$hide=mobile

[Hình Học Sơ Cấp] Định Lý Menelaus

Định lý Menelaus. Cho tam giác $ABC$ và ba điểm $A’$, $B’$, $C’$ trên các đường thẳng chứa các cạnh $BC,CA,AB$ sao cho: hoặc cả ba điểm $A’$, $B’$, $C’$ đều nằm trên phần kéo dài của ba cạnh, hoặc một trong ba điểm đó nằm trên phần kéo dài của một cạnh còn hai điểm kia nằm trên hai cạnh của tam giác. Điều kiện cần và đủ để $A’$, $B’$, $C’$ thẳng hàng là ta có hệ thức $$\frac{AB’}{B’C} . \frac{CA’}{A’B} . \frac{BC’}{C’A} =1\quad (1).$$
Chứng minh. Ta phải chứng minh rằng (với điều kiện đã cho về các điểm $A’$, $B’$, $C’$): $A’$, $B’$, $C’$ thẳng hàng $\Leftrightarrow$ $(1)$


Điều kiện cần: $A’$, $B’$, $C’$ thẳng hàng $\Rightarrow$ $(1) $. Ta xét trường hợp hai điểm $(B’,C’)$ nằm trên hai cạnh của tam giác, còn $A’$ nằm trên phần kéo dài của$BC$. Từ $B$, kẻ đường thẳng song song với $AC$, cắt đường thẳng $A’B’$ tại $M$. Ta có $$\dfrac{CA’}{A’B}= \dfrac{B’C}{BM},\quad \dfrac{BC’}{C’A} = \dfrac{BM}{AB’}.$$ Nhân vế với hai đẳng thức trên $$\dfrac{CA’}{A’B}.\dfrac{BC’}{C’A} = \dfrac{B’C}{AB’}$$ hay $$\dfrac{AB’}{B’C}.\dfrac{CA’}{A’B}.\dfrac{BC’}{C’A}=1$$ Điều kiện đủ: $(1)$ $\Rightarrow$ $A’$, $B’$, $C’$ thẳng hàng. Giả sử $B’$, $C’$ nằm trên hai cạnh của tam giác, còn $A’$ nằm trên phần kéo dài của $BC$, và có hệ thức $(1)$. Nếu $C’$ không ở trên đường thẳng $A’B’$, và $A’B’$ cắt $AB$ tại $C”$ thì, theo điều kiện cần, ta có $$\dfrac{AB’}{B’C}.\dfrac{CA’}{A’B}.\dfrac{BC”}{C”A}=1 \quad (2).$$ Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $$\dfrac{BC’}{C’A}=\dfrac{BC'”}{C”A}.$$ Vậy $C” \equiv C’$ (do $C”$ đều nằm trong đoạn thẳng $AB$), và ba điểm $A’$, $B’$, $C’$ thẳng hàng. Trường hợp cả ba điểm $A’$, $B’$, $C’$ đều nằm trên phần kéo dài của ba cạnh của tam giác chứng minh tương tự.

Chú ý. Hệ thức $(1)$ trong định lí Menelaus cũng là hệ thức trong định lí Ceva; nhưng do sự khác nhau trong giả thiết về vị trí của các điểm $A’$, $B’$, $C’$ mà ta có ba điểm thẳng hàng hay ba đường thẳng đồng quy (song song).

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$, có $M$, $N$ là các điểm thuộc cạnh $AB$, $AC$ sao cho $AM = MB$, $AN = 2NC$. $MN$ cắt đường thẳng $BC$ tại $P$. Chứng minh $CP = CB$.

Gợi ý. Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác $ABC$ với ba điểm $M$, $N$, $P$ thẳng hàng ta có $$\dfrac{MA}{MB}.\dfrac{PB}{PC}.\dfrac{NC}{NA} = 1.$$ Mà $MA = MB$, $NA = 2NC$, suy ra $\dfrac{PB}{PC} = 2$, suy ra $PB = PC$.

Ví dụ 2. Chứng minh rằng trong một tam giác, chân các đường phân giác trong của hai góc và chân của đường phân giác ngoài của góc thứ ba là điểm thẳng hàng.

Gợi ý. Giả sử các đường phân giác trong góc $B$, $C$ là $BE$, $CF$ và phân giác ngoài góc $A$ là $AD$. Khi đó $D$ nằm ngoài đoạn $BC$, $E$, $F$ thuộc các đoạn $AC$, $AB$. Khi đó ta có $$\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AB}{AC}, \quad \dfrac{EC}{EA} = \dfrac{BC}{AB}, \quad \dfrac{FA}{FB} = \dfrac{AC}{BC}.$$ Suy ra $$\dfrac{DB}{DC}.\dfrac{EC}{EA}.\dfrac{FA}{FB} = \dfrac{AB}{AC}.\dfrac{BC}{AB}.\dfrac{AC}{BC} = 1.$$ Theo định lý Menelaus thì $D$, $E$, $F$ thẳng hàng.

Ví dụ 3. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt đường thẳng $BC$ tại $D$, tiếp tuyến tại $B$ cắt $AC$ tại $E$, tiếp tuyến tại $C$ cắt $AB$ tại $F$. Chứng minh rằng $D$, $E$, $F$ thẳng hàng.

Gợi ý.

Ta có $\triangle DAB \backsim \triangle DCA$, suy ra $$\dfrac{DB}{DA} = \dfrac{DA}{DC} = \dfrac{AB}{AC}.$$ Suy ra $$\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{DB}{DA} \cdot \dfrac{DA}{DC} = \dfrac{AB^2}{AC^2}.$$ Tương tự ta có $$\dfrac{EC}{EA} = \dfrac{AC^2}{BC^2}, \dfrac{FA}{FB} = \dfrac{BC^2}{AB^2}.$$ Khi đó $$\dfrac{DB}{DC}\cdot \dfrac{EC}{EA} \cdot \dfrac{FA}{FB} = 1.$$

Bài tập.

  1. Cho tam giác $ABC$, trên các cạnh $BC$, $AC$ lấy các điểm $M$, $N$ thỏa $BM = 2CM$, $CN = 3CA$, đường thẳng $MN$ cắt đường thẳng $AB$ tại $P$. Tính $\dfrac{PA}{PB}$.
  2. Chứng minh rằng chân ba đường phân giác ngoài của một tam giác thì thẳng hàng.
  3. Cho tam giác $ABC$, đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh $BC$, $AC$, $AB$ tại $D$, $E$, $F$. Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $P$. Chứng minh $\dfrac{PB}{PC} = \dfrac{DB}{DC}$.
  4. Cho một tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp một đường tròn tại các điểm $M$, $N$, $P$, $Q$ theo thứ tự trên các cạnh $AB$, $BC$, $CD$, $DA$. Chứng minh rằng $PN$, $QM$ và đường chéo $BD$ đồng quy.
  5. Trên trung tuyến $AD$ của một tam giác $ABC$, cho một điểm $K$ sao cho $AK = 3KD$; $BK$ cắt $AC$ tại $P$. Tính tỉ số diện tích của tam giác $ABP$ và $BCP$.
  6. Cho một tam giác $ABC$, một điểm $K$ trên $AB$ sao cho $\dfrac{AK}{KB}$=$\dfrac{1}{2}$, một điểm $L$ trên $BC$ sao cho $\dfrac{CL}{LB}$=$\dfrac{2}{1}$. Gọi $Q$ là giao điểm của các đường thẳng $AL$ và $CK$. Tìm diện tích tam giác $ABC$ nếu biết diện tích của tam giác $BQC$ bằng 1 (đơn vị diện tích).
  7. Cho tam giác $ABC$, đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh $BC$, $AC$, $AB$ lần lượt tại $D$, $E$, $F$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $IAD$, $IBE$, $ICF$ thẳng hàng.
  8. Cho tứ giác $ABCD$. Các đường thẳng $AD$, $BC$ cắt nhau tại $P$, $AB$, $CD$ cắt nhau tại $Q$; $AC, BD$ cắt nhau tại $I$, $PI$ cắt $BC$ tại $K$. Chứng minh $\dfrac{QC}{QD} = \dfrac{KC}{KD}$.
  9. (Đường thẳng Gauss) Cho tứ giác $ABCD$. Các đường thẳng $AD$, $BC$ cắt nhau tại $P$; $AB$, $CD$ cắt nhau tại $Q$. Chứng minh trung điểm các đoạn thẳng $AC$, $BD$, $PQ$ thẳng hàng.

Post a Comment


$hide=mobile

$hide=mobile

$hide=mobile

$show=post$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

Kỷ Yếu$cl=violet$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0$hide=mobile

Journals$cl=green$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0$hide=mobile

Name

Ả-rập Xê-út,1,Abel,5,Albania,2,AMM,3,Amsterdam,5,Ấn Độ,2,An Giang,23,Andrew Wiles,1,Anh,2,Áo,1,APMO,19,Ba Đình,2,Ba Lan,1,Bà Rịa Vũng Tàu,52,Bắc Giang,50,Bắc Kạn,1,Bạc Liêu,9,Bắc Ninh,48,Bắc Trung Bộ,7,Bài Toán Hay,5,Balkan,38,Baltic Way,30,BAMO,1,Bất Đẳng Thức,66,Bến Tre,46,Benelux,14,Bình Định,45,Bình Dương,23,Bình Phước,38,Bình Thuận,34,Birch,1,Booklet,11,Bosnia Herzegovina,3,BoxMath,3,Brazil,2,Bùi Đắc Hiên,1,Bùi Thị Thiện Mỹ,1,Bùi Văn Tuyên,1,Bùi Xuân Diệu,1,Bulgaria,6,Buôn Ma Thuột,1,BxMO,13,Cà Mau,14,Cần Thơ,14,Canada,40,Cao Bằng,7,Cao Quang Minh,1,Câu Chuyện Toán Học,36,Caucasus,2,CGMO,10,China,10,Chọn Đội Tuyển,352,Chu Tuấn Anh,1,Chuyên Đề,124,Chuyên Sư Phạm,31,Chuyên Trần Hưng Đạo,3,Collection,8,College Mathematic,1,Concours,1,Cono Sur,1,Contest,618,Correspondence,1,Cosmin Poahata,1,Crux,2,Czech-Polish-Slovak,26,Đà Nẵng,39,Đa Thức,2,Đại Số,20,Đắk Lắk,56,Đắk Nông,7,Đan Phượng,1,Danube,7,Đào Thái Hiệp,1,ĐBSCL,2,Đề Thi,1,Đề Thi HSG,1767,Đề Thi JMO,1,Điện Biên,8,Định Lý,1,Định Lý Beaty,1,Đỗ Hữu Đức Thịnh,1,Do Thái,3,Doãn Quang Tiến,4,Đoàn Quỳnh,1,Đoàn Văn Trung,1,Đống Đa,4,Đồng Nai,49,Đồng Tháp,52,Du Hiền Vinh,1,Đức,1,Duyên Hải Bắc Bộ,25,E-Book,33,EGMO,17,ELMO,19,EMC,9,Epsilon,1,Estonian,5,Euler,1,Evan Chen,1,Fermat,3,Finland,4,Forum Of Geometry,2,Furstenberg,1,G. Polya,3,Gặp Gỡ Toán Học,26,Gauss,1,GDTX,3,Geometry,12,Gia Lai,26,Gia Viễn,2,Giải Tích Hàm,1,Giảng Võ,1,Giới hạn,2,Goldbach,1,Hà Giang,2,Hà Lan,1,Hà Nam,29,Hà Nội,232,Hà Tĩnh,73,Hà Trung Kiên,1,Hải Dương,50,Hải Phòng,42,Hàn Quốc,5,Hậu Giang,4,Hậu Lộc,1,Hilbert,1,Hình Học,33,HKUST,7,Hòa Bình,13,Hoài Nhơn,1,Hoàng Bá Minh,1,Hoàng Minh Quân,1,Hodge,1,Hojoo Lee,2,HOMC,5,HongKong,8,HSG 10,101,HSG 11,91,HSG 12,585,HSG 9,425,HSG Cấp Trường,78,HSG Quốc Gia,106,HSG Quốc Tế,16,Hứa Lâm Phong,1,Hứa Thuần Phỏng,1,Hùng Vương,2,Hưng Yên,33,Hương Sơn,2,Huỳnh Kim Linh,1,Hy Lạp,1,IMC,26,IMO,56,IMT,1,India,45,Inequality,13,InMC,1,International,315,Iran,11,Jakob,1,JBMO,41,Jewish,1,Journal,20,Junior,38,K2pi,1,Kazakhstan,1,Khánh Hòa,17,KHTN,54,Kiên Giang,64,Kim Liên,1,Kon Tum,18,Korea,5,Kvant,2,Kỷ Yếu,42,Lai Châu,4,Lâm Đồng,33,Lạng Sơn,21,Langlands,1,Lào Cai,17,Lê Hải Châu,1,Lê Hải Khôi,1,Lê Hoành Phò,4,Lê Khánh Sỹ,3,Lê Minh Cường,1,Lê Phúc Lữ,1,Lê Phương,1,Lê Quý Đôn,1,Lê Viết Hải,1,Lê Việt Hưng,1,Leibniz,1,Long An,42,Lớp 10,10,Lớp 10 Chuyên,455,Lớp 10 Không Chuyên,229,Lớp 11,1,Lục Ngạn,1,Lượng giác,1,Lương Tài,1,Lưu Giang Nam,2,Lý Thánh Tông,1,Macedonian,1,Malaysia,1,Margulis,2,Mark Levi,1,Mathematical Excalibur,1,Mathematical Reflections,1,Mathematics Magazine,1,Mathematics Today,1,Mathley,1,MathLinks,1,MathProblems Journal,1,Mathscope,8,MathsVN,5,MathVN,1,MEMO,11,Metropolises,4,Mexico,1,MIC,1,Michael Guillen,1,Mochizuki,1,Moldova,1,Moscow,1,Mỹ,10,MYM,227,MYTS,4,Nam Định,33,Nam Phi,1,Nam Trung Bộ,1,National,249,Nesbitt,1,Newton,4,Nghệ An,52,Ngô Bảo Châu,2,Ngô Việt Hải,1,Ngọc Huyền,2,Nguyễn Anh Tuyến,1,Nguyễn Bá Đang,1,Nguyễn Đình Thi,1,Nguyễn Đức Tấn,1,Nguyễn Đức Thắng,1,Nguyễn Duy Khương,1,Nguyễn Duy Tùng,1,Nguyễn Hữu Điển,3,Nguyễn Mình Hà,1,Nguyễn Minh Tuấn,8,Nguyễn Phan Tài Vương,1,Nguyễn Phú Khánh,1,Nguyễn Phúc Tăng,1,Nguyễn Quản Bá Hồng,1,Nguyễn Quang Sơn,1,Nguyễn Tài Chung,5,Nguyễn Tăng Vũ,1,Nguyễn Tất Thu,1,Nguyễn Thúc Vũ Hoàng,1,Nguyễn Trung Tuấn,8,Nguyễn Tuấn Anh,2,Nguyễn Văn Huyện,3,Nguyễn Văn Mậu,25,Nguyễn Văn Nho,1,Nguyễn Văn Quý,2,Nguyễn Văn Thông,1,Nguyễn Việt Anh,1,Nguyễn Vũ Lương,2,Nhật Bản,4,Nhóm $\LaTeX$,4,Nhóm Toán,1,Ninh Bình,42,Ninh Thuận,15,Nội Suy Lagrange,2,Nội Suy Newton,1,Nordic,19,Olympiad Corner,1,Olympiad Preliminary,2,Olympic 10,99,Olympic 10/3,5,Olympic 11,92,Olympic 12,30,Olympic 24/3,7,Olympic 27/4,20,Olympic 30/4,69,Olympic KHTN,6,Olympic Sinh Viên,73,Olympic Tháng 4,12,Olympic Toán,304,Olympic Toán Sơ Cấp,3,PAMO,1,Phạm Đình Đồng,1,Phạm Đức Tài,1,Phạm Huy Hoàng,1,Pham Kim Hung,3,Phạm Quốc Sang,2,Phan Huy Khải,1,Phan Thành Nam,1,Pháp,2,Philippines,8,Phú Thọ,30,Phú Yên,29,Phùng Hồ Hải,1,Phương Trình Hàm,11,Phương Trình Pythagoras,1,Pi,1,Polish,32,Problems,1,PT-HPT,14,PTNK,45,Putnam,25,Quảng Bình,44,Quảng Nam,32,Quảng Ngãi,34,Quảng Ninh,43,Quảng Trị,27,Quỹ Tích,1,Riemann,1,RMM,12,RMO,24,Romania,36,Romanian Mathematical,1,Russia,1,Sách Thường Thức Toán,7,Sách Toán,69,Sách Toán Cao Học,1,Sách Toán THCS,7,Saudi Arabia,7,Scholze,1,Serbia,17,Sharygin,24,Shortlists,56,Simon Singh,1,Singapore,1,Số Học - Tổ Hợp,27,Sóc Trăng,28,Sơn La,12,Spain,8,Star Education,5,Stars of Mathematics,11,Swinnerton-Dyer,1,Talent Search,1,Tăng Hải Tuân,2,Tạp Chí,14,Tập San,6,Tây Ban Nha,1,Tây Ninh,29,Thạch Hà,1,Thái Bình,39,Thái Nguyên,49,Thái Vân,2,Thanh Hóa,62,THCS,2,Thổ Nhĩ Kỳ,5,Thomas J. Mildorf,1,THPT Chuyên Lê Quý Đôn,1,THPTQG,15,THTT,7,Thừa Thiên Huế,36,Tiền Giang,19,Tin Tức Toán Học,1,Titu Andreescu,2,Toán 12,7,Toán Cao Cấp,3,Toán Chuyên,2,Toán Rời Rạc,5,Toán Tuổi Thơ,3,Tôn Ngọc Minh Quân,2,TOT,1,TPHCM,126,Trà Vinh,6,Trắc Nghiệm,1,Trắc Nghiệm Toán,2,Trại Hè,34,Trại Hè Hùng Vương,25,Trại Hè Phương Nam,5,Trần Đăng Phúc,1,Trần Minh Hiền,2,Trần Nam Dũng,9,Trần Phương,1,Trần Quang Hùng,1,Trần Quốc Anh,2,Trần Quốc Luật,1,Trần Quốc Nghĩa,1,Trần Tiến Tự,1,Trịnh Đào Chiến,2,Trung Quốc,14,Trường Đông,19,Trường Hè,7,Trường Thu,1,Trường Xuân,2,TST,56,Tuyên Quang,6,Tuyển Sinh,3,Tuyển Sinh 10,680,Tuyển Tập,44,Tuymaada,4,Undergraduate,67,USA,44,USAJMO,10,USATST,7,Uzbekistan,1,Vasile Cîrtoaje,4,Vật Lý,1,Viện Toán Học,2,Vietnam,4,Viktor Prasolov,1,VIMF,1,Vinh,27,Vĩnh Long,21,Vĩnh Phúc,64,Virginia Tech,1,VLTT,1,VMEO,4,VMF,12,VMO,47,VNTST,22,Võ Anh Khoa,1,Võ Quốc Bá Cẩn,26,Võ Thành Văn,1,Vojtěch Jarník,6,Vũ Hữu Bình,7,Vương Trung Dũng,1,WFNMC Journal,1,Wiles,1,Yên Bái,18,Yên Định,1,Yên Thành,1,Zhautykov,11,Zhou Yuan Zhe,1,
ltr
item
MOlympiad: [Hình Học Sơ Cấp] Định Lý Menelaus
[Hình Học Sơ Cấp] Định Lý Menelaus
https://i0.wp.com/www.geosiro.com/wp-content/uploads/2017/11/menelaus_1.png?resize=625%2C362&ssl=1
MOlympiad
https://www.molympiad.net/2018/05/dinh-ly-menelaus.html
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/2018/05/dinh-ly-menelaus.html
true
2506595080985176441
UTF-8
Loaded All Posts Not found any posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU LABEL ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow THIS PREMIUM CONTENT IS LOCKED Please share to unlock Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy