$hide=mobile

Đề Thi Chọn Đội Tuyển Toán Trung Quốc Tham Dự IMO 2013

  1. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp trong đường tròn $\Omega $ có hai đường chéo$AC,BD$ là cắt nhau tại $F$, các đường thẳng $AB,CD$ cắt nhau tại $E$. Gọi hình chiếu vuông góc của điểm $F$ lên $AB,CD$ tương ứng là $G,H$ và các điểm $M,N$lần lượt là trung điểm của các đoạn $BC,EF$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $MNG$ cắt đoạn $BF$ tại $P$, đường tròn ngoại tiếp tam giác $MNH$ cắt đoạn $CF$ tại $Q$. Chứng minh rằng $PQ$ song song với $BC$.
  2. Với $n$ là số nguyên dương, ta định nghĩa $f(n)=\underset{m\in \mathbb{Z}}{\mathop{\min }}\,\left| \sqrt{2}-\frac{m}{n} \right|$. Giả sử $({{n}_{i}})$ là một dãy các số nguyên dương tăng ngặt và $C$ là một hằng số sao cho $f({{n}_{i}})<\frac{C}{{{n}^{2}}}$, $i=1,2,3,...$. Chứng minh rằng tồn tại một số thực $q>1$ để ${{n}_{i}}\ge {{q}^{i-1}},i=1,2,3,...$
  3. Cho số nguyên dương $n\ge 3.$ Đánh số $1,2,3,...,n$ lên $n$ quả bóng để tô màu cho các quả bóng, mỗi quả bóng được tô một trong bốn màu đỏ, vàng, lam và lục theo cách sau: Đầu tiên sắp xếp $n$ quả bóng một cách tùy ý thành vòng tròn, với ba quả bóng liên tiếp bất kỳ theo chiều kim đồng hồ, ta có 3 số $i,j,k$ tương ứng ghi trên chúng. Ta xét các điều kiện sau:
    • Nếu $i>j>k$ thì quả bóng $j$ được tô màu đỏ.
    • Nếu $i<j<k$ thì quả bóng $j$ được tô màu vàng.
    • Nếu $i<j,k<j$ thì quả bóng $j$ được tô màu lam.
    • Nếu $i>j,k>j$ thì quả bóng $j$ được tô màu lục.
    Hai cách tô màu $n$ quả bóng được gọi là khác nhau nếu có ít nhất một quả bóng trong hai cách tô màu có màu khác nhau. Tìm số tất cả các cách tô màu khác nhau.
  4. Gọi $n,k$ là các số nguyên lớn hơn 1, các số thực không âm ${{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}}$; ${{c}_{1}},{{c}_{2}},...,{{c}_{n}} $ thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
    i) ${{a}_{1}}\ge {{a}_{2}}\ge ...\ge {{a}_{n}}$ và ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}=1$.
    ii) Với $m=1,2,3,...,n$ thì ${{c}_{1}}+{{c}_{2}}+...+{{c}_{m}}\le {{m}^{k}}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $ {{c}_{1}}a_{1}^{k}+{{c}_{2}}a_{2}^{k}+...+{{c}_{n}}a_{n}^{k} $ đạt giá trị lớn nhất.
  5. Gọi $P$ là một điểm nằm bên trong $ABC$. Gọi $L,M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA,AB$. Giả sử rằng $$PL : PM : PN = BC : CA : AB.$$ Kéo dài các tia $AP,BP,CP$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ lần thứ hai ở $D,E,F$. Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác $APF$, $APE$, $BPF$, $BPD$, $CPD$, $CPE$ cùng thuộc một đường tròn.
  6. Tìm tất cả các số thực dương $r<1$, sao cho tồn tại một tập hợp $S$ các số thực thỏa mãn tính chất sau: Với bất kì số thực $t$ nào đó, có đúng một trong các số $t,t+r,t+1$ thuộc $S$ và có đúng một trong các số $t-1,t-r,t$ thuộc $S$.
  7. Với số nguyên $k\ge 2$, gọi ${{T}_{k}}=\left\{ (x,y)|x,y=0,1,2,...,k-1 \right\}$ là một tập hợp gồm ${{k}^{2}}$ điểm trong mặt phẳng tọa độ vuông góc. Các khoảng cách giữa các điểm trong ${{T}_{k}}$ được sắp xếp từ lớn đến nhỏ như sau $${{d}_{1}}(k)>{{d}_{2}}(k)>{{d}_{3}}(k)>....$$ Gọi ${{S}_{i}}(k)$ là số các cặp điểm thuộc ${{T}_{k}}$ có khoảng cách bằng ${{d}_{i}}(k)$. Chứng minh nếu $m,n$ là các số nguyên dương mà $m>n>i$ thì ${{S}_{i}}(m)={{S}_{i}}(n).$
  8. Chứng minh tồn tại số nguyên dương $k$ và dãy số nguyên dương tăng ngặt $({{a}_{n}})$ sao cho với bất kì số nguyên dương $n$ nào, ta đều có ${{a}_{n}}<K{{(1,01)}^{n}}$ và tổng của hữu hạn các số hạng bất kì của $({{a}_{n}})$ đều không phải là số chính phương.
  9. Gọi $A$ là tập hợp 6 điểm nào đó trong mặt phẳng. Đặt $n(A)$ là số các đường tròn đơn vị đi qua ít nhất 3 điểm trong $A$. Tìm giá trị lớn nhất của $n(A)$.
  10. Cho số nguyên $N>1$ phân tích được thành $N=p_{1}^{{{\alpha }_{1}}}p_{2}^{{{\alpha }_{2}}}\cdot \cdot \cdot p_{k}^{{{\alpha }_{k}}}$, đặt $\Omega \left( N \right)={{\alpha }_{1}}+{{\alpha }_{2}}+...+{{\alpha }_{k}}$. Với ${{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}}$ là các số nguyên dương, xét $$P(x)=\left( x+{{a}_{1}} \right)\left( x+{{a}_{2}} \right)\cdot \cdot \cdot \left( x+{{a}_{n}} \right).$$ Giả sử rằng với bất kì số nguyên dương $k$nào thì $\Omega \left( P(k) \right)$là số chẵn. Chứng minh $n$ là số chẵn.
  11. Tìm số nguyên dương $m$ lớn nhất thỏa mãn các tính chất sau: Với mỗi hoán vị ${{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},...$ của các tất cả các số nguyên dương, đều tồn tại các số nguyên dương ${{i}_{1}}<{{i}_{2}}<...<{{i}_{m}}$ sao cho ${{a}_{{{i}_{1}}}},{{a}_{{{i}_{2}}}},{{a}_{{{i}_{3}}}},...,{{a}_{{{i}_{m}}}}$ lập thành cấp số cộng với công sai lẻ.
  12. Với số nguyên dương $n\ge 1$, xét các số thực không âm ${{a}_{0}},{{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}}$, đặt ${{S}_{k}}=\sum\limits_{i=0}^{k}{C_{k}^{i}{{a}_{i}}}$ với $k=0,1,...,n$ và quy ước $C_{0}^{0}=1$. Chứng minh rằng $$\frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}{S_{k}^{2}}-\frac{1}{{{n}^{2}}}{{\left( \sum\limits_{k=0}^{n}{{{S}_{k}}} \right)}^{2}}\le \frac{4}{45}{{\left( {{S}_{n}}-{{S}_{0}} \right)}^{2}}.$$
  13. Cho số nguyên $n\ge 2$ và các số nguyên dương ${{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}}$ có $\gcd ({{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}})=1$. Ta đặt $A={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}$ và gọi ${{d}_{i}}=\gcd (A,{{a}_{i}})$, $i=\overline{1,n}$. Với mọi $i=\overline{1,n}$, gọi ${{D}_{i}}$ là ước chung lớn nhất của $n-1$ số trong $n$ số đã cho mà không tính ${{a}_{i}}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\prod\limits_{i=1}^{n}{\dfrac{A-{{a}_{i}}}{{{d}_{i}}{{D}_{i}}}}$.
  14. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ có $P$ là trung điểm cung $BAC$, $Q$ là điểm đối xứng với $P$ qua $O$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $ABC$. Giả sử $PI$ cắt $BC$ tại $D$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AID$ cắt đường thẳng $PA$ tại $F$. Gọi $E$ là điểm trên đoạn $PD$ sao cho $DE=DQ$. Gọi bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp $ABC$là $R,r$. Chứng minh nếu $\widehat{AEF}=\widehat{APE}$ thì ${{\sin }^{2}}\widehat{BAC}=\dfrac{2r}{R}$.
  15. Có 101 người được đánh số là $1,2,3,...,101$ có giữ số tấm thẻ đúng bằng số thứ tự của họ. Những người này ngồi xung quanh bàn tròn một cách ngẫu nhiên. Mỗi lần chuyển qua chỗ khác thì người đó phải trao một tấm thẻ trong tay mình cho một trong hai người ngồi cạnh. Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất sao cho có thể thông qua không quá $k$lần đổi chỗ sao cho mỗi người đều có một con số tương đồng.
  16. Cho số nguyên tố $p$, $a,k$ là số nguyên dương thỏa mãn ${{p}^{a}}<k<2{{p}^{a}}$. Chứng minh tồn tại số nguyên dương $n$ thỏa mãn $n<{{p}^{2a}}$ và $C_{n}^{k}\equiv n\equiv k\left( \bmod {{p}^{a}} \right)$.
  17. Cho số nguyên $n\ge 2$ và ${{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}}$, ${{b}_{1}},{{b}_{2}},...,{{b}_{n}}$ là các số nguyên không âm. Chứng minh rằng $${{\left( \frac{n}{n-1} \right)}^{n-1}}\left( \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{a_{i}^{2}} \right)+{{\left( \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{b}_{i}}} \right)}^{2}}\ge \prod\limits_{i=1}^{n}{{{\left( a_{i}^{2}+b_{i}^{2} \right)}^{\frac{1}{n}}}}.$$
  18. Trên mặt phẳng tọa độ vuông góc, xét các tập hợp điểm nguyên $P$,$Q$ sao cho mỗi tập hợp điểm đều tạo thành một đa giác lồi. Đặt $T=P\cap Q$. Chứng minh nếu $T$ không rỗng mà cũng không chứa điểm nguyên nào thì tập hợp $T$ không suy biến thành tứ giác lồi.

Post a Comment


$hide=home

$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

$hide=post$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

$hide=home

Kỷ Yếu$cl=violet$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

Journals$cl=green$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

Name

Ả-rập Xê-út,1,Abel,5,Albania,2,AMM,2,Amsterdam,5,Ấn Độ,1,An Giang,22,Andrew Wiles,1,Anh,2,Áo,1,APMO,19,Ba Đình,2,Ba Lan,1,Bà Rịa Vũng Tàu,52,Bắc Giang,49,Bắc Kạn,1,Bạc Liêu,9,Bắc Ninh,47,Bắc Trung Bộ,7,Bài Toán Hay,5,Balkan,37,Baltic Way,30,BAMO,1,Bất Đẳng Thức,66,Bến Tre,46,Benelux,13,Bình Định,44,Bình Dương,21,Bình Phước,38,Bình Thuận,34,Birch,1,Booklet,11,Bosnia Herzegovina,3,BoxMath,3,Brazil,2,Bùi Đắc Hiên,1,Bùi Thị Thiện Mỹ,1,Bùi Văn Tuyên,1,Bùi Xuân Diệu,1,Bulgaria,5,Buôn Ma Thuột,1,BxMO,12,Cà Mau,13,Cần Thơ,14,Canada,39,Cao Bằng,6,Cao Quang Minh,1,Câu Chuyện Toán Học,36,Caucasus,2,CGMO,10,China,10,Chọn Đội Tuyển,347,Chu Tuấn Anh,1,Chuyên Đề,124,Chuyên Sư Phạm,31,Chuyên Trần Hưng Đạo,3,Collection,8,College Mathematic,1,Concours,1,Cono Sur,1,Contest,610,Correspondence,1,Cosmin Poahata,1,Crux,2,Czech-Polish-Slovak,25,Đà Nẵng,39,Đa Thức,2,Đại Số,20,Đắk Lắk,54,Đắk Nông,7,Đan Phượng,1,Danube,7,Đào Thái Hiệp,1,ĐBSCL,2,Đề Thi HSG,1643,Đề Thi JMO,1,Điện Biên,8,Định Lý,1,Định Lý Beaty,1,Đỗ Hữu Đức Thịnh,1,Do Thái,3,Doãn Quang Tiến,4,Đoàn Quỳnh,1,Đoàn Văn Trung,1,Đống Đa,4,Đồng Nai,49,Đồng Tháp,51,Du Hiền Vinh,1,Đức,1,Duyên Hải Bắc Bộ,25,E-Book,33,EGMO,16,ELMO,19,EMC,8,Epsilon,1,Estonian,5,Euler,1,Evan Chen,1,Fermat,3,Finland,4,Forum Of Geometry,2,Furstenberg,1,G. Polya,3,Gặp Gỡ Toán Học,26,Gauss,1,GDTX,3,Geometry,12,Gia Lai,25,Gia Viễn,2,Giải Tích Hàm,1,Giảng Võ,1,Giới hạn,2,Goldbach,1,Hà Giang,2,Hà Lan,1,Hà Nam,29,Hà Nội,231,Hà Tĩnh,72,Hà Trung Kiên,1,Hải Dương,49,Hải Phòng,42,Hàn Quốc,5,Hậu Giang,4,Hậu Lộc,1,Hilbert,1,Hình Học,33,HKUST,7,Hòa Bình,13,Hoài Nhơn,1,Hoàng Bá Minh,1,Hoàng Minh Quân,1,Hodge,1,Hojoo Lee,2,HOMC,5,HongKong,8,HSG 10,100,HSG 11,87,HSG 12,581,HSG 9,402,HSG Cấp Trường,78,HSG Quốc Gia,99,HSG Quốc Tế,16,Hứa Lâm Phong,1,Hứa Thuần Phỏng,1,Hùng Vương,2,Hưng Yên,32,Hương Sơn,2,Huỳnh Kim Linh,1,Hy Lạp,1,IMC,25,IMO,54,India,45,Inequality,13,InMC,1,International,307,Iran,11,Jakob,1,JBMO,41,Jewish,1,Journal,20,Junior,38,K2pi,1,Kazakhstan,1,Khánh Hòa,16,KHTN,53,Kiên Giang,64,Kim Liên,1,Kon Tum,18,Korea,5,Kvant,2,Kỷ Yếu,42,Lai Châu,4,Lâm Đồng,33,Lạng Sơn,21,Langlands,1,Lào Cai,16,Lê Hải Châu,1,Lê Hải Khôi,1,Lê Hoành Phò,4,Lê Khánh Sỹ,3,Lê Minh Cường,1,Lê Phúc Lữ,1,Lê Phương,1,Lê Quý Đôn,1,Lê Viết Hải,1,Lê Việt Hưng,1,Leibniz,1,Long An,42,Lớp 10,10,Lớp 10 Chuyên,452,Lớp 10 Không Chuyên,230,Lớp 11,1,Lục Ngạn,1,Lượng giác,1,Lương Tài,1,Lưu Giang Nam,2,Lý Thánh Tông,1,Macedonian,1,Malaysia,1,Margulis,2,Mark Levi,1,Mathematical Excalibur,1,Mathematical Reflections,1,Mathematics Magazine,1,Mathematics Today,1,Mathley,1,MathLinks,1,MathProblems Journal,1,Mathscope,8,MathsVN,5,MathVN,1,MEMO,10,Metropolises,4,Mexico,1,MIC,1,Michael Guillen,1,Mochizuki,1,Moldova,1,Moscow,1,Mỹ,9,MYTS,4,Nam Định,32,Nam Phi,1,Nam Trung Bộ,1,National,249,Nesbitt,1,Newton,4,Nghệ An,50,Ngô Bảo Châu,2,Ngô Việt Hải,1,Ngọc Huyền,2,Nguyễn Anh Tuyến,1,Nguyễn Bá Đang,1,Nguyễn Đình Thi,1,Nguyễn Đức Tấn,1,Nguyễn Đức Thắng,1,Nguyễn Duy Khương,1,Nguyễn Duy Tùng,1,Nguyễn Hữu Điển,3,Nguyễn Mình Hà,1,Nguyễn Minh Tuấn,8,Nguyễn Phan Tài Vương,1,Nguyễn Phú Khánh,1,Nguyễn Phúc Tăng,1,Nguyễn Quản Bá Hồng,1,Nguyễn Quang Sơn,1,Nguyễn Tài Chung,5,Nguyễn Tăng Vũ,1,Nguyễn Tất Thu,1,Nguyễn Thúc Vũ Hoàng,1,Nguyễn Trung Tuấn,8,Nguyễn Tuấn Anh,2,Nguyễn Văn Huyện,3,Nguyễn Văn Mậu,25,Nguyễn Văn Nho,1,Nguyễn Văn Quý,2,Nguyễn Văn Thông,1,Nguyễn Việt Anh,1,Nguyễn Vũ Lương,2,Nhật Bản,3,Nhóm $\LaTeX$,4,Nhóm Toán,1,Ninh Bình,41,Ninh Thuận,15,Nội Suy Lagrange,2,Nội Suy Newton,1,Nordic,19,Olympiad Corner,1,Olympiad Preliminary,2,Olympic 10,98,Olympic 10/3,5,Olympic 11,89,Olympic 12,30,Olympic 24/3,6,Olympic 27/4,20,Olympic 30/4,66,Olympic KHTN,6,Olympic Sinh Viên,73,Olympic Tháng 4,12,Olympic Toán,300,Olympic Toán Sơ Cấp,3,PAMO,1,Phạm Đình Đồng,1,Phạm Đức Tài,1,Phạm Huy Hoàng,1,Pham Kim Hung,3,Phạm Quốc Sang,2,Phan Huy Khải,1,Phan Thành Nam,1,Pháp,2,Philippines,8,Phú Thọ,30,Phú Yên,26,Phùng Hồ Hải,1,Phương Trình Hàm,11,Phương Trình Pythagoras,1,Pi,1,Polish,32,Problems,1,PT-HPT,14,PTNK,45,Putnam,25,Quảng Bình,44,Quảng Nam,31,Quảng Ngãi,33,Quảng Ninh,43,Quảng Trị,26,Quỹ Tích,1,Riemann,1,RMM,12,RMO,24,Romania,36,Romanian Mathematical,1,Russia,1,Sách Thường Thức Toán,7,Sách Toán,69,Sách Toán Cao Học,1,Sách Toán THCS,7,Saudi Arabia,7,Scholze,1,Serbia,17,Sharygin,24,Shortlists,56,Simon Singh,1,Singapore,1,Số Học - Tổ Hợp,27,Sóc Trăng,28,Sơn La,11,Spain,8,Star Education,5,Stars of Mathematics,11,Swinnerton-Dyer,1,Talent Search,1,Tăng Hải Tuân,2,Tạp Chí,14,Tập San,6,Tây Ban Nha,1,Tây Ninh,29,Thạch Hà,1,Thái Bình,39,Thái Nguyên,49,Thái Vân,2,Thanh Hóa,57,THCS,2,Thổ Nhĩ Kỳ,5,Thomas J. Mildorf,1,THPT Chuyên Lê Quý Đôn,1,THPTQG,15,THTT,6,Thừa Thiên Huế,35,Tiền Giang,19,Tin Tức Toán Học,1,Titu Andreescu,2,Toán 12,7,Toán Cao Cấp,3,Toán Chuyên,2,Toán Rời Rạc,5,Toán Tuổi Thơ,3,Tôn Ngọc Minh Quân,2,TOT,1,TPHCM,126,Trà Vinh,5,Trắc Nghiệm,1,Trắc Nghiệm Toán,2,Trại Hè,34,Trại Hè Hùng Vương,25,Trại Hè Phương Nam,5,Trần Đăng Phúc,1,Trần Minh Hiền,2,Trần Nam Dũng,9,Trần Phương,1,Trần Quang Hùng,1,Trần Quốc Anh,2,Trần Quốc Luật,1,Trần Quốc Nghĩa,1,Trần Tiến Tự,1,Trịnh Đào Chiến,2,Trung Quốc,12,Trường Đông,19,Trường Hè,7,Trường Thu,1,Trường Xuân,2,TST,55,Tuyên Quang,6,Tuyển Sinh,3,Tuyển Tập,44,Tuymaada,4,Undergraduate,66,USA,44,USAJMO,10,USATST,7,Uzbekistan,1,Vasile Cîrtoaje,4,Vật Lý,1,Viện Toán Học,2,Vietnam,4,Viktor Prasolov,1,VIMF,1,Vinh,27,Vĩnh Long,20,Vĩnh Phúc,63,Virginia Tech,1,VLTT,1,VMEO,4,VMF,12,VMO,46,VNTST,22,Võ Anh Khoa,1,Võ Quốc Bá Cẩn,26,Võ Thành Văn,1,Vojtěch Jarník,6,Vũ Hữu Bình,7,Vương Trung Dũng,1,WFNMC Journal,1,Wiles,1,Yên Bái,17,Yên Định,1,Yên Thành,1,Zhautykov,11,Zhou Yuan Zhe,1,
ltr
item
MOlympiad: Đề Thi Chọn Đội Tuyển Toán Trung Quốc Tham Dự IMO 2013
Đề Thi Chọn Đội Tuyển Toán Trung Quốc Tham Dự IMO 2013
MOlympiad
https://www.molympiad.net/2017/09/de-thi-chon-doi-tuyen-trung-quoc-2013.html
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/2017/09/de-thi-chon-doi-tuyen-trung-quoc-2013.html
true
2506595080985176441
UTF-8
Loaded All Posts Not found any posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU LABEL ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow THIS PREMIUM CONTENT IS LOCKED Please share to unlock Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy