1. Determine all polynomials $P(x)$ with real coefficients such that $(x+1)P(x-1)-(x-1)P(x)$ is a constant polynomial.
2. The sequence $a_1, a_2, \dots, a_n$ consists of the numbers $1, 2, \dots, n$ in some order. For which positive integers $n$ is it possible that the $n+1$ numbers $0$, $a_1$, $a_1+a_2$, $a_1+a_2+a_3$, $\dots$, $a_1 + a_2 +\cdots + a_n$ all have different remainders when divided by $n + 1$?
3. Let $G$ be the centroid of a right-angled triangle $ABC$ with $\angle BCA = 90^\circ$. Let $P$ be the point on ray $AG$ such that $\angle CPA = \angle CAB$, and let $Q$ be the point on ray $BG$ such that $\angle CQB = \angle ABC$. Prove that the circumcircles of triangles $AQG$ and $BPG$ meet at a point on side $AB$.
4. Let $n$ be a positive integer. For any positive integer $j$ and positive real number $r$, define $f_j(r)$ and $g_j(r)$ by $$f_j(r) = \min (jr, n) + \min\left(\frac{j}{r}, n\right),$$ $$g_j(r) = \min (\lceil jr\rceil, n) + \min \left(\left\lceil\frac{j}{r}\right\rceil, n\right),$$ where $\lceil x\rceil$ denotes the smallest integer greater than or equal to $x$. Prove that $\sum_{j=1}^n f_j(r)\leq n^2+n\leq \sum_{j=1}^n g_j(r)$ for all positive real numbers $r$.
5. Let $O$ denote the circumcentre of an acute-angled triangle $ABC$. Let point $P$ on side $AB$ be such that $\angle BOP = \angle ABC$, and let point $Q$ on side $AC$ be such that $\angle COQ = \angle ACB$. Prove that the reflection of $BC$ in the line $PQ$ is tangent to the circumcircle of triangle $APQ$.
 MOlympiad.NET là dự án thu thập và phát hành các đề thi tuyển sinh và học sinh giỏi toán. Quý bạn đọc muốn giúp chúng tôi chỉnh sửa đề thi này, xin hãy để lại bình luận facebook (có thể đính kèm hình ảnh) hoặc google (có thể sử dụng $\LaTeX$) bên dưới. BBT rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc liên hệbbt.molympiad@gmail.comChúng tôi nhận tất cả các định dạng của tài liệu: $\TeX$, PDF, WORD, IMG,...