1. For pairwise distinct nonnegative reals $a,b,c$, prove that $$\frac{a^2}{(b-c)^2}+\frac{b^2}{(c-a)^2}+\frac{c^2}{(b-a)^2}>2.$$
2. Define a function $f(n)$ from the positive integers to the positive integers such that $f(f(n))$ is the number of positive integer divisors of $n$. Prove that if $p$ is a prime, then $f(p)$ is prime.
3. Define $S_n$ as the set ${1,2,\cdots,n}$. A non-empty subset $T_n$ of $S_n$ is called balanced if the average of the elements of $T_n$ is equal to the median of $T_n$. Prove that, for all $n$, the number of balanced subsets $T_n$ is odd.
4. Let $ABCD$ be a parallelogram. Points $P$ and $Q$ lie inside $ABCD$ such that $\bigtriangleup ABP$ and $\bigtriangleup{BCQ}$ are equilateral. Prove that the intersection of the line through $P$ perpendicular to $PD$ and the line through $Q$ perpendicular to $DQ$ lies on the altitude from $B$ in $\bigtriangleup{ABC}$.
5. There are $100$ circles of radius one in the plane. A triangle formed by the centres of any three given circles has area at most $2017$. Prove that there is a line intersecting at least three of the circles.
 MOlympiad.NET là dự án thu thập và phát hành các đề thi tuyển sinh và học sinh giỏi toán. Quý bạn đọc muốn giúp chúng tôi chỉnh sửa đề thi này, xin hãy để lại bình luận facebook (có thể đính kèm hình ảnh) hoặc google (có thể sử dụng $\LaTeX$) bên dưới. BBT rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc liên hệbbt.molympiad@gmail.comChúng tôi nhận tất cả các định dạng của tài liệu: $\TeX$, PDF, WORD, IMG,...