$hide=mobile$type=ticker$c=12$cols=3$l=0$sr=random$b=0

Martin Koppe: Các Công Trình Của Joseph Fourier Vẫn Còn Đang Làm Thay Đổi Khoa Học

Jean Baptiste Joseph Fourier (21 tháng 3 năm 1768 – 16 tháng 5 năm 1830) là một nhà toán học và vật lý học người Pháp. Ông được biết đến nhờ các công trình về cơ sở toán học của sự lan truyền nhiệt và nhờ việc nghiên cứu các chuỗi mà ngày nay ta gọi là các chuỗi Fourier. Phép biến đổi Fourier được đặt tên để tưởng nhớ tới những đóng góp của ông là một công cụ quan trọng được ứng dụng rộng rãi trong cả khoa học lẫn đời sống. Sau Cách mạng Pháp, ông làm việc cho Hoàng đế Napoléon và đã được Napoléon phong Nam tước. Sau khi Đế chế Napoléon sụp đổ, Fourier quay lại thế giới học thuật và cuối cùng đã thành công, mặc dù ông đã không dành nhiều thời gian để làm toán. Do vai trò quan trọng của các công trình của Fourier trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật và vật lý, nhân kỷ niệm 250 năm ngày sinh của ông, Hội Toán học Pháp tuyên bố năm 2018 là “Năm Joseph Fourier”. Trong dịp này, website của Trung tâm quốc gia nghiên cứu khoa học Pháp (CNRS) đăng bài “Joseph Fourier is Still Transforming Science” của nhà báo Martin Koppe. Bên dưới là bản dịch bài báo này sang tiếng Việt.
Các công trình của Joseph Fourier, người được tổ chức kỷ niệm 250 năm ngày sinh nhật vào tháng trước, đã dẫn tới rất nhiều ứng dụng trong thời đại ngày nay, từ các ảnh định dạng JPEG tới việc phát hiện ra sóng hấp dẫn (gravita- tional waves). Tuy nhiên, vị trí của ông không phải lúc nào cũng được hậu thế nhìn nhận một cách đúng mức, mặc dù nhà khoa học phi thường này đang trở lại đỉnh vinh quang một lần nữa.

Cũng giống như các chủ đề đã được Joseph Fourier chọn để nghiên cứu, vị thế của ông có những thăng trầm trong lịch sử. Ở cuối đời, ông là một nhà vật lý và nhà toán học giành được nhiều sự tán dương, tuy nhiên sau đó danh tiếng của ông gần như bị khoa học và lịch sử khoa học lãng quên, trước khi trở lại rực rỡ vào giai đoạn hậu chiến (sau năm 1945). Khi chúng ta đang kỉ niệm 250 năm ngày sinh của ông, các công trình của Fourier đã đi vào trong cả các ứng dụng hàng ngày lẫn trong nghiên cứu khoa học chuyên sâu.

Joseph Fourier là một trong số các nhà khoa học được chọn để được vinh danh vào các Ngày Tưởng niệm Quốc gia (2) trong năm nay. Hội Toán học Pháp cũng công bố năm 2018 là Năm Joseph Fourier. Sinh ra ở Auxerre năm 1768, ông mồ côi khi còn nhỏ tuổi và được hướng dẫn để thành một thầy tu theo dòng Thánh Benedict trong Cơ đốc giáo (Bannedictine monk). Nhưng Cuộc cách mạng (Cách mạng Pháp 1789 - 1799) nổ ra đã ngăn cản ông khi ông sắp sửa tuyên thệ trước Thiên Chúa, đồng thời cũng làm ông tự do bước vào con đường giảng dạy và nghiên cứu khoa học.

Sau sự chuyển biến bất ngờ của những sự kiện này, Fourier bắt đầu tham gia vào một số hoạt động mà sau này trở thành những dấu ấn quan trọng trong sự nghiệp. Từ năm 1795 ông bắt đầu giảng dạy giải tích tại Trường Bách khoa Paris (École Polytechnique) mới vừa được thành lập, năm 1793 điều hành Ủy ban Giám sát cách mạng (Revolutionary Surveillance Committee) của Auxerre (3) , một chi nhánh địa phương của Ủy ban An toàn Công cộng (4) do Robespierre (5) đứng đầu. Sau đó ông dấn thân vào một chiến dịch tới Ai cập cùng với Gaspard Monge, người đã từng giúp ông có được vị trí tại Trường Bách khoa Paris. Trong khoảng thời gian này ông đã được Hoàng đế Napoleon để ý đến, để rồi đến năm 1802 bổ nhiệm ông làm quận trưởng của một quận thuộc vùng Isère.

Khác với hình ảnh của một nhà khoa học đóng kín trong phòng thí nghiệm, Fourier tích cực tham gia vào công cuộc thay đổi một nước Pháp từ trong hỗn loạn. Mà theo Jean Dhombres, nhà nghiên cứu cấp cao đã về hưu tại Trung tâm Alexandre-Koyre (CNRS / EHESS / MNHN) và là đồng tác giả của cuốn tiểu sử về Fourier (7) , đã chỉ ra rằng đây là một nét đặc biệt của người Pháp.

Một sự thay đổi hiếm thấy trong khoa học

“Trong khi Chế độ quân chủ trước Cách mạng Pháp (Ancien Régime - Khoảng từ TK 15) chưa bao giờ đưa toán thành môn học bắt buộc hay phong tước cho những nhà khoa học như trường hợp ở Anh, thì giờ đây các nhà toán học và các nhà khoa học đã bắt đầu tham gia chính trong Cách mạng Pháp,” Jean Dhombres dẫn lại lời của Lazare Carnot - nhà vật lý, nhà toán học và là thành viên của Hội đồng Đốc chính Pháp (Directorate (8) ), cũng giống như Napoléon - người sau đó tham gia Viện Hàn lâm Khoa học năm 1797 khi đang còn là một tướng lĩnh.

“Fourier đã không theo lối mòn như các nhà nghiên cứu khác,” Dhombres giải thích. “Ông đã cống hiến cho khoa học ngắn ngủi nhưng mãnh liệt.” Ông khám phá ra bài toán về sự truyền nhiệt vào tháng Mười năm 1804 và hoàn thành công trình đó bằng cả thực nghiệm và lý thuyết vào tháng Giêng năm 1807. Thời khắc thiên tài thứ hai của ông là vào năm 1817 với lý thuyết về phép biến đổi Fourier mà ngày nay đã giữ một vai trò to lớn trong khoa học.
Phép biến đổi Fourier cho biết thông tin về tần số của một tín hiệu, tức là sự phân bố của nó ở những dải tần số khác nhau thì khác nhau. Ở đây là phép biến đổi quang học của đường cong Koch.
Lý thuyết giải tích về sự truyền nhiệt của ông ban đầu nhận được những ý kiến đánh giá đa chiều, cũng như đã bị hai thành viên của Viện Hàn lâm Pháp là J. L. Lagrange và P. S. Laplace phản bác. Công trình đó của Fourier mãi đến năm 1822 mới được công bố (9) , chỉ sau khi ông giữ chức vụ thư ký trọn đời (perpetual secre- tary) của Viện Hàn lâm Khoa học Pháp. Trong nghiên cứu của mình, Fourier đã phát triển một công cụ toán học mới mà ngày nay ta biết là chuỗi Fourier. Nó giúp phân tích một tín hiệu tuần hoàn bất kỳ thành tổng của các đường hình sin (sinu-soid) với tần số là các bội số của chu kỳ của tín hiệu.

Còn với phép biến đổi Fourier, nó cung cấp về phổ tần số (frequency spectrum) của một hàm, là sự phân bố của một tín hiệu theo những dải tần số khác nhau. Những công cụ này là một phần quan trọng của việc xử lý tín hiệu, một lĩnh vực chưa xuất hiện vào thời đó.

Cha đẻ của ngành vật lý toán

“Fourier làm vật lý toán mà không bị chi phối cũng như không để phục vụ cho một cái gì khác,” Dhombres nhấn mạnh. “Ông bắt đầu bằng những thí nghiệm và lý thuyết nền tảng hơn là từ những suy luận logic trên lý thuyết, và bằng cách đó ông đã chứng minh được nhiệt lan truyền như một dạng sóng. Quan niệm này ngày nay đã là tầm thường, nhưng vào thời điểm đó với bất kỳ nhà khoa học nào cũng đều là lố bịch.”

Fourier không hề đặt ra bất kỳ giả thiết đặc biệt nào cho bản chất của nhiệt mà đi xây dựng lý thuyết của mình một cách riêng biệt dựa trên những sự kiện thực tế và các thí nghiệm. Chính cách tiếp cận này làm Auguste Comte ngưỡng mộ, người đã xem ông như một ví dụ hoàn hảo của chủ nghĩa thực chứng (pos- itivism). Điều này minh chứng cho việc Fourier nhận được sự tán dương ngay khi lý thuyết của ông vừa được công bố, trước khi danh tiếng của ông trải qua thăng trầm theo năm tháng.

“Vị trí của Fourier đối với các thế hệ sau liên tục bị thay đổi, thay đổi không chỉ trong lịch sử khoa học mà còn chính cả trong khoa học,” Dhombres cho biết thêm. Trong suốt Thế kỷ 19, lý thuyết giải tích toán học của ông không hề được các nhà nghiên cứu sử dụng đến, thậm chí không được xem là quan trọng trong các khóa toán học tại Trường Bách khoa, nơi ông từng giảng dạy trước khi rời khỏi đó để tham gia chiến dịch Ai Cập. Bắt đầu từ những năm 1830 và thời hậu chiến, các nghiên cứu của ông cuối cùng đã trở lại vị trí tiên phong và hình thành nên một lĩnh vực độc lập trong giải tích.

Patrick Flandrin, nhà nghiên cứu cấp cao tại Phòng thí nghiệm Vật lý của ENS ở Lyon và là thành viên của Viện Hàn lâm Khoa học Pháp, cho rằng công nghệ thông tin đã đóng vai trò cốt yếu để đem ánh hào quang trở lại cho lý thuyết của Fourier. “Giải tích Fourier đã quá quen thuộc trong suốt thập niên 1960 nhưng ứng dụng của nó thực sự được biết đến rộng rãi là nhờ sự ra đời của thuật toán Biến đổi Fourier nhanh (Fast Fourier Transform – FFT). Nó làm cho công nghệ thông tin ít tốn kém hơn, nhanh hơn và dễ tiếp cận hơn.”

Di sản của Jean-Pierre Kahane

Flandrin nhấn mạnh tầm quan trọng của một nhà nghiên cứu khác: Jean- Pierre Kahane. Là giáo sư tại đại học Montpellier và Orsay và là thành viên của Viện Hàn lâm Khoa học Pháp, Jean-Pierre Kahane (1926-2017) hoàn thành nghiên cứu rất quan trọng về chuỗi Fourier và chuỗi ngẫu nhiên (random series). Công trình này đã góp phần đáng kể cho thời kỳ vinh quang thứ hai của Fourier.

“Jean-Pierre Kahane thích nhắc nhở mọi người rằng, cho tới cả những năm 1970, trong Bách khoa toàn thư phổ thông (Encyclopaedia universalis) vẫn không có mục về Joseph Fourier,” Flan- drin thuật lại. “Ngày nay, lý thuyết giải tích của ông có thể được tìm thấy trong vật lý thiên văn, hóa học, toán học..., vậy mà ông vẫn không nhận được sự công nhận tương xứng mà ông xứng đáng có từ công chúng.”

Những năm gần đây, người ta ngày càng phát hiện ra nhiều ứng dụng từ các công trình của Fourier. Một chuyện thông thường, ví dụ như việc đọc bài báo này trực tuyến, cũng đòi hỏi nhiều phép biến đổi Fourier, được dùng trong việc nén các ảnh số (digital images), đặc biệt là các ảnh có định dạng JPEG phổ biến. Công cụ đã-từng-bị-lãng-quên này cũng được dùng cho các mạng 3G và 4G, và trở thành một trong những công cụ tính toán thông dụng nhất trong lĩnh vực công nghệ thông tin.

Flandrin sau đó trích dẫn lý thuyết sóng nhỏ (wavelets), là lý thuyết được phát triển bởi nhiều người, mà tiêu biểu là Ingrid Daubechies (giáo sư Đại học Duke) và bởi Yves Meyes (giáo sư về hưu tại trường ENS Paris-Saclay)-người được giải thưởng Abel năm 2017 và đồng thời là học trò cũ của Jean-Pierre Kahane. Trong khi nghiên cứu của Fourier phân tích các tần số của tín hiệu thì sóng nhỏ cũng có thể phân tích tín hiệu theo thời gian. Những công cụ này được dùng chủ yếu để nén ảnh số nhưng chúng cũng có thể giúp phát hiện ra sóng hấp dẫn (grav- itational waves). Sóng hấp dẫn sẽ được tách ra nhờ sự phân tích sóng nhỏ của tín hiệu được phát hiện bởi giao thoa kế LIGO.

“Fourier đã mở ra một lĩnh vực rộng lớn,” Flandrin nói một cách say mê. “Rất nhiều nhà nghiên cứu đã dựa trên công trình tiên phong của Fourier và phát triển nó. Ngay khi các quy luật mới được thiết lập, ta muốn quan sát chúng, đẩy chúng đến các giới hạn và sử dụng chúng một cách tốt nhất.”

Từ biến đổi Fourier đến sóng nhỏ

Hervé Queffélec (giáo sư về hưu tại Đại học Lille 1) cũng có cùng chung suy nghĩ với Flandrin. Ông đã từng làm việc, giống như Meyer, dưới sự hướng dẫn của Ka- hane. “Ta có thể nói rằng các sóng nhỏ là con cháu của Fourier, chúng được xây dựng để bù đắp những thiếu hụt trong phép biến đổi của ông trong lĩnh vực kĩ thuật số.” Nhà nghiên cứu này, người đã nghiên cứu về chuỗi Fourier, giải thích rằng giải tích Fourier chống lại Nguyên lý bất định Heisenberg (Heisenberg’s Uncer- tainty Principle) trong cơ học lượng tử, theo đó sự hiểu biết đồng thời về vị trí và vận tốc của một hạt bị giới hạn bởi một ngưỡng chính xác nhất định.

“Fourier đã sử dụng hàm số mũ với số mũ ảo, là những hàm số ‘khó thay đổi’ (rigid functions),” Queffélec nói thêm. “Sóng nhỏ có thể cho phép ta định vị được tín hiệu cả về thời gian và tần số.” Nhà khoa học này cũng đề cập đến chuỗi Fourier ngẫu nhiên (random Fourier series), là công cụ đã giúp Gilles Pisier, giáo sư về hưu tại ĐH Pierre et Marie Curie và ĐH Texas A&M, và đồng thời là thành viên của Viện Hàn lâm Khoa học, đạt được những tiến bộ quan trọng đối với các chuỗi Fourier khuyết (lacunary Fourier series). Những công cụ xác suất này giành được nhiều sự quan tâm cũng giống như chuỗi Fourier và còn được sử dụng để xây dựng chuyển động Brown.

Một lần nữa đây chính là cách tiếp cận vào bản chất cốt lõi của công trình của Fourier, tức là quá trình truyền nhiệt. Định luật Fourier nói rằng tốc độ truyền nhiệt trong một thanh rắn tỉ lệ với gra- dient nhiệt độ. Đây là cơ sở để dẫn tới phương trình truyền nhiệt thứ nhất. Các nguyên lý này cũng có thể tìm thấy trong chuyển động Brown, đặc biệt là định luật Ohm - mô tả cường độ dòng điện - và định luật Fick - mô tả sự khuếch tán của vật chất ở những mật độ vật chất khác nhau.

Vấn đề cân bằng của hệ

Cũng như những công cụ có tính nền tảng khác mà sự phát triển chúng sẽ còn tiếp tục, sự đóng góp quan trọng nói trên của Fourier vẫn là đề tài của những lĩnh vực nghiên cứu chuyên sâu. Bernarrd Derrida là nhà nghiên cứu tại LPS (14) , thành viên của Viện Hàn lâm Khoa học - giáo sư tại Collège de France, đã phát biểu rằng chính những tiến bộ trong công nghệ thông tin đã giúp công trình của Fourier bước lên đài vinh quang lần hai.

“Định luật Fourier về sự truyền nhiệt một lần nữa trở thành đề tài nghiên cứu mang tính thời sự. Các mô phỏng kỹ thuật số đã cho thấy định luật này không thỏa mãn với hệ một hoặc hai chiều.” Nó cũng không thỏa mãn với những hệ đơn giản hơn như khí hoàn hảo (perfect gas) hay hàm điều hòa cầu (solid harmonics), nói cách khác, nó không hoạt động trên những dãy dao động ghép đôi. “Bằng các phép tính tương đối sơ cấp ta thấy rằng trong khi các hạt đi qua một môi trường không bị va chạm thì hệ không thể tự cân bằng.” Điều này mới trông có vẻ hơi phản trực giác nhưng thật ra lại đúng đắn, bởi vì các hệ đó không quá hỗn độn và do đó làm chúng không thể tự cân bằng. Nhưng vậy thì tại sao ngày nay người ta vẫn còn hứng thú với định luật Fourier?

“Các nhà nghiên cứu đầu Thế kỷ 21 rất hào hứng với những hệ không cân bằng, chẳng hạn như một vật liệu tiếp xúc với hai nguồn nhiệt ở những nhiệt độ khác nhau. Khi đó định luật Fourier đặt ra một trong những câu hỏi đơn giản nhất trong vật lý của các lực không cân bằng này. Một trong những hướng nghiên cứu ngày nay là tìm hiểu chúng thông qua việc mô tả các nguyên tử ở mức độ vi mô.”

Fourier được vinh danh

Công trình của Fourier cuối cùng đã được ghi nhận một cách đầu đủ, và tiếng vang từ đó đã giúp mọi người nhận thức rõ ràng hơn về ông. Ngày 13 tháng 3 năm 2018, Viện Hàn lâm Khoa học đã tổ chức một hội nghị với chủ đề “Fourier và khoa học ngày nay” do Flandrin and Jean-François Le Gall (là giáo sư Đại học Paris-Sud và cũng là viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học) chủ trì, để vinh danh ông.

“Fourier đã có ảnh hưởng đáng kể đến cuộc sống thường nhật chúng ta và đời sống khoa học; đồng thời, ông biểu lộ một tính cách phức tạp,” Flandrin nhấn mạnh. “Ông ấy là một nhà khoa học có quan tâm nhiều đến cuộc sống xã hội. Chẳng hạn ông đã giúp đỡ cho sự nghiệp của Sophie Germain để bà có thể tham gia các phiên hội nghị của Viện Hàn lâm Khoa học, nơi khi đó còn không cho phép phụ nữ bén mảng tới.

Một minh chứng khác trong việc ghi nhận tên tuổi của ông ở thời hậu chiến là tên trường đại học Université de Greno- ble - do chính Fourier sáng lập khi ông còn là quận trưởng ở Isère - đã được đổi thành tên ông (Université Joseph Fourier). Đồng thời, một trường đại học khác trong cùng thành phố đã thành lập một trung tâm nghiên cứu toán học cao cấp, lấy tên là Viện Fourier (In- stitut Fourier, CNRS/Université Grenoble Alpes). Những di sản mà ông để lại đó sẽ còn mãi với hậu thế.

- Martin Koppe (Người dịch: Phan Đình Phùng, Nguyễn An Khương)

$hide=mobile$type=ticker$c=36$cols=2$l=0$sr=random$b=0

$hide=mobile

Name

Abel,5,Albania,2,AMM,2,Amsterdam,5,An Giang,40,Andrew Wiles,1,Anh,2,APMO,21,Austria (Áo),1,Ba Đình,2,Ba Lan,1,Bà Rịa Vũng Tàu,71,Bắc Bộ,2,Bắc Giang,59,Bắc Kạn,3,Bạc Liêu,14,Bắc Ninh,58,Bắc Trung Bộ,3,Bài Toán Hay,5,Balkan,40,Baltic Way,32,BAMO,1,Bất Đẳng Thức,69,Bến Tre,67,Benelux,15,Bình Định,60,Bình Dương,35,Bình Phước,47,Bình Thuận,39,Birch,1,BMO,40,Booklet,12,Bosnia Herzegovina,3,BoxMath,3,Brazil,2,British,16,Bùi Đắc Hiên,1,Bùi Thị Thiện Mỹ,1,Bùi Văn Tuyên,1,Bùi Xuân Diệu,1,Bulgaria,6,Buôn Ma Thuột,2,BxMO,14,Cà Mau,20,Cần Thơ,25,Canada,40,Cao Bằng,11,Cao Quang Minh,1,Câu Chuyện Toán Học,43,Caucasus,3,CGMO,11,China - Trung Quốc,25,Chọn Đội Tuyển,467,Chu Tuấn Anh,1,Chuyên Đề,125,Chuyên SPHCM,7,Chuyên SPHN,26,Chuyên Trần Hưng Đạo,2,Collection,8,College Mathematic,1,Concours,1,Cono Sur,1,Contest,666,Correspondence,1,Cosmin Poahata,1,Crux,2,Czech-Polish-Slovak,26,Đà Nẵng,48,Đa Thức,2,Đại Số,20,Đắk Lắk,72,Đắk Nông,12,Đan Phượng,1,Danube,7,Đào Thái Hiệp,1,ĐBSCL,2,Đề Thi,1,Đề Thi HSG,2087,Đề Thi JMO,1,DHBB,28,Điện Biên,12,Định Lý,1,Định Lý Beaty,1,Đỗ Hữu Đức Thịnh,1,Do Thái,3,Doãn Quang Tiến,5,Đoàn Quỳnh,1,Đoàn Văn Trung,1,Đống Đa,4,Đồng Nai,62,Đồng Tháp,62,Du Hiền Vinh,1,Đức,1,Dương Quỳnh Châu,1,Dương Tú,1,Duyên Hải Bắc Bộ,28,E-Book,31,EGMO,29,ELMO,19,EMC,10,Epsilon,1,Estonian,5,Euler,1,Evan Chen,1,Fermat,3,Finland,4,Forum Of Geometry,2,Furstenberg,1,G. Polya,3,Gặp Gỡ Toán Học,30,Gauss,1,GDTX,3,Geometry,14,GGTH,30,Gia Lai,37,Gia Viễn,2,Giải Tích Hàm,1,Giảng Võ,1,Giới hạn,2,Goldbach,1,Hà Giang,4,Hà Lan,1,Hà Nam,38,Hà Nội,256,Hà Tĩnh,87,Hà Trung Kiên,1,Hải Dương,63,Hải Phòng,54,Hậu Giang,11,Hậu Lộc,1,Hélènne Esnault,1,Hilbert,2,Hình Học,33,HKUST,7,Hòa Bình,31,Hoài Nhơn,1,Hoàng Bá Minh,1,Hoàng Minh Quân,1,Hodge,1,Hojoo Lee,2,HOMC,5,HongKong,8,HSG 10,114,HSG 10 2010-2011,4,HSG 10 2011-2012,6,HSG 10 2012-2013,5,HSG 10 2013-2014,4,HSG 10 2014-2015,5,HSG 10 2015-2016,2,HSG 10 2016-2017,5,HSG 10 2017-2018,3,HSG 10 2018-2019,3,HSG 10 2019-2020,8,HSG 10 2020-2021,2,HSG 10 2021-2022,2,HSG 10 2022-2023,3,HSG 10 Bà Rịa Vũng Tàu,2,HSG 10 Bắc Giang,1,HSG 10 Bạc Liêu,2,HSG 10 Bắc Ninh,3,HSG 10 Bình Định,1,HSG 10 Bình Dương,1,HSG 10 Bình Thuận,3,HSG 10 Chuyên SPHN,5,HSG 10 Đắk Lắk,2,HSG 10 Đồng Nai,4,HSG 10 Gia Lai,2,HSG 10 Hà Nam,3,HSG 10 Hà Tĩnh,13,HSG 10 Hải Dương,9,HSG 10 KHTN,9,HSG 10 Kon Tum,1,HSG 10 Nghệ An,1,HSG 10 Ninh Thuận,1,HSG 10 Phú Yên,2,HSG 10 Quảng Trị,2,HSG 10 Thái Nguyên,8,HSG 10 Thanh Hóa,1,HSG 10 Trà Vinh,5,HSG 10 Vĩnh Phúc,14,HSG 1015-2016,3,HSG 11,115,HSG 11 2010-2011,4,HSG 11 2011-2012,5,HSG 11 2012-2013,7,HSG 11 2013-2014,4,HSG 11 2014-2015,8,HSG 11 2015-2016,2,HSG 11 2016-2017,5,HSG 11 2017-2018,4,HSG 11 2018-2019,5,HSG 11 2019-2020,5,HSG 11 2020-2021,5,HSG 11 2021-2022,1,HSG 11 An Giang,1,HSG 11 Bà Rịa Vũng Tàu,1,HSG 11 Bắc Giang,4,HSG 11 Bạc Liêu,2,HSG 11 Bắc Ninh,4,HSG 11 Bình Định,11,HSG 11 Bình Dương,3,HSG 11 Bình Thuận,1,HSG 11 Cà Mau,1,HSG 11 Đà Nẵng,9,HSG 11 Đồng Nai,1,HSG 11 Hà Nam,1,HSG 11 Hà Tĩnh,10,HSG 11 Hải Phòng,1,HSG 11 Kiên Giang,4,HSG 11 Lạng Sơn,11,HSG 11 Nghệ An,6,HSG 11 Ninh Bình,2,HSG 11 Quảng Bình,9,HSG 11 Quảng Ngãi,8,HSG 11 Quảng Trị,3,HSG 11 Sóc Trăng,1,HSG 11 Thái Nguyên,8,HSG 11 Thanh Hóa,4,HSG 11 Trà Vinh,1,HSG 11 Tuyên Quang,1,HSG 11 Vĩnh Long,2,HSG 11 Vĩnh Phúc,10,HSG 12,608,HSG 12 2009-2010,2,HSG 12 2010-2011,39,HSG 12 2011-2012,44,HSG 12 2012-2013,58,HSG 12 2013-2014,53,HSG 12 2014-2015,44,HSG 12 2015-2016,36,HSG 12 2016-2017,47,HSG 12 2017-2018,58,HSG 12 2018-2019,44,HSG 12 2019-2020,43,HSG 12 2020-2021,51,HSG 12 2021-2022,34,HSG 12 2022-2023,12,HSG 12 An Giang,7,HSG 12 Bà Rịa Vũng Tàu,11,HSG 12 Bắc Giang,17,HSG 12 Bạc Liêu,2,HSG 12 Bắc Ninh,13,HSG 12 Bến Tre,18,HSG 12 Bình Định,15,HSG 12 Bình Dương,7,HSG 12 Bình Phước,8,HSG 12 Bình Thuận,7,HSG 12 Cà Mau,8,HSG 12 Cần Thơ,7,HSG 12 Cao Bằng,5,HSG 12 Chuyên SPHN,9,HSG 12 Đà Nẵng,3,HSG 12 Đắk Lắk,20,HSG 12 Đắk Nông,1,HSG 12 Điện Biên,3,HSG 12 Đồng Nai,20,HSG 12 Đồng Tháp,18,HSG 12 Gia Lai,12,HSG 12 Hà Nam,4,HSG 12 Hà Nội,14,HSG 12 Hà Tĩnh,15,HSG 12 Hải Dương,13,HSG 12 Hải Phòng,19,HSG 12 Hậu Giang,3,HSG 12 Hòa Bình,10,HSG 12 Hưng Yên,9,HSG 12 Khánh Hòa,2,HSG 12 KHTN,26,HSG 12 Kiên Giang,11,HSG 12 Kon Tum,2,HSG 12 Lai Châu,4,HSG 12 Lâm Đồng,10,HSG 12 Lạng Sơn,8,HSG 12 Lào Cai,16,HSG 12 Long An,17,HSG 12 Nam Định,7,HSG 12 Nghệ An,11,HSG 12 Ninh Bình,11,HSG 12 Ninh Thuận,6,HSG 12 Phú Thọ,16,HSG 12 Phú Yên,12,HSG 12 Quảng Bình,12,HSG 12 Quảng Nam,9,HSG 12 Quảng Ngãi,5,HSG 12 Quảng Ninh,19,HSG 12 Quảng Trị,9,HSG 12 Sóc Trăng,4,HSG 12 Sơn La,5,HSG 12 Tây Ninh,6,HSG 12 Thái Bình,11,HSG 12 Thái Nguyên,12,HSG 12 Thanh Hóa,18,HSG 12 Thừa Thiên Huế,16,HSG 12 Tiền Giang,3,HSG 12 TPHCM,12,HSG 12 Tuyên Quang,2,HSG 12 Vĩnh Long,6,HSG 12 Vĩnh Phúc,22,HSG 9,533,HSG 9 2009-2010,1,HSG 9 2010-2011,21,HSG 9 2011-2012,44,HSG 9 2012-2013,44,HSG 9 2013-2014,36,HSG 9 2014-2015,40,HSG 9 2015-2016,39,HSG 9 2016-2017,42,HSG 9 2017-2018,47,HSG 9 2018-2019,50,HSG 9 2019-2020,20,HSG 9 2020-2021,53,HSG 9 2021-2022,57,HSG 9 2022-2023,1,HSG 9 An Giang,8,HSG 9 Bà Rịa Vũng Tàu,7,HSG 9 Bắc Giang,12,HSG 9 Bạc Liêu,1,HSG 9 Bắc Ninh,12,HSG 9 Bến Tre,9,HSG 9 Bình Định,10,HSG 9 Bình Dương,6,HSG 9 Bình Phước,13,HSG 9 Bình Thuận,5,HSG 9 Cà Mau,1,HSG 9 Cần Thơ,4,HSG 9 Cao Bằng,1,HSG 9 Chuyên SPHN,2,HSG 9 Đà Nẵng,10,HSG 9 Đắk Lắk,11,HSG 9 Đắk Nông,2,HSG 9 Điện Biên,3,HSG 9 Đồng Nai,7,HSG 9 Đồng Tháp,10,HSG 9 Gia Lai,8,HSG 9 Hà Giang,3,HSG 9 Hà Nam,9,HSG 9 Hà Nội,25,HSG 9 Hà Tĩnh,16,HSG 9 Hải Dương,14,HSG 9 Hải Phòng,7,HSG 9 Hậu Giang,4,HSG 9 Hòa Bình,3,HSG 9 Hưng Yên,9,HSG 9 Khánh Hòa,4,HSG 9 Kiên Giang,15,HSG 9 Kon Tum,8,HSG 9 Lai Châu,1,HSG 9 Lâm Đồng,13,HSG 9 Lạng Sơn,9,HSG 9 Lào Cai,3,HSG 9 Long An,9,HSG 9 Nam Định,8,HSG 9 Nghệ An,19,HSG 9 Ninh Bình,13,HSG 9 Ninh Thuận,3,HSG 9 Phú Thọ,12,HSG 9 Phú Yên,8,HSG 9 Quảng Bình,13,HSG 9 Quảng Nam,11,HSG 9 Quảng Ngãi,12,HSG 9 Quảng Ninh,15,HSG 9 Quảng Trị,9,HSG 9 Sóc Trăng,8,HSG 9 Sơn La,4,HSG 9 Tây Ninh,16,HSG 9 Thái Bình,9,HSG 9 Thái Nguyên,5,HSG 9 Thanh Hóa,17,HSG 9 Thừa Thiên Huế,8,HSG 9 Tiền Giang,6,HSG 9 TPHCM,10,HSG 9 Trà Vinh,2,HSG 9 Tuyên Quang,5,HSG 9 Vĩnh Long,11,HSG 9 Vĩnh Phúc,12,HSG Cấp Trường,89,HSG Quốc Gia,109,HSG Quốc Tế,16,HSG11 2021-2022,3,Hứa Lâm Phong,1,Hứa Thuần Phỏng,1,Hùng Vương,2,Hưng Yên,39,Hương Sơn,2,Huỳnh Kim Linh,1,Hy Lạp,1,IMC,26,IMO,57,IMT,2,IMU,2,India - Ấn Độ,47,Inequality,13,InMC,1,International,340,Iran,13,Jakob,1,JBMO,41,Jewish,1,Journal,30,Junior,38,K2pi,1,Kazakhstan,1,Khánh Hòa,26,KHTN,61,Kiên Giang,71,Kim Liên,1,Kon Tum,23,Korea - Hàn Quốc,5,Kvant,2,Kỷ Yếu,45,Lai Châu,10,Lâm Đồng,44,Lăng Hồng Nguyệt Anh,1,Lạng Sơn,35,Langlands,1,Lào Cai,32,Lê Hải Châu,1,Lê Hải Khôi,1,Lê Hoành Phò,4,Lê Hồng Phong,5,Lê Khánh Sỹ,3,Lê Minh Cường,1,Lê Phúc Lữ,1,Lê Phương,1,Lê Quý Đôn,1,Lê Viết Hải,1,Lê Việt Hưng,2,Leibniz,1,Long An,48,Lớp 10 Chuyên,666,Lớp 10 Không Chuyên,347,Lớp 11,1,Lục Ngạn,1,Lượng giác,1,Lương Tài,1,Lưu Giang Nam,2,Lưu Lý Tưởng,1,Lý Thánh Tông,1,Macedonian,1,Malaysia,1,Margulis,2,Mark Levi,1,Mathematical Excalibur,1,Mathematical Reflections,1,Mathematics Magazine,1,Mathematics Today,1,Mathley,1,MathLinks,1,MathProblems Journal,1,Mathscope,8,MathsVN,5,MathVN,1,MEMO,12,Menelaus,1,Metropolises,4,Mexico,1,MIC,1,Michael Atiyah,1,Michael Guillen,1,Mochizuki,1,Moldova,1,Moscow,1,MYTS,4,Nam Định,44,Nam Phi,1,National,276,Nesbitt,1,Newton,4,Nghệ An,68,Ngô Bảo Châu,2,Ngô Việt Hải,1,Ngọc Huyền,2,Nguyễn Anh Tuyến,1,Nguyễn Bá Đang,1,Nguyễn Đình Thi,1,Nguyễn Đức Tấn,1,Nguyễn Đức Thắng,1,Nguyễn Duy Khương,1,Nguyễn Duy Tùng,1,Nguyễn Hữu Điển,3,Nguyễn Minh Hà,1,Nguyễn Minh Tuấn,9,Nguyễn Nhất Huy,1,Nguyễn Phan Tài Vương,1,Nguyễn Phú Khánh,1,Nguyễn Phúc Tăng,2,Nguyễn Quản Bá Hồng,1,Nguyễn Quang Sơn,1,Nguyễn Song Thiên Long,1,Nguyễn Tài Chung,5,Nguyễn Tăng Vũ,1,Nguyễn Tất Thu,1,Nguyễn Thúc Vũ Hoàng,1,Nguyễn Trung Tuấn,8,Nguyễn Tuấn Anh,2,Nguyễn Văn Huyện,3,Nguyễn Văn Mậu,25,Nguyễn Văn Nho,1,Nguyễn Văn Quý,2,Nguyễn Văn Thông,1,Nguyễn Việt Anh,1,Nguyễn Vũ Lương,2,Nhật Bản,4,Nhóm $\LaTeX$,4,Nhóm Toán,1,Ninh Bình,58,Ninh Thuận,23,Nội Suy Lagrange,2,Nội Suy Newton,1,Nordic,21,Olympiad Corner,1,Olympiad Preliminary,2,Olympic 10,126,Olympic 10/3,6,Olympic 10/3 Đắk Lắk,6,Olympic 11,117,Olympic 12,49,Olympic 23/3,2,Olympic 24/3,10,Olympic 24/3 Quảng Nam,10,Olympic 27/4,23,Olympic 30/4,57,Olympic KHTN,7,Olympic Sinh Viên,75,Olympic Tháng 4,12,Olympic Toán,330,Olympic Toán Sơ Cấp,3,Ôn Thi 10,2,PAMO,1,Phạm Đình Đồng,1,Phạm Đức Tài,1,Phạm Huy Hoàng,1,Pham Kim Hung,3,Phạm Quốc Sang,2,Phan Huy Khải,1,Phan Quang Đạt,1,Phan Thành Nam,1,Pháp,2,Philippines,8,Phú Thọ,31,Phú Yên,38,Phùng Hồ Hải,1,Phương Trình Hàm,11,Phương Trình Pythagoras,1,Pi,1,Polish,32,Problems,1,PT-HPT,14,PTNK,50,Putnam,27,Quảng Bình,57,Quảng Nam,50,Quảng Ngãi,44,Quảng Ninh,54,Quảng Trị,38,Quỹ Tích,1,Riemann,1,RMM,13,RMO,24,Romania,37,Romanian Mathematical,1,Russia,1,Sách Thường Thức Toán,7,Sách Toán,70,Sách Toán Cao Học,1,Sách Toán THCS,7,Saudi Arabia - Ả Rập Xê Út,9,Scholze,1,Serbia,17,Sharygin,28,Shortlists,56,Simon Singh,1,Singapore,1,Số Học - Tổ Hợp,28,Sóc Trăng,31,Sơn La,21,Spain,8,Star Education,1,Stars of Mathematics,11,Swinnerton-Dyer,1,Talent Search,1,Tăng Hải Tuân,2,Tạp Chí,17,Tập San,3,Tây Ban Nha,1,Tây Ninh,36,Thạch Hà,1,Thái Bình,42,Thái Nguyên,57,Thái Vân,2,Thanh Hóa,73,THCS,2,Thổ Nhĩ Kỳ,5,Thomas J. Mildorf,1,Thông Tin Toán Học,43,THPT Chuyên Lê Quý Đôn,1,THPT Chuyên Nguyễn Du,9,THPTQG,16,THTT,6,Thừa Thiên Huế,50,Tiền Giang,27,Tin Tức Toán Học,1,Titu Andreescu,2,Toán 12,7,Toán Cao Cấp,3,Toán Rời Rạc,5,Toán Tuổi Thơ,3,Tôn Ngọc Minh Quân,2,TOT,1,TPHCM,141,Trà Vinh,9,Trắc Nghiệm,1,Trắc Nghiệm Toán,2,Trại Hè,37,Trại Hè Hùng Vương,28,Trại Hè Phương Nam,7,Trần Đăng Phúc,1,Trần Minh Hiền,2,Trần Nam Dũng,12,Trần Phương,1,Trần Quang Hùng,1,Trần Quốc Anh,2,Trần Quốc Luật,1,Trần Quốc Nghĩa,1,Trần Tiến Tự,1,Trịnh Đào Chiến,2,Trường Đông,20,Trường Hè,8,Trường Thu,1,Trường Xuân,2,TST,496,TST 2008-2009,1,TST 2010-2011,21,TST 2011-2012,23,TST 2012-2013,31,TST 2013-2014,29,TST 2014-2015,27,TST 2015-2016,26,TST 2016-2017,41,TST 2017-2018,41,TST 2018-2019,30,TST 2019-2020,36,TST 2020-2021,28,TST 2021-2022,36,TST 2022-2023,23,TST An Giang,7,TST Bà Rịa Vũng Tàu,10,TST Bắc Giang,5,TST Bắc Ninh,11,TST Bến Tre,7,TST Bình Định,4,TST Bình Dương,6,TST Bình Phước,7,TST Bình Thuận,8,TST Cà Mau,5,TST Cần Thơ,5,TST Cao Bằng,2,TST Đà Nẵng,8,TST Đắk Lắk,11,TST Đắk Nông,1,TST Điện Biên,2,TST Đồng Nai,12,TST Đồng Tháp,12,TST Gia Lai,4,TST Hà Nam,7,TST Hà Nội,10,TST Hà Tĩnh,14,TST Hải Dương,11,TST Hải Phòng,13,TST Hậu Giang,1,TST Hòa Bình,3,TST Hưng Yên,9,TST Khánh Hòa,8,TST Kiên Giang,10,TST Kon Tum,6,TST Lâm Đồng,11,TST Lạng Sơn,2,TST Lào Cai,4,TST Long An,5,TST Nam Định,8,TST Nghệ An,7,TST Ninh Bình,11,TST Ninh Thuận,3,TST Phú Thọ,13,TST Phú Yên,4,TST PTNK,9,TST Quảng Bình,12,TST Quảng Nam,5,TST Quảng Ngãi,7,TST Quảng Ninh,7,TST Quảng Trị,9,TST Sóc Trăng,3,TST Sơn La,7,TST Thái Bình,6,TST Thái Nguyên,8,TST Thanh Hóa,8,TST Thừa Thiên Huế,4,TST Tiền Giang,4,TST TPHCM,13,TST Trà Vinh,1,TST Tuyên Quang,1,TST Vĩnh Long,6,TST Vĩnh Phúc,7,Tuyên Quang,12,Tuyển Sinh,4,Tuyển Sinh 10,1013,Tuyển Sinh 10 An Giang,17,Tuyển Sinh 10 Bà Rịa Vũng Tàu,21,Tuyển Sinh 10 Bắc Giang,19,Tuyển Sinh 10 Bạc Liêu,7,Tuyển Sinh 10 Bắc Ninh,15,Tuyển Sinh 10 Bến Tre,33,Tuyển Sinh 10 Bình Định,19,Tuyển Sinh 10 Bình Dương,12,Tuyển Sinh 10 Bình Phước,19,Tuyển Sinh 10 Bình Thuận,15,Tuyển Sinh 10 Cà Mau,5,Tuyển Sinh 10 Cần Thơ,9,Tuyển Sinh 10 Cao Bằng,2,Tuyển Sinh 10 Chuyên SPHN,15,Tuyển Sinh 10 Đà Nẵng,17,Tuyển Sinh 10 Đắk Lắk,20,Tuyển Sinh 10 Đắk Nông,6,Tuyển Sinh 10 Điện Biên,4,Tuyển Sinh 10 Đồng Nai,18,Tuyển Sinh 10 Đồng Tháp,22,Tuyển Sinh 10 Gia Lai,10,Tuyển Sinh 10 Hà Giang,1,Tuyển Sinh 10 Hà Nam,14,Tuyển Sinh 10 Hà Nội,80,Tuyển Sinh 10 Hà Tĩnh,18,Tuyển Sinh 10 Hải Dương,16,Tuyển Sinh 10 Hải Phòng,14,Tuyển Sinh 10 Hậu Giang,3,Tuyển Sinh 10 Hòa Bình,15,Tuyển Sinh 10 Hưng Yên,12,Tuyển Sinh 10 Khánh Hòa,12,Tuyển Sinh 10 KHTN,19,Tuyển Sinh 10 Kiên Giang,31,Tuyển Sinh 10 Kon Tum,6,Tuyển Sinh 10 Lai Châu,5,Tuyển Sinh 10 Lâm Đồng,10,Tuyển Sinh 10 Lạng Sơn,6,Tuyển Sinh 10 Lào Cai,9,Tuyển Sinh 10 Long An,17,Tuyển Sinh 10 Nam Định,21,Tuyển Sinh 10 Nghệ An,22,Tuyển Sinh 10 Ninh Bình,19,Tuyển Sinh 10 Ninh Thuận,10,Tuyển Sinh 10 Phú Thọ,17,Tuyển Sinh 10 Phú Yên,11,Tuyển Sinh 10 PTNK,35,Tuyển Sinh 10 Quảng Bình,11,Tuyển Sinh 10 Quảng Nam,15,Tuyển Sinh 10 Quảng Ngãi,12,Tuyển Sinh 10 Quảng Ninh,11,Tuyển Sinh 10 Quảng Trị,6,Tuyển Sinh 10 Sóc Trăng,15,Tuyển Sinh 10 Sơn La,5,Tuyển Sinh 10 Tây Ninh,14,Tuyển Sinh 10 Thái Bình,16,Tuyển Sinh 10 Thái Nguyên,16,Tuyển Sinh 10 Thanh Hóa,24,Tuyển Sinh 10 Thừa Thiên Huế,22,Tuyển Sinh 10 Tiền Giang,14,Tuyển Sinh 10 TPHCM,23,Tuyển Sinh 10 Tuyên Quang,3,Tuyển Sinh 10 Vĩnh Long,12,Tuyển Sinh 10 Vĩnh Phúc,21,Tuyển Sinh 2008-2009,1,Tuyển Sinh 2009-2010,1,Tuyển Sinh 2010-2011,6,Tuyển Sinh 2011-2012,20,Tuyển Sinh 2012-2013,63,Tuyển Sinh 2013-2014,78,Tuyển Sinh 2014-2015,78,Tuyển Sinh 2015-2016,60,Tuyển Sinh 2016-2017,72,Tuyển Sinh 2017-2018,126,Tuyển Sinh 2018-2019,60,Tuyển Sinh 2019-2020,90,Tuyển Sinh 2020-2021,59,Tuyển Sinh 2021-202,1,Tuyển Sinh 2021-2022,70,Tuyển Sinh 2022-2023,114,Tuyển Sinh Chuyên SPHCM,7,Tuyển Tập,45,Tuymaada,6,UK - Anh,16,Undergraduate,69,USA - Mỹ,62,USA TSTST,6,USAJMO,12,USATST,8,USEMO,4,Uzbekistan,1,Vasile Cîrtoaje,4,Vật Lý,1,Viện Toán Học,4,Vietnam,4,Viktor Prasolov,1,VIMF,1,Vinh,31,Vĩnh Long,37,Vĩnh Phúc,86,Virginia Tech,1,VLTT,1,VMEO,4,VMF,12,VMO,51,VNTST,23,Võ Anh Khoa,1,Võ Quốc Bá Cẩn,26,Võ Thành Văn,1,Vojtěch Jarník,6,Vũ Hữu Bình,7,Vương Trung Dũng,1,WFNMC Journal,1,Wiles,1,Xác Suất,1,Yên Bái,22,Yên Định,1,Yên Thành,1,Zhautykov,13,Zhou Yuan Zhe,1,
ltr
item
MOlympiad.NET: Martin Koppe: Các Công Trình Của Joseph Fourier Vẫn Còn Đang Làm Thay Đổi Khoa Học
Martin Koppe: Các Công Trình Của Joseph Fourier Vẫn Còn Đang Làm Thay Đổi Khoa Học
MOlympiad.NET
https://www.molympiad.net/2022/08/martin-koppe-cac-cong-trinh-cua-joseph.html
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/2022/08/martin-koppe-cac-cong-trinh-cua-joseph.html
true
2506595080985176441
UTF-8
Loaded All Posts Not found any posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU Tag ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow THIS PREMIUM CONTENT IS LOCKED
NỘI DUNG CAO CẤP NÀY ĐÃ BỊ KHÓA
STEP 1: SHARE THIS ARTICLE TO A SOCIAL NETWORK
BƯỚC 1: CHIA SẺ BÀI VIẾT NÀY LÊN MẠNG XÃ HỘI
STEP 2: CLICK THE LINK ON YOUR SOCIAL NETWORK
BƯỚC 2: BẤM VÀO ĐƯỜNG DẪN TRÊN MẠNG XÃ HỘI CỦA BẠN
Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy Table of Content