# [Solutions] Nordic Mathematical Contest 2011

1. When $a_0, a_1, \dots , a_{1000}$ denote digits, can the sum of the $1001$-digit numbers $a_0a_1\cdots a_{1000}$ and $a_{1000}a_{999}\cdots a_0$ have odd digits only?
2. In a triangle $ABC$ assume $AB = AC$, and let $D$ and $E$ be points on the extension of segment $BA$ beyond $A$ and on the segment $BC$, respectively, such that the lines $CD$ and $AE$ are parallel. Prove $$CD \ge \frac{4h}{BC}CE.$$ where $h$ is the height from $A$ in triangle $ABC$. When does equality hold?
3. Find all functions $f$ such that $f(f(x) + y) = f(x^2-y) + 4yf(x)$ for all real numbers $x$ and $y$.
4. Show that for any integer $n \ge 2$ the sum of the fractions $\frac{1}{ab}$, where $a$ and $b$ are relatively prime positive integers such that $a < b \le n$ and $a+b > n$, equals $\frac{1}{2}$. (Integers $a$ and $b$ are called relatively prime if the greatest common divisor of $a$ and $b$ is $1$.)
 MOlympiad.NET là dự án thu thập và phát hành các đề thi tuyển sinh và học sinh giỏi toán. Quý bạn đọc muốn giúp chúng tôi chỉnh sửa đề thi này, xin hãy để lại bình luận facebook (có thể đính kèm hình ảnh) hoặc google (có thể sử dụng $\LaTeX$) bên dưới. BBT rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc liên hệbbt.molympiad@gmail.comChúng tôi nhận tất cả các định dạng của tài liệu: $\TeX$, PDF, WORD, IMG,...