,Thái Nguyên,49,Thái Vân,2,Thanh Hóa,62,THCS,2,Thổ Nhĩ Kỳ,5,Thomas J. Mildorf,1,THPT Chuyên Lê Quý Đôn,1,THPTQG,15,THTT,7,Thừa Thiên Huế,36,Tiền Giang,19,Tin Tức Toán Học,1,Titu Andreescu,2,Toán 12,7,Toán Cao Cấp,3,Toán Chuyên,2,Toán Rời Rạc,5,Toán Tuổi Thơ,3,Tôn Ngọc Minh Quân,2,TOT,1,TPHCM,126,Trà Vinh,6,Trắc Nghiệm,1,Trắc Nghiệm Toán,2,Trại Hè,34,Trại Hè Hùng Vương,25,Trại Hè Phương Nam,5,Trần Đăng Phúc,1,Trần Minh Hiền,2,Trần Nam Dũng,9,Trần Phương,1,Trần Quang Hùng,1,Trần Quốc Anh,2,Trần Quốc Luật,1,Trần Quốc Nghĩa,1,Trần Tiến Tự,1,Trịnh Đào Chiến,2,Trung Quốc,14,Trường Đông,19,Trường Hè,7,Trường Thu,1,Trường Xuân,2,TST,56,Tuyên Quang,6,Tuyển Sinh,3,Tuyển Sinh 10,680,Tuyển Tập,44,Tuymaada,4,Undergraduate,67,USA,44,USAJMO,10,USATST,7,Uzbekistan,1,Vasile Cîrtoaje,4,Vật Lý,1,Viện Toán Học,2,Vietnam,4,Viktor Prasolov,1,VIMF,1,Vinh,27,Vĩnh Long,21,Vĩnh Phúc,64,Virginia Tech,1,VLTT,1,VMEO,4,VMF,12,VMO,47,VNTST,22,Võ Anh Khoa,1,Võ Quốc Bá Cẩn,26,Võ Thành Văn,1,Vojtěch Jarník,6,Vũ Hữu Bình,7,Vương Trung Dũng,1,WFNMC Journal,1,Wiles,1,Yên Bái,18,Yên Định,1,Yên Thành,1,Zhautykov,11,Zhou Yuan Zhe,1,
ltr
item
MOlympiad: Đề Thi Chọn Đội Tuyển Toán Trung Quốc Tham Dự IMO 2021
Đề Thi Chọn Đội Tuyển Toán Trung Quốc Tham Dự IMO 2021
MOlympiad
https://www.molympiad.net/2021/08/de-thi-chon-doi-tuyen-toan-trung-quoc-tham-du-imo-2021.html
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/2021/08/de-thi-chon-doi-tuyen-toan-trung-quoc-tham-du-imo-2021.html
true
2506595080985176441
UTF-8
Loaded All Posts Not found any posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU LABEL ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow THIS PREMIUM CONTENT IS LOCKED Please share to unlock Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy