$hide=mobile

[Hình Học Sơ Cấp] Hàng Điểm Điều Hòa

Lý thuyết.

Định nghĩa 1. Cho $4$ điểm $A$, $B$, $C$, $D$ thẳng hàng. Khi đó tỉ số kép của $4$ điểm $A$, $B$, $C$, $D$ kí hiệu là $(ABCD)$ và được tính bởi công thức \[\left( {ABCD} \right) = \frac{{\overline {CA} }}{{\overline {CB} }}:\frac{{\overline {DA} }}{{\overline {DB} }}\] Định nghĩa 2. Nếu tỉ số kép của $4$ điểm $A$, $B$, $C$, $D$ bằng $-1$ thì $4$ điểm $A$, $B$, $C$, $D$ được gọi là hàng điểm điều hòa. Kí hiệu là $(ABCD) = -1$.

Ví dụ 3. Cho tam giác $ABC$. Gọi $D$, $E$ là chân đường phân giác trong và phân giác ngoài của góc $A$. Khi đó $A$, $B$, $D$, $E$ là hàng điểm điều hòa.

Tính chất 4. Từ định nghĩa suy ra: $$\begin{align}(ABCD) &= (CDAB) = (BADC) = (DCBA) \\ (ABCD) &= 1/(BACD) = 1/(ABDC) \\ (ABCD) &= 1 -(ACBD) = 1 -(DBCA) \\ (ABCD) &= (A’BCD) \Leftrightarrow A \equiv A’\end{align}$$ Tính chất 5. Trên trục số cho $4$ điểm $A$, $B$, $C$, $D$. Khi đó các mệnh đề sau tương đương 
  • $A$, $B$,  $C$, $D$ là hàng điểm điều hòa.
  • $\dfrac{{\overline {CA} }}{{\overline {CB} }} = – \dfrac{{\overline {DA} }}{{\overline {DB} }}$
  • $\dfrac{2}{{\overline {AB} }} = \dfrac{1}{{\overline {AC} }} + \dfrac{1}{{\overline {AD} }}$
  • ${\overline {IA} ^2} = \overline {IC} .\overline {ID}$ ($I$ là trung điểm của đoạn $AB$).
  • $\overline {AC} .\overline {AD} = \overline {AB} .\overline {AK} $ ($K$ là trung điểm của đoạn $CD$).
Định lý 6. Cho $A$, $B$, $C$, $D$ thuộc đường thẳng $(d)$. $S$ nằm ngoài $(d)$. Từ $C$ kẻ đường thẳng song song với $SD$ cắt $SA$, $SB$ tại $A’$ và $B’$. Khi đó \[\left( {ABCD} \right) = \dfrac{{\overline {CA’} }}{{\overline {CB’} }}\] Hệ quả 7. Bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ là hàng điểm điều hòa khi và chỉ khi $C$ là trung điểm của $A’B’$.

Định nghĩa 8. Cho đường thẳng $(d)$ và $S$ ở ngoài $(d)$. Với mỗi điểm $M$ ($M$ không thuộc đường thẳng qua $S$ và song song với $(d)$ , $SM$ cắt $(d)$ tại $M’$. Vậy $M \to M’$ là phép chiếu xuyên tâm $S$ lên đường thẳng $(d)$.

Định lý 9. Cho $4$ đường thẳng $a$, $b$, $c$, $d$ cắt nhau tại $S$. Một đường thẳng cắt $a$, $b$, $c$, $d$ lần lượt tại $A$, $B$, $C$, $D$. Khi đó ta có \[\left( {abcd} \right) = \left( {ABCD} \right) = \frac{{\sin \left( {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SC} } \right)}}{{\sin \left( {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SD} } \right)}}:\frac{{\sin \left( {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} } \right)}}{{\sin \left( {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SD} } \right)}}\] Tính chất 10. Phép chiếu xuyên tâm bảo toàn tỉ số kép. Tức là qua phép chiếu xuyên tâm $S$ lên đường thẳng $(d)$, $A \to A’$, $B \to B’$, $C \to C’$, $D \to D’$ thì $(ABCD) = (A’B’C’D’)$.

Tính chất 11. Cho bốn đường thẳng $a$, $b$, $c$, $d$ cắt nhau tại $S$, một đường thẳng $\Delta$ cắt $4$ đường thẳng tại $4$ điểm $A$, $B$, $C$, $D$ thì $(ABCD)$ không phụ thuộc vào $\Delta$. Người ta gọi $(ABCD)$ là tỉ số kép của chùm $4$ đường thẳng. Kí hiệu là $S(ABCD)$ hay $(abcd)$.

Định nghĩa 12. Nếu $S(ABCD) = -1$ thì ta gọi $a$, $b$, $c$, $d$ là chùm điều hoà.

Tính chất 13. Từ tính chất của tỉ số kép ta có tính chất sau của chùm $4$ đường thẳng $$(a, b, c, d) = (a’, b, c, d) \Leftrightarrow a \equiv a’$$   Hệ quả 14. Nếu $S(ABCD) = S(A’BCD)$ thì $S$, $A$, $A’$ thẳng hàng.

Hệ quả 15. Cho hai đường thẳng $(d)$ và $(d’)$ cắt nhau tại $O$. Trên $(d)$ lấy các điểm $A$, $B$, $C$; trên $(d’)$ lấy các điểm $A’$, $B’$, $C’$. Khi đó $(OABC) = (OA’B’C’)$ khi và chỉ khi $AA’$, $BB’$ và $CC’$ đôi một song song hoặc đồng qui.

Định lý 16. Cho chùm điều hòa $(abcd)$. Ta có $b \bot d$ khi và chỉ khi $b$, $d$ là phân giác trong và phân giác ngoài của góc tạo bởi $a$ và $c$.

Định lý 17. Cho đường $a$, $b$, $c$ cắt nhau tại $O$, và $a’$, $b’$, $c’$ cắt nhau tại $O’$. Gọi $d$ là đường thẳng đi qua hai điểm $OO’$. Gọi $A$ là giao của $a$ và $a’$; $B$ là giao của $b$ và $b’$; $C$ là giao của $c$ và $c’$. Khi đó $A$, $B$, $C$ thẳng hàng khi và chi khi $(abcd) = (a’b’c’d)$.

Các ví dụ.

Một số ứng dụng của hàng điểm và phép chiếu xuyên tâm trong các định lý quen thuộc. Đầu tiên là một số ví dụ về các hàng điểm điều hòa quen thuộc.

Ví dụ 1. Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$; $I$ là giao điểm của hai cạnh bênh $AD$ và $BC$. $IO$ cắt $AB$ và $CD$ tại $MN$. Khi đó $I$, $O$, $M$, $N$ là hàng điểm điều hòa. Gọi $J$ là giao điểm của $AB$ và $CD$, khi đó $J$, $N$, $D$, $C$ cũng là hàng điểm điều hòa.

Cách 1. Ta có thể dùng định lý Ceva và Meneluas để tính toán các tỉ số. Áp dụ ng định lý Menelaus cho tam giác $IOA$ cho cát tuyến $DNC$ ta có \[\dfrac{{\overline {NO} }}{{\overline {NI} }}.\dfrac{{\overline {DI} }}{{\overline {DA} }}.\dfrac{{\overline {CA} }}{{\overline {CO} }} = 1.\] Tương tự cho tam giác $IOC$ ta có \[\dfrac{{\overline {MO} }}{{\overline {MI} }}.\dfrac{{\overline {BI} }}{{\overline {BC} }}.\dfrac{{\overline {AC} }}{{\overline {AO} }} = 1.\] Mặt khác áp dụng Menelaus cho tam giác $IAC$ ta có \[\dfrac{{\overline {BI} }}{{\overline {BC} }}.\dfrac{{\overline {OC} }}{{\overline {OA} }}.\dfrac{{\overline {DA} }}{{\overline {DI} }} = 1\] Từ các điều trên ta có \[\dfrac{{\overline ne {NO} }}{{\overline {NI} }}:\dfrac{{\overline {MO} }}{{\overline {MI} }} = – 1.\] Nên $I$, $O$, $M$, $N$ là hàng điểm điều hòa.

Cách 2. Sử dụng phép chiếu xuyên tâm. Ta có $$(IOMN) = C(IOMN) = (BAMJ) = D(BAMJ) = (OIMN)  = 1/(IOMN).$$ Do đó $(IOMN) = – 1$ vì $(IOMN) \neq 1$. Vậy $(IOMN)$ là hàng điểm điều hòa. Hơn nữa ta có $$– 1 = (IOMN) = B(IOMN) = (CDJN).$$ Vậy $J$, $N$, $D$, $C$ là hàng điểm điều hòa.

Ví dụ 2. Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Đường tròn $(I)$ tiếp xúc với $BC$, $AB$, $AC$ lần lượt tại $D$, $E$, $F$. $EF$ cắt $BC$ tại $P$.
a) Khi đó $P$, $D$, $B$, $C$ là hàng điểm điều hòa. 
b) Gọi $H$ là hình chiếu của $D$ trên $EF$. Chứng minh $HD$ là phân giác $\angle BHC$.

Gợi ý. a) Áp dụng Menelaus cho tam giác $ABC$ ta có $$ \dfrac{PB}{PC}.\dfrac{EC}{EA}.\dfrac{FA}{FB} = 1.$$ Suy ra $$\dfrac{PB}{PC} = \dfrac{FB}{FC} = \dfrac{DB}{DC}.$$ Do đó $B$, $C$, $P$, $D$ là hàng điểm điều hòa.
b) Ta có $H(BCPD) = -1$ mà $HD \bot HP$, suy ra $HD$, $HP$ lần lượt là phân giác ngoài và phân giác trong của $\angle BHC$.

Ngoài ra ta còn biết hàng điểm điều hòa như:
  • Tâm hai đường tròn và tâm vị tự ngoài và tâm vị tự trong của hai đường tròn đó tạo thành hàng điểm điều hòa.
  • Tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn Euler, trực tâm và trọng tâm tạo thành hàng điểm điều hòa. (Đây là trường hợp đặc biệt của tính chất trên)
Ta có thể sử dụng phép chiếu xuyên tâm để chứng minh các định lý sau.

Ví dụ 3. (Định lý Papus) Cho hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta ‘$. Trên $\Delta$ lấy các điểm $A$, $B$, $C$ và trên $\Delta’$ lấy các điểm $A’$, $B’$, $C’$. Gọi $M$ là giao của $AB’$ và $A’B$; $N$ là giao của $AC’$ và $A’C$ và $P$ là giao của $BC’$ và $B’C$. Chứng minh rằng $M$, $N$, $P$ thẳng hàng.

Gợi ý. Gọi $K$ là giao điểm của $AC’$ và $A’B$; $I$ là giao điểm của $A’C$ và $BC’$. Ta có $$(BKMA’) = A(BKMA’) = A(CNLA’) = (CNLA’)$$ và $$(BC’PI) = C(BC’PI) = C(AC’HN) = B'(AC’HN) = (LA’CN) = (CNLA’).$$ Do đó $(BKMA’) = (BC’PI)$, suy ra $C’K$, $MP$ và $A’I$ đồng quy, hay $M$, $N$, $P$ thẳng hàng.

Ví dụ 4. (Định lý Pascal) Cho đường tròn $(w)$. Trên $(w)$ lấy các điểm $A$, $B$, $C$ và $A’$, $B’$, $C’$. Gọi $M$ là giao của $AB’$ và $A’B$; $N$ là giao của $AC’$ và $A’C$ và $P$ là giao của $BC’$ và $B’C$. Chứng minh rằng $M$, $N$, $P$ thẳng hàng.

Gợi ý. Gọi $L$ là giao điểm của $AC’$ và $A’B$, $K$ là giao điểm của $A’C$ và $BC’$. Xét tứ giác $A’BC’B’$. Ta có $$(BLMA’) = A(BC’B’A’) = C(BC’B’A’) = (BC’PK).$$ Suy ra $C’L$, $PM$ và $A’K$ đồng quy. Vậy $M$, $N$, $P$ thẳng hàng.

Ví dụ 5. (Định lý Desargue) Cho hai tam giác $ABC$ và $A’B’C’$. Gọi $P$ là giao điểm của $AB$ và $A’B’$; $Q$ là giao điểm của $AC$ và $A’C’$; $R$ là giao điểm của $BC$ và $B’C’$. Khi đó $P$, $Q$, $R$ thẳng hàng khi và chỉ khi $AA’$, $BB’$, $CC’$ đồng quy.

Gợi ý. Chiều thuận. Cho $M, N, P$ thẳng hàng, ta chứng minh $AA’, BB’, CC’$ đồng quy. Gọi $S$ là giao điểm của $AA’$ và $CC’$. Ta chứng minh $S, B, B’$ thẳng hàng. Ta có $$N(SAMA’) = M(SANA’) = N(SCMC’) = P(SCMC’).$$ Mà $S$ là giao của $NS$ và $PS$, $B$ là giao của $MA$ và $PC$, $B’$ là giao của $MA’$ và $PC’$, suy ra $S$, $B’$, $B$ thẳng hàng. Hay $AA’$, $BB’$, $CC’$ đồng quy. 
Chiều đảo. Áp dụng chiều thuận cho tam giác $AMA’$ và $CPC’$ .

Áp dụng vào giải các bài toán.

Ví dụ 6. Cho tam giác $ABC$, đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác tiếp xúc với $AC$, $AB$, $BC$ lần lượt tại $E$, $F$ và $D$. $ID$ cắt $EF$ tại $K$. Chứng minh $AK$ đi qua trung điểm của $BC$.

Gợi ý. Gọi $M$ là giao điểm của $AK$ và $BC$, ta chứng minh $M$ là trung điểm $BC$. Qua $A$ dựng đường thẳng $(d)$ song song với $BC$. Ta cần chứng minh $(d, AM, AB, AC) = -1$. Gọi $J$ là giao điểm của $EF$ và $(d)$. Ta có $(d, AM, AB, AC) = (JKFE)$. Gọi $H$ là giao điểm của $ID$ và $(d)$, ta có $AH \bot IH$, suy ra $H$, $A$, $E$, $F$, $I$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AI$. Hơn nữa $IE = IF$, suy ra $\angle FHI = \angle EHI$. Từ đó ta có $HK, HJ$ là phân giác trong và phân giác ngoài của $\angle EHF$. Do đó $(JKFE) = -1$. Suy ra $(d, AM, AB, AC) = – 1$, vậy $M$ là trung điểm của $BC$.

Ví dụ 7. (BMO 2007) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $D$ là một điểm trên cạnh $AC$. Gọi $E$ là điểm đối xứng của $A$ qua $BD$. Đường thẳng qua $D$ vuông góc với $BC$ cắt $CE$ tại $F$. Chứng minh $DE$ và $AF$ cắt nhau tại một điểm thuộc đường thẳng $BC$.

Gợi ý. Gọi $I$ là giao điểm của $DF$ và $AE$, $J$ là giao điểm của $AF$ và $ED$, $K$ là giao điểm của $CB$ và $AE$. Ta có $HK. HI = HD.HB = HE^2$, mà $H$ là trung điểm của $AE$ nên $(AEKI) = – 1$. Suy ra $B(AEKI) = – 1$. Mặt khác, xét tứ giác $ADFE$ thì theo bài toán 1 ta có $C(AEJI) = – 1$. Do đó $B(AEKI) = C(AEJI)$, suy ra $B$, $J$, $C$ thẳng hàng.

Ví dụ 8. (IMO Shortlist 2006) Hai đường tròn $(O_1)$, $(O_2)$ tiếp xúc ngoài nhau tại $C$ và tiếp xúc trong với $(O)$ tại $D$ và $E$. Gọi $(d)$ là tiếp tuyến chung của $(O_1)$ và $(O_2)$ tại $C$. $AB$ là đường kính của $(O)$ sao cho $A$, $D$, $O_1$ cùng phía đối với $(d)$. Chứng minh rằng $AO_1$, $BO_2$ và $DE$ đồng quy.

Gợi ý. Ta có $\triangle DO_1C \backsim \triangle DOB$ (c.g.c), suy ra $\angle O_1DC =\angle ODB$, suy ra $D$, $C$, $B$ thẳng hàng. Chứng minh tương tự ta cũng có $A$, $C$, $E$ thẳng hàng. Hơn nữa nếu $Z$, $Y$ là giao của $O_1O_2$ với $(O_1)$ và $(O_2)$ thì $Z$ thuộc $AD$ và $Y$ thuộc $EB$. Do đó $\angle AEB = \angle ADB = 90^\circ$. Do đó $C$ là trực tâm của tam giác $MAB$ ($M$ là giao điểm của $AD$ và $BE$). Suy ra $M \in (d)$. Gọi $P$, $H$ là giao điểm của $MC$ và $DE$ và $AB$. Khi đó ta có $(MCPH) = – 1$, suy ra $A(DPCH) = -1$. Mặt khác xét chùm $A(DO_1CH)$, đường thẳng qua $O_1$ song song với $AH$ cắt $AD$ và $AC$ tại $Z$ và $C$ và $O_1$ là trung điểm của $CZ$ nên $A(DO1CH) = – 1$. Từ $A(DPCH) = -1$ và $A(DO1CH) = – 1$ ta có $A$, $O_1$, $P$ thẳng hàng. Chứng minh tương tự ta cũng có $B$, $O_2$, $P$ thẳng hàng. Do đó ta có $AO_1$, $BO_2$, $DE$ đồng quy tại $P$.

Bài tập.

  1. Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $P$ thuộc tia đối của tia $AO$. Đường thẳng $b, c$ đối xứng với $PB$ qua $AB$ và $PC$ qua $AC$. Chứng minh giao điểm của $b$ và $c$ thuộc trên một đường cố định.
  2. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$ ($AB < AC$). Gọi $E$ là điểm đối xứng của $A$ qua $BC$ và $D$ là giao điểm của tiếp tuyến tại $A$ với $BC$. Gọi $X$ là hình chiếu của $A$ trên $BE$, $M$ là trung điểm $AX$. Gọi $Z$ là giao điểm của $BM$ và $(O)$. Chứng minh rằng $CD$ là tiếp tuyến của đường tròn $(AZD)$.
  3. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $E$ là một điểm di động trên $(O)$. $AE$ cắt các tiếp tuyến tại $B, C$ của $(O)$ tương ứng tại $M, N$. $BN$ cắt $CM$ tại $F$. Chứng minh rằng đường thẳng $EF$ luôn đi qua một điểm cố định khi $E$ di động trên $(O)$.
  4. Cho đường tròn $(O)$, một điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Từ $A$ vẽ hai tiếp tuyến $AB$ và $AC$ đến $(O)$ ($B, C$ là hai tiếp điểm), và hai cát tuyến $AMQ, ANP $đến $(O) $($M$ nằm giữa $A, Q$ và $N $ nằm giữa $A, P$). Chứng minh rằng $BC, PM, QN $ đồng quy.
  5. Cho $(O)$ và một điểm cố định nằm ngoài $(O)$; kẻ tiếp tuyến $MB$ và một cát tuyến $MAC$ bất kì. Một đường thẳng $d$ song song với $MB$ cắt $BA; BC$ tại $N$ và $P$. Chứng minh rằng trung điểm $I$ của $NP$ thuộc một đường cố định.

Post a Comment


$hide=home

$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

$hide=post$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

$hide=home

Kỷ Yếu$cl=violet$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

Journals$cl=green$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

Name

Ả-rập Xê-út,1,Abel,5,Albania,2,AMM,2,Amsterdam,5,Ấn Độ,1,An Giang,22,Andrew Wiles,1,Anh,2,Áo,1,APMO,19,Ba Đình,2,Ba Lan,1,Bà Rịa Vũng Tàu,52,Bắc Giang,49,Bắc Kạn,1,Bạc Liêu,9,Bắc Ninh,47,Bắc Trung Bộ,7,Bài Toán Hay,5,Balkan,37,Baltic Way,30,BAMO,1,Bất Đẳng Thức,66,Bến Tre,46,Benelux,13,Bình Định,44,Bình Dương,21,Bình Phước,38,Bình Thuận,34,Birch,1,Booklet,11,Bosnia Herzegovina,3,BoxMath,3,Brazil,2,Bùi Đắc Hiên,1,Bùi Thị Thiện Mỹ,1,Bùi Văn Tuyên,1,Bùi Xuân Diệu,1,Bulgaria,5,Buôn Ma Thuột,1,BxMO,12,Cà Mau,13,Cần Thơ,14,Canada,39,Cao Bằng,6,Cao Quang Minh,1,Câu Chuyện Toán Học,36,Caucasus,2,CGMO,10,China,10,Chọn Đội Tuyển,347,Chu Tuấn Anh,1,Chuyên Đề,124,Chuyên Sư Phạm,31,Chuyên Trần Hưng Đạo,3,Collection,8,College Mathematic,1,Concours,1,Cono Sur,1,Contest,610,Correspondence,1,Cosmin Poahata,1,Crux,2,Czech-Polish-Slovak,25,Đà Nẵng,39,Đa Thức,2,Đại Số,20,Đắk Lắk,54,Đắk Nông,7,Đan Phượng,1,Danube,7,Đào Thái Hiệp,1,ĐBSCL,2,Đề Thi HSG,1642,Đề Thi JMO,1,Điện Biên,8,Định Lý,1,Định Lý Beaty,1,Đỗ Hữu Đức Thịnh,1,Do Thái,3,Doãn Quang Tiến,4,Đoàn Quỳnh,1,Đoàn Văn Trung,1,Đống Đa,4,Đồng Nai,49,Đồng Tháp,51,Du Hiền Vinh,1,Đức,1,Duyên Hải Bắc Bộ,25,E-Book,33,EGMO,16,ELMO,19,EMC,8,Epsilon,1,Estonian,5,Euler,1,Evan Chen,1,Fermat,3,Finland,4,Forum Of Geometry,2,Furstenberg,1,G. Polya,3,Gặp Gỡ Toán Học,26,Gauss,1,GDTX,3,Geometry,12,Gia Lai,25,Gia Viễn,2,Giải Tích Hàm,1,Giảng Võ,1,Giới hạn,2,Goldbach,1,Hà Giang,2,Hà Lan,1,Hà Nam,29,Hà Nội,231,Hà Tĩnh,72,Hà Trung Kiên,1,Hải Dương,49,Hải Phòng,42,Hàn Quốc,5,Hậu Giang,4,Hậu Lộc,1,Hilbert,1,Hình Học,33,HKUST,7,Hòa Bình,13,Hoài Nhơn,1,Hoàng Bá Minh,1,Hoàng Minh Quân,1,Hodge,1,Hojoo Lee,2,HOMC,5,HongKong,8,HSG 10,100,HSG 11,86,HSG 12,581,HSG 9,402,HSG Cấp Trường,78,HSG Quốc Gia,99,HSG Quốc Tế,16,Hứa Lâm Phong,1,Hứa Thuần Phỏng,1,Hùng Vương,2,Hưng Yên,32,Hương Sơn,2,Huỳnh Kim Linh,1,Hy Lạp,1,IMC,25,IMO,54,India,45,Inequality,13,InMC,1,International,307,Iran,11,Jakob,1,JBMO,41,Jewish,1,Journal,20,Junior,38,K2pi,1,Kazakhstan,1,Khánh Hòa,16,KHTN,53,Kiên Giang,63,Kim Liên,1,Kon Tum,18,Korea,5,Kvant,2,Kỷ Yếu,42,Lai Châu,4,Lâm Đồng,33,Lạng Sơn,21,Langlands,1,Lào Cai,16,Lê Hải Châu,1,Lê Hải Khôi,1,Lê Hoành Phò,4,Lê Khánh Sỹ,3,Lê Minh Cường,1,Lê Phúc Lữ,1,Lê Phương,1,Lê Quý Đôn,1,Lê Viết Hải,1,Lê Việt Hưng,1,Leibniz,1,Long An,42,Lớp 10,10,Lớp 10 Chuyên,452,Lớp 10 Không Chuyên,229,Lớp 11,1,Lục Ngạn,1,Lượng giác,1,Lương Tài,1,Lưu Giang Nam,2,Lý Thánh Tông,1,Macedonian,1,Malaysia,1,Margulis,2,Mark Levi,1,Mathematical Excalibur,1,Mathematical Reflections,1,Mathematics Magazine,1,Mathematics Today,1,Mathley,1,MathLinks,1,MathProblems Journal,1,Mathscope,8,MathsVN,5,MathVN,1,MEMO,10,Metropolises,4,Mexico,1,MIC,1,Michael Guillen,1,Mochizuki,1,Moldova,1,Moscow,1,Mỹ,9,MYTS,4,Nam Định,32,Nam Phi,1,Nam Trung Bộ,1,National,249,Nesbitt,1,Newton,4,Nghệ An,50,Ngô Bảo Châu,2,Ngô Việt Hải,1,Ngọc Huyền,2,Nguyễn Anh Tuyến,1,Nguyễn Bá Đang,1,Nguyễn Đình Thi,1,Nguyễn Đức Tấn,1,Nguyễn Đức Thắng,1,Nguyễn Duy Khương,1,Nguyễn Duy Tùng,1,Nguyễn Hữu Điển,3,Nguyễn Mình Hà,1,Nguyễn Minh Tuấn,8,Nguyễn Phan Tài Vương,1,Nguyễn Phú Khánh,1,Nguyễn Phúc Tăng,1,Nguyễn Quản Bá Hồng,1,Nguyễn Quang Sơn,1,Nguyễn Tài Chung,5,Nguyễn Tăng Vũ,1,Nguyễn Tất Thu,1,Nguyễn Thúc Vũ Hoàng,1,Nguyễn Trung Tuấn,8,Nguyễn Tuấn Anh,2,Nguyễn Văn Huyện,3,Nguyễn Văn Mậu,25,Nguyễn Văn Nho,1,Nguyễn Văn Quý,2,Nguyễn Văn Thông,1,Nguyễn Việt Anh,1,Nguyễn Vũ Lương,2,Nhật Bản,3,Nhóm $\LaTeX$,4,Nhóm Toán,1,Ninh Bình,41,Ninh Thuận,15,Nội Suy Lagrange,2,Nội Suy Newton,1,Nordic,19,Olympiad Corner,1,Olympiad Preliminary,2,Olympic 10,98,Olympic 10/3,5,Olympic 11,89,Olympic 12,30,Olympic 24/3,6,Olympic 27/4,20,Olympic 30/4,66,Olympic KHTN,6,Olympic Sinh Viên,73,Olympic Tháng 4,12,Olympic Toán,300,Olympic Toán Sơ Cấp,3,PAMO,1,Phạm Đình Đồng,1,Phạm Đức Tài,1,Phạm Huy Hoàng,1,Pham Kim Hung,3,Phạm Quốc Sang,2,Phan Huy Khải,1,Phan Thành Nam,1,Pháp,2,Philippines,8,Phú Thọ,30,Phú Yên,26,Phùng Hồ Hải,1,Phương Trình Hàm,11,Phương Trình Pythagoras,1,Pi,1,Polish,32,Problems,1,PT-HPT,14,PTNK,44,Putnam,25,Quảng Bình,44,Quảng Nam,31,Quảng Ngãi,33,Quảng Ninh,43,Quảng Trị,26,Quỹ Tích,1,Riemann,1,RMM,12,RMO,24,Romania,36,Romanian Mathematical,1,Russia,1,Sách Thường Thức Toán,7,Sách Toán,69,Sách Toán Cao Học,1,Sách Toán THCS,7,Saudi Arabia,7,Scholze,1,Serbia,17,Sharygin,24,Shortlists,56,Simon Singh,1,Singapore,1,Số Học - Tổ Hợp,27,Sóc Trăng,28,Sơn La,11,Spain,8,Star Education,5,Stars of Mathematics,11,Swinnerton-Dyer,1,Talent Search,1,Tăng Hải Tuân,2,Tạp Chí,14,Tập San,6,Tây Ban Nha,1,Tây Ninh,29,Thạch Hà,1,Thái Bình,39,Thái Nguyên,49,Thái Vân,2,Thanh Hóa,57,THCS,2,Thổ Nhĩ Kỳ,5,Thomas J. Mildorf,1,THPT Chuyên Lê Quý Đôn,1,THPTQG,15,THTT,6,Thừa Thiên Huế,35,Tiền Giang,19,Tin Tức Toán Học,1,Titu Andreescu,2,Toán 12,7,Toán Cao Cấp,3,Toán Chuyên,2,Toán Rời Rạc,5,Toán Tuổi Thơ,3,Tôn Ngọc Minh Quân,2,TOT,1,TPHCM,125,Trà Vinh,5,Trắc Nghiệm,1,Trắc Nghiệm Toán,2,Trại Hè,34,Trại Hè Hùng Vương,25,Trại Hè Phương Nam,5,Trần Đăng Phúc,1,Trần Minh Hiền,2,Trần Nam Dũng,9,Trần Phương,1,Trần Quang Hùng,1,Trần Quốc Anh,2,Trần Quốc Luật,1,Trần Quốc Nghĩa,1,Trần Tiến Tự,1,Trịnh Đào Chiến,2,Trung Quốc,12,Trường Đông,19,Trường Hè,7,Trường Thu,1,Trường Xuân,2,TST,55,Tuyên Quang,6,Tuyển Sinh,3,Tuyển Tập,44,Tuymaada,4,Undergraduate,66,USA,44,USAJMO,10,USATST,7,Uzbekistan,1,Vasile Cîrtoaje,4,Vật Lý,1,Viện Toán Học,2,Vietnam,4,Viktor Prasolov,1,VIMF,1,Vinh,27,Vĩnh Long,20,Vĩnh Phúc,63,Virginia Tech,1,VLTT,1,VMEO,4,VMF,12,VMO,46,VNTST,22,Võ Anh Khoa,1,Võ Quốc Bá Cẩn,26,Võ Thành Văn,1,Vojtěch Jarník,6,Vũ Hữu Bình,7,Vương Trung Dũng,1,WFNMC Journal,1,Wiles,1,Yên Bái,17,Yên Định,1,Yên Thành,1,Zhautykov,11,Zhou Yuan Zhe,1,
ltr
item
MOlympiad: [Hình Học Sơ Cấp] Hàng Điểm Điều Hòa
[Hình Học Sơ Cấp] Hàng Điểm Điều Hòa
https://molympiad.files.wordpress.com/2018/03/empty.png
MOlympiad
https://www.molympiad.net/2018/05/hang-diem-dieu-hoa.html
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/2018/05/hang-diem-dieu-hoa.html
true
2506595080985176441
UTF-8
Loaded All Posts Not found any posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU LABEL ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow THIS PREMIUM CONTENT IS LOCKED Please share to unlock Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy