Đề Thi Chọn Đội Tuyển Toán Trung Quốc Tham Dự IMO 2013


  1. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp trong đường tròn $\Omega $ có hai đường chéo$AC,BD$ là cắt nhau tại $F$, các đường thẳng $AB,CD$ cắt nhau tại $E$. Gọi hình chiếu vuông góc của điểm $F$ lên $AB,CD$ tương ứng là $G,H$ và các điểm $M,N$lần lượt là trung điểm của các đoạn $BC,EF$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $MNG$ cắt đoạn $BF$ tại $P$, đường tròn ngoại tiếp tam giác $MNH$ cắt đoạn $CF$ tại $Q$. Chứng minh rằng $PQ$ song song với $BC$.
  2. Với $n$ là số nguyên dương, ta định nghĩa $f(n)=\underset{m\in \mathbb{Z}}{\mathop{\min }}\,\left| \sqrt{2}-\frac{m}{n} \right|$. Giả sử $({{n}_{i}})$ là một dãy các số nguyên dương tăng ngặt và $C$ là một hằng số sao cho $f({{n}_{i}})<\frac{C}{{{n}^{2}}}$, $i=1,2,3,...$. Chứng minh rằng tồn tại một số thực $q>1$ để ${{n}_{i}}\ge {{q}^{i-1}},i=1,2,3,...$
  3. Cho số nguyên dương $n\ge 3.$ Đánh số $1,2,3,...,n$ lên $n$ quả bóng để tô màu cho các quả bóng, mỗi quả bóng được tô một trong bốn màu đỏ, vàng, lam và lục theo cách sau: Đầu tiên sắp xếp $n$ quả bóng một cách tùy ý thành vòng tròn, với ba quả bóng liên tiếp bất kỳ theo chiều kim đồng hồ, ta có 3 số $i,j,k$ tương ứng ghi trên chúng. Ta xét các điều kiện sau:
    • Nếu $i>j>k$ thì quả bóng $j$ được tô màu đỏ.
    • Nếu $i<j<k$ thì quả bóng $j$ được tô màu vàng.
    • Nếu $i<j,k<j$ thì quả bóng $j$ được tô màu lam.
    • Nếu $i>j,k>j$ thì quả bóng $j$ được tô màu lục.
    Hai cách tô màu $n$ quả bóng được gọi là khác nhau nếu có ít nhất một quả bóng trong hai cách tô màu có màu khác nhau. Tìm số tất cả các cách tô màu khác nhau.
  4. Gọi $n,k$ là các số nguyên lớn hơn 1, các số thực không âm ${{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}}$; ${{c}_{1}},{{c}_{2}},...,{{c}_{n}} $ thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
    i) ${{a}_{1}}\ge {{a}_{2}}\ge ...\ge {{a}_{n}}$ và ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}=1$.
    ii) Với $m=1,2,3,...,n$ thì ${{c}_{1}}+{{c}_{2}}+...+{{c}_{m}}\le {{m}^{k}}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $ {{c}_{1}}a_{1}^{k}+{{c}_{2}}a_{2}^{k}+...+{{c}_{n}}a_{n}^{k} $ đạt giá trị lớn nhất.
  5. Gọi $P$ là một điểm nằm bên trong $ABC$. Gọi $L,M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA,AB$. Giả sử rằng $$PL : PM : PN = BC : CA : AB.$$ Kéo dài các tia $AP,BP,CP$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ lần thứ hai ở $D,E,F$. Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác $APF$, $APE$, $BPF$, $BPD$, $CPD$, $CPE$ cùng thuộc một đường tròn.
  6. Tìm tất cả các số thực dương $r<1$, sao cho tồn tại một tập hợp $S$ các số thực thỏa mãn tính chất sau: Với bất kì số thực $t$ nào đó, có đúng một trong các số $t,t+r,t+1$ thuộc $S$ và có đúng một trong các số $t-1,t-r,t$ thuộc $S$.
  7. Với số nguyên $k\ge 2$, gọi ${{T}_{k}}=\left\{ (x,y)|x,y=0,1,2,...,k-1 \right\}$ là một tập hợp gồm ${{k}^{2}}$ điểm trong mặt phẳng tọa độ vuông góc. Các khoảng cách giữa các điểm trong ${{T}_{k}}$ được sắp xếp từ lớn đến nhỏ như sau $${{d}_{1}}(k)>{{d}_{2}}(k)>{{d}_{3}}(k)>....$$ Gọi ${{S}_{i}}(k)$ là số các cặp điểm thuộc ${{T}_{k}}$ có khoảng cách bằng ${{d}_{i}}(k)$. Chứng minh nếu $m,n$ là các số nguyên dương mà $m>n>i$ thì ${{S}_{i}}(m)={{S}_{i}}(n).$
  8. Chứng minh tồn tại số nguyên dương $k$ và dãy số nguyên dương tăng ngặt $({{a}_{n}})$ sao cho với bất kì số nguyên dương $n$ nào, ta đều có ${{a}_{n}}<K{{(1,01)}^{n}}$ và tổng của hữu hạn các số hạng bất kì của $({{a}_{n}})$ đều không phải là số chính phương.
  9. Gọi $A$ là tập hợp 6 điểm nào đó trong mặt phẳng. Đặt $n(A)$ là số các đường tròn đơn vị đi qua ít nhất 3 điểm trong $A$. Tìm giá trị lớn nhất của $n(A)$.
  10. Cho số nguyên $N>1$ phân tích được thành $N=p_{1}^{{{\alpha }_{1}}}p_{2}^{{{\alpha }_{2}}}\cdot \cdot \cdot p_{k}^{{{\alpha }_{k}}}$, đặt $\Omega \left( N \right)={{\alpha }_{1}}+{{\alpha }_{2}}+...+{{\alpha }_{k}}$. Với ${{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}}$ là các số nguyên dương, xét $$P(x)=\left( x+{{a}_{1}} \right)\left( x+{{a}_{2}} \right)\cdot \cdot \cdot \left( x+{{a}_{n}} \right).$$ Giả sử rằng với bất kì số nguyên dương $k$nào thì $\Omega \left( P(k) \right)$là số chẵn. Chứng minh $n$ là số chẵn.
  11. Tìm số nguyên dương $m$ lớn nhất thỏa mãn các tính chất sau: Với mỗi hoán vị ${{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},...$ của các tất cả các số nguyên dương, đều tồn tại các số nguyên dương ${{i}_{1}}<{{i}_{2}}<...<{{i}_{m}}$ sao cho ${{a}_{{{i}_{1}}}},{{a}_{{{i}_{2}}}},{{a}_{{{i}_{3}}}},...,{{a}_{{{i}_{m}}}}$ lập thành cấp số cộng với công sai lẻ.
  12. Với số nguyên dương $n\ge 1$, xét các số thực không âm ${{a}_{0}},{{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}}$, đặt ${{S}_{k}}=\sum\limits_{i=0}^{k}{C_{k}^{i}{{a}_{i}}}$ với $k=0,1,...,n$ và quy ước $C_{0}^{0}=1$. Chứng minh rằng $$\frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}{S_{k}^{2}}-\frac{1}{{{n}^{2}}}{{\left( \sum\limits_{k=0}^{n}{{{S}_{k}}} \right)}^{2}}\le \frac{4}{45}{{\left( {{S}_{n}}-{{S}_{0}} \right)}^{2}}.$$
  13. Cho số nguyên $n\ge 2$ và các số nguyên dương ${{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}}$ có $\gcd ({{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}})=1$. Ta đặt $A={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}$ và gọi ${{d}_{i}}=\gcd (A,{{a}_{i}})$, $i=\overline{1,n}$. Với mọi $i=\overline{1,n}$, gọi ${{D}_{i}}$ là ước chung lớn nhất của $n-1$ số trong $n$ số đã cho mà không tính ${{a}_{i}}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\prod\limits_{i=1}^{n}{\dfrac{A-{{a}_{i}}}{{{d}_{i}}{{D}_{i}}}}$.
  14. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ có $P$ là trung điểm cung $BAC$, $Q$ là điểm đối xứng với $P$ qua $O$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $ABC$. Giả sử $PI$ cắt $BC$ tại $D$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AID$ cắt đường thẳng $PA$ tại $F$. Gọi $E$ là điểm trên đoạn $PD$ sao cho $DE=DQ$. Gọi bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp $ABC$là $R,r$. Chứng minh nếu $\widehat{AEF}=\widehat{APE}$ thì ${{\sin }^{2}}\widehat{BAC}=\dfrac{2r}{R}$.
  15. Có 101 người được đánh số là $1,2,3,...,101$ có giữ số tấm thẻ đúng bằng số thứ tự của họ. Những người này ngồi xung quanh bàn tròn một cách ngẫu nhiên. Mỗi lần chuyển qua chỗ khác thì người đó phải trao một tấm thẻ trong tay mình cho một trong hai người ngồi cạnh. Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất sao cho có thể thông qua không quá $k$lần đổi chỗ sao cho mỗi người đều có một con số tương đồng.
  16. Cho số nguyên tố $p$, $a,k$ là số nguyên dương thỏa mãn ${{p}^{a}}<k<2{{p}^{a}}$. Chứng minh tồn tại số nguyên dương $n$ thỏa mãn $n<{{p}^{2a}}$ và $C_{n}^{k}\equiv n\equiv k\left( \bmod {{p}^{a}} \right)$.
  17. Cho số nguyên $n\ge 2$ và ${{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}}$, ${{b}_{1}},{{b}_{2}},...,{{b}_{n}}$ là các số nguyên không âm. Chứng minh rằng $${{\left( \frac{n}{n-1} \right)}^{n-1}}\left( \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{a_{i}^{2}} \right)+{{\left( \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{b}_{i}}} \right)}^{2}}\ge \prod\limits_{i=1}^{n}{{{\left( a_{i}^{2}+b_{i}^{2} \right)}^{\frac{1}{n}}}}.$$
  18. Trên mặt phẳng tọa độ vuông góc, xét các tập hợp điểm nguyên $P$,$Q$ sao cho mỗi tập hợp điểm đều tạo thành một đa giác lồi. Đặt $T=P\cap Q$. Chứng minh nếu $T$ không rỗng mà cũng không chứa điểm nguyên nào thì tập hợp $T$ không suy biến thành tứ giác lồi.
MOlympiad.NET là dự án thu thập và phát hành các đề thi tuyển sinh và học sinh giỏi toán. Quý bạn đọc muốn giúp chúng tôi chỉnh sửa đề thi này, xin hãy để lại bình luận facebook (có thể đính kèm hình ảnh) hoặc google (có thể sử dụng $\LaTeX$) bên dưới. BBT rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc liên hệ
Chúng tôi nhận tất cả các định dạng của tài liệu: $\TeX$, PDF, WORD, IMG,...



Name

Abel Albania AMM Amsterdam An Giang Andrew Wiles Anh APMO Austria (Áo) Ba Đình Ba Lan Bà Rịa Vũng Tàu Bắc Bộ Bắc Giang Bắc Kạn Bạc Liêu Bắc Ninh Bắc Trung Bộ Bài Toán Hay Balkan Baltic Way BAMO Bất Đẳng Thức Bến Tre Benelux Bình Định Bình Dương Bình Phước Bình Thuận Birch BMO Booklet Bosnia Herzegovina BoxMath Brazil British Bùi Đắc Hiên Bùi Thị Thiện Mỹ Bùi Văn Tuyên Bùi Xuân Diệu Bulgaria Buôn Ma Thuột BxMO Cà Mau Cần Thơ Canada Cao Bằng Cao Quang Minh Câu Chuyện Toán Học Caucasus CGMO China - Trung Quốc Chọn Đội Tuyển Chu Tuấn Anh Chuyên Đề Chuyên Sư Phạm Chuyên Trần Hưng Đạo Collection College Mathematic Concours Cono Sur Contest Correspondence Cosmin Poahata Crux Czech-Polish-Slovak Đà Nẵng Đa Thức Đại Số Đắk Lắk Đắk Nông Đan Phượng Danube Đào Thái Hiệp ĐBSCL Đề Thi Đề Thi HSG Đề Thi JMO Điện Biên Định Lý Định Lý Beaty Đỗ Hữu Đức Thịnh Do Thái Doãn Quang Tiến Đoàn Quỳnh Đoàn Văn Trung Đống Đa Đồng Nai Đồng Tháp Du Hiền Vinh Đức Duyên Hải Bắc Bộ E-Book EGMO ELMO EMC Epsilon Estonian Euler Evan Chen Fermat Finland Forum Of Geometry Furstenberg G. Polya Gặp Gỡ Toán Học Gauss GDTX Geometry Gia Lai Gia Viễn Giải Tích Hàm Giảng Võ Giới hạn Goldbach Hà Giang Hà Lan Hà Nam Hà Nội Hà Tĩnh Hà Trung Kiên Hải Dương Hải Phòng Hậu Giang Hậu Lộc Hilbert Hình Học HKUST Hòa Bình Hoài Nhơn Hoàng Bá Minh Hoàng Minh Quân Hodge Hojoo Lee HOMC HongKong HSG 10 HSG 10 Bắc Giang HSG 10 Thái Nguyên HSG 11 HSG 11 Bắc Giang HSG 11 Lạng Sơn HSG 11 Thái Nguyên HSG 12 HSG 12 2010-2011 HSG 12 2011-2012 HSG 12 2012-2013 HSG 12 2013-2014 HSG 12 2014-2015 HSG 12 2015-2016 HSG 12 2016-2017 HSG 12 2017-2018 HSG 12 2018-2019 HSG 12 2019-2020 HSG 12 2020-2021 HSG 12 2021-2022 HSG 12 Bắc Giang HSG 12 Bình Phước HSG 12 Đồng Tháp HSG 12 Lạng Sơn HSG 12 Long An HSG 12 Quảng Nam HSG 12 Quảng Ninh HSG 12 Thái Nguyên HSG 9 HSG 9 2010-2011 HSG 9 2011-2012 HSG 9 2012-2013 HSG 9 2013-2014 HSG 9 2014-2015 HSG 9 2015-2016 HSG 9 2016-2017 HSG 9 2017-2018 HSG 9 2018-2019 HSG 9 2019-2020 HSG 9 2020-2021 HSG 9 2021-202 HSG 9 2021-2022 HSG 9 Bắc Giang HSG 9 Bình Phước HSG 9 Đồng Tháp HSG 9 Lạng Sơn HSG 9 Long An HSG 9 Quảng Nam HSG 9 Quảng Ninh HSG Cấp Trường HSG Quốc Gia HSG Quốc Tế Hứa Lâm Phong Hứa Thuần Phỏng Hùng Vương Hưng Yên Hương Sơn Huỳnh Kim Linh Hy Lạp IMC IMO IMT India - Ấn Độ Inequality InMC International Iran Jakob JBMO Jewish Journal Junior K2pi Kazakhstan Khánh Hòa KHTN Kiên Giang Kim Liên Kon Tum Korea - Hàn Quốc Kvant Kỷ Yếu Lai Châu Lâm Đồng Lạng Sơn Langlands Lào Cai Lê Hải Châu Lê Hải Khôi Lê Hoành Phò Lê Khánh Sỹ Lê Minh Cường Lê Phúc Lữ Lê Phương Lê Quý Đôn Lê Viết Hải Lê Việt Hưng Leibniz Long An Lớp 10 Lớp 10 Chuyên Lớp 10 Không Chuyên Lớp 11 Lục Ngạn Lượng giác Lương Tài Lưu Giang Nam Lý Thánh Tông Macedonian Malaysia Margulis Mark Levi Mathematical Excalibur Mathematical Reflections Mathematics Magazine Mathematics Today Mathley MathLinks MathProblems Journal Mathscope MathsVN MathVN MEMO Metropolises Mexico MIC Michael Guillen Mochizuki Moldova Moscow MYM MYTS Nam Định Nam Phi National Nesbitt Newton Nghệ An Ngô Bảo Châu Ngô Việt Hải Ngọc Huyền Nguyễn Anh Tuyến Nguyễn Bá Đang Nguyễn Đình Thi Nguyễn Đức Tấn Nguyễn Đức Thắng Nguyễn Duy Khương Nguyễn Duy Tùng Nguyễn Hữu Điển Nguyễn Mình Hà Nguyễn Minh Tuấn Nguyễn Phan Tài Vương Nguyễn Phú Khánh Nguyễn Phúc Tăng Nguyễn Quản Bá Hồng Nguyễn Quang Sơn Nguyễn Tài Chung Nguyễn Tăng Vũ Nguyễn Tất Thu Nguyễn Thúc Vũ Hoàng Nguyễn Trung Tuấn Nguyễn Tuấn Anh Nguyễn Văn Huyện Nguyễn Văn Mậu Nguyễn Văn Nho Nguyễn Văn Quý Nguyễn Văn Thông Nguyễn Việt Anh Nguyễn Vũ Lương Nhật Bản Nhóm $\LaTeX$ Nhóm Toán Ninh Bình Ninh Thuận Nội Suy Lagrange Nội Suy Newton Nordic Olympiad Corner Olympiad Preliminary Olympic 10 Olympic 10/3 Olympic 11 Olympic 12 Olympic 24/3 Olympic 24/3 Quảng Nam Olympic 27/4 Olympic 30/4 Olympic KHTN Olympic Sinh Viên Olympic Tháng 4 Olympic Toán Olympic Toán Sơ Cấp PAMO Phạm Đình Đồng Phạm Đức Tài Phạm Huy Hoàng Pham Kim Hung Phạm Quốc Sang Phan Huy Khải Phan Thành Nam Pháp Philippines Phú Thọ Phú Yên Phùng Hồ Hải Phương Trình Hàm Phương Trình Pythagoras Pi Polish Problems PT-HPT PTNK Putnam Quảng Bình Quảng Nam Quảng Ngãi Quảng Ninh Quảng Trị Quỹ Tích Riemann RMM RMO Romania Romanian Mathematical Russia Sách Thường Thức Toán Sách Toán Sách Toán Cao Học Sách Toán THCS Saudi Arabia - Ả Rập Xê Út Scholze Serbia Sharygin Shortlists Simon Singh Singapore Số Học - Tổ Hợp Sóc Trăng Sơn La Spain Star Education Stars of Mathematics Swinnerton-Dyer Talent Search Tăng Hải Tuân Tạp Chí Tập San Tây Ban Nha Tây Ninh Thạch Hà Thái Bình Thái Nguyên Thái Vân Thanh Hóa THCS Thổ Nhĩ Kỳ Thomas J. Mildorf THPT Chuyên Lê Quý Đôn THPTQG THTT Thừa Thiên Huế Tiền Giang Tin Tức Toán Học Titu Andreescu Toán 12 Toán Cao Cấp Toán Chuyên Toán Rời Rạc Toán Tuổi Thơ Tôn Ngọc Minh Quân TOT TPHCM Trà Vinh Trắc Nghiệm Trắc Nghiệm Toán Trại Hè Trại Hè Hùng Vương Trại Hè Phương Nam Trần Đăng Phúc Trần Minh Hiền Trần Nam Dũng Trần Phương Trần Quang Hùng Trần Quốc Anh Trần Quốc Luật Trần Quốc Nghĩa Trần Tiến Tự Trịnh Đào Chiến Trường Đông Trường Hè Trường Thu Trường Xuân TST TST 2010-2011 TST 2011-2012 TST 2012-2013 TST 2013-2014 TST 2014-2015 TST 2015-2016 TST 2016-2017 TST 2017-2018 TST 2018-2019 TST 2019-2020 TST 2020-2021 TST 2021-2022 TST Bắc Giang TST Bình Phước TST Đồng Tháp TST Lạng Sơn TST Long An TST Quảng Nam TST Quảng Ninh TST Thái Nguyên Tuyên Quang Tuyển Sinh Tuyển Sinh 10 Tuyển Sinh 10 Bắc Giang Tuyển Sinh 10 Bình Phước Tuyển Sinh 10 Đồng Tháp Tuyển Sinh 10 Lạng Sơn Tuyển Sinh 10 Long An Tuyển Sinh 10 Quảng Nam Tuyển Sinh 10 Quảng Ninh Tuyển Sinh 10 Thái Nguyên Tuyển Sinh 2010-2011 Tuyển Sinh 2011-2012 Tuyển Sinh 2011-2022 Tuyển Sinh 2012-2013 Tuyển Sinh 2013-2014 Tuyển Sinh 2014-2015 Tuyển Sinh 2015-2016 Tuyển Sinh 2016-2017 Tuyển Sinh 2017-2018 Tuyển Sinh 2018-2019 Tuyển Sinh 2019-2020 Tuyển Sinh 2020-2021 Tuyển Sinh 2021-202 Tuyển Sinh 2021-2022 Tuyển Tập Tuymaada UK - Anh Undergraduate USA - Mỹ USA TSTST USAJMO USATST USEMO Uzbekistan Vasile Cîrtoaje Vật Lý Viện Toán Học Vietnam Viktor Prasolov VIMF Vinh Vĩnh Long Vĩnh Phúc Virginia Tech VLTT VMEO VMF VMO VNTST Võ Anh Khoa Võ Quốc Bá Cẩn Võ Thành Văn Vojtěch Jarník Vũ Hữu Bình Vương Trung Dũng WFNMC Journal Wiles Yên Bái Yên Định Yên Thành Zhautykov Zhou Yuan Zhe
false
ltr
item
MOlympiad.NET: Đề Thi Chọn Đội Tuyển Toán Trung Quốc Tham Dự IMO 2013
Đề Thi Chọn Đội Tuyển Toán Trung Quốc Tham Dự IMO 2013
MOlympiad.NET
https://www.molympiad.net/2017/09/de-thi-chon-doi-tuyen-trung-quoc-2013.html
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/2017/09/de-thi-chon-doi-tuyen-trung-quoc-2013.html
true
2506595080985176441
UTF-8
Not found any posts Not found any related posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU Tag ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Contents See also related Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy THIS PREMIUM CONTENT IS LOCKED
PLEASE FOLLOW THE INSTRUCTIONS TO VIEW THIS CONTENT
NỘI DUNG CAO CẤP NÀY ĐÃ BỊ KHÓA
XIN HÃY LÀM THEO HƯỚNG DẪN ĐỂ XEM NỘI DUNG NÀY
STEP 1: SHARE THIS ARTICLE TO A SOCIAL NETWORK
BƯỚC 1: CHIA SẺ BÀI VIẾT NÀY LÊN MẠNG XÃ HỘI
STEP 2: CLICK THE LINK ON YOUR SOCIAL NETWORK
BƯỚC 2: BẤM VÀO ĐƯỜNG DẪN TRÊN MẠNG XÃ HỘI CỦA BẠN