Tuyển Sinh 2022-2023

Bài Toán Hilbert Thứ 21

Vấn đề Hilbert thứ 21 dự đoán sự tồn tại của một hệ phương trình vi phân với nhóm monodromy cho trước. Bài viết này giới thiệu sơ lược về vấn đề Hilbert thứ 21 và các khái niệm liên quan. Setting của chúng ta trong bài toán này là lấy một đường cong $X$ xạ ảnh, không suy biến, liên thông trên $\mathbb{C}$. Gọi $U$ là một tập mở trong $X$ sao cho phần bù của $U$ là một số hữu hạn các điểm đóng. Ký hiệu $U^{an}$ là đa tạp phức ứng với $U$ trong nguyên lý GAGA. Trước tiên chúng ta xem xét một định nghĩa hợp lý của phương trình vi phân.

Ví dụ $X = \mathbb{P}^1$ và $U \subset \mathbb{P}^1 - \left \{\infty \right \}$, khi đó một hệ phương trình vi phân được mô tả bởi $$\frac{d}{dz}\mathbf{f} = P(z) \cdot \mathbf{f},$$ trong đó $P$ là một ma trận các hàm hệ số. Hệ này bao gồm lớp các phương trình vi phân tuyến tính cấp $n$ $$f^{(n)}= p_{n-1}f^{(n-1)}+\cdots + p_1f' + p_0f,$$ bằng cách lấy $P$ là ma trận $$ P(z)= \begin{pmatrix} 0 & 1 & ... & 0 &0 \\ 0 & . & 1 & 0 & 0 \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & & 0 & 1\\ p_0 & p_1 & \cdots & p_{n-2} & p_{n-1} \end{pmatrix}$$ Trong trường hợp đường cong có giống cao hơn, do không có một hệ tọa độ toàn cục nên ta sẽ định nghĩa một hệ phương trình vi phân trên $U$ là một cặp $(M,\nabla)$ trong đó $M$ là một bó nhất quán tự do địa phương $M$ và một liên thông $\nabla: M \to M \otimes \Omega^{1}_{U/\mathbb{C}}$ thỏa mãn luật Leibniz giống như trường hợp trên đa tạp. Khi đó một phương trình vi phân sẽ được định nghĩa là hạt nhân của liên thông $\nabla$. Để giải thích cho định nghĩa này ta xét một ví dụ giải tích

Ví dụ. Ký hiệu $\pi: \mathbb{C}^2 \times \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ là phân thớ tầm thường hạng $2$ trên $\mathbb{C}$. Khi đó mọi liên thông trên $\pi$ có dạng $$\nabla = d+ \begin{pmatrix} -f_{11}(z)& -f_{12}(z)\\ -f_{21}(z)& -f_{22}(z) \end{pmatrix}dz$$ trong đó $d$ là đạo hàm ngoài và $f_{ij}$ là các hàm chỉnh hình. Một lát cắt $a \in \Gamma(s)$ có thể xem như một cặp $(a_1(z),a_2(z))$ gồm hai hàm chỉnh hình. Khi đó $$ \nabla(a) = \nabla \begin{pmatrix} a_1(z)\\ a_2(z) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1'(z) -f_{11}(z)a_1(z) - f_{12}(z)a_2(z)\\ a'_2(z) - f_{21}(z)a_1(z) - f_{22}(z)a_2(z) \end{pmatrix}dz.$$ Do đó ta thấy hạt nhân của $\nabla$ cho ta một hệ phương trình cấp $2$.

Cố định một điểm $z_0 \in U$, khi đó mầm $S$ của các nghiệm chỉnh hình địa phương gần $z_0$ là một không gian vector có chiều là $\mathrm{rank}(M)$ theo định lý giải được địa phương của hệ phương trình vi phân bậc nhất. Cho $\gamma$ là một đường cong đóng tại $z_0$ trong $U^{an}$, khi đó thác triển giải tích dọc theo $\gamma$ cho định nghĩa cho ta một tự đẳng cấu của $S$. Như vậy ta có một tác động $\pi_1(U^{an},z_0)$ lên $S$, ta gọi đây là biểu diễn monodromy của phương trình vi phân $(M,\nabla)$.

Ví dụ. Xét phương trình vi phân $$ z\frac{df}{dz} = \alpha f, \ \alpha \in \mathbb{C}$$ trên mặt phẳng thủng $\mathbb{C} - \left \{0 \right \}$. Cố định một điểm và chọn một branch cut xuất phát từ điểm này, khi đó nghiệm toàn cục có dạng $z^{\alpha}=\mathrm{exp}(\alpha\log(z))$. Nếu ta xét thác triển giải tích của lớp đồng luân của đường cong $\gamma$ quay ngược chiều kim đồng hồ một góc $2\pi$ thì nghiệm sẽ trở thành $e^{2\pi \mathbf{i} \alpha}z^{\alpha}$. Ta thấy $\pi_1(\mathbb{C} - \left \{0 \right \}) \cong \mathbb{Z}$ với phần tử sinh $[\gamma]$, khi đó biểu diễn monodromy tương ứng là $\gamma \mapsto e^{2\pi \mathbf{i}\alpha} \in \mathbb{C}^{\times} = \mathrm{GL}(1,\mathbb{C})$.

Để có thể phát biểu hoàn toàn bài toán Hilbert, ta cần khái niệm điểm kỳ dị chính quy, nó giống như một điều kiện đầu của bài toán Cauchy để phương trình có nghiệm duy nhất. Ban đầu, khái niệm kỳ dị chính quy đến từ ODE, sau đó Fuchs định nghĩa nó bằng một số đánh giá giải tích nhưng cuối cùng ông chứng minh rằng khái niệm này là thuần túy đại số, ta sẽ dùng cách định nghĩa này ở đây.

Xét một phương trình vi phân thường biến $z \in \mathbb{C}$ $$ f^{(n)} =p_{n-1}f^{(n-1)}+\cdots + p_1f' + p_0f,$$ trong đó $p_i$ là các hàm phân hình, Ta nói $a \in \mathbb{C}$ là một điểm kỳ dị chính quy nếu $p_{n-i}$ có một cực bậc không quá $i$ tại $a$. Trong trường hợp đó phương trình của chúng ta có thể chuyển về dạng $$D^{(n)}f = b_{n-1}D^{(n-1)}f + ... + b_0 f,$$ trong đó $D = (z-a)\frac{d}{dz}$ là uniformizer tại $a$. Phương trình ban đầu có kỳ dị chính quy tại $a$ khi và chỉ khi $b_i$ đều là hàm chỉnh hình.

Ví dụ. Nếu $p,q$ là hai hàm chỉnh hình, khi đó phương trình $f^{"}(z) =\frac{p(z)}{z}f'(z)+\frac{q(z)}{z^2}f(z)$ tương đương với $D^2f = (p+1)Df + qf$ và do đó nó có điểm kỳ dị chính quy tại $z=0$.

Lưu ý. Một khi biết phương trình có điểm kỳ dị chính quy tại $a$, phương pháp Frobenius có thể được sử dụng để giải ra $n$ nghiệm địa phương dưới dạng chuỗi.

Bài Toán Hilbert Thứ 21. Cho $X$ là một đường cong không suy biến trên $\mathbb{C}$, $U$ là một tập mở với topo Zariski sao cho phần bù của $U$ là một số hữu hạn các điểm đóng. Hỏi rằng có phải mọi biểu diễn hữu hạn chiều của $\pi_1(U^{an})$ đều là một biểu diễn monodromy của một hệ phương trình vi phân có kỳ dị chính quy mọi nơi không?

Nếu ta bỏ điều kiện điểm kỳ dị chính quy, biểu diễn của ta có thể không đến từ một hệ phương trình duy nhất.

Ví dụ. Với $U = \mathbb{A}^1, U^{an} = \mathbb{C}$ và $\pi_1(U^{an}) = 0 \to \mathbb{C}^{\times}$ là biểu diễn tầm thường. Khi đó với mọi $P \in \mathbb{C}[z]$ thì phương trình $$\frac{df}{dz} = P(z)f$$ có nghiệm $$f(z) = \mathrm{exp}\left(\int_0^z f(t)dt \right)$$ là một nghiệm toàn cục, và do đó không có monodromy. Nhưng xem như các phương trình vi phân trên đa tạp đại số $\mathbb{A}^1$, các phương trình này đôi một không đẳng cấu. Hơn nữa nếu ta dùng uniformizer $D=(z-a)\frac{d}{dz}$ thì phương trình trở thành $Df = (z-a)P(z)f$, nếu ta yêu cầu nó có kỳ dị chính quy tại $a$ thì $(z-a)P(z)$ phải có cực bậc dương tại $a$, điều này chỉ xảy ra nếu $P \equiv 0$.

Để kiểm tra một hệ có kỳ dị chính quy không, Katz đã chứng minh nó tương đương với việc tìm các cyclic vector, tức là các vector "biểu hiện" như một nghiệm địa phương của phương trình vi phân. Bài toán tìm cyclic đã được giải quyết gần như trọn vẹn.

Khái niệm tổng quát về phương trình vi phân. Cho $X$ là một đường cong đại số không suy biến, liên thông trên $\mathbb{C}$. Một phương trình vi phân trên $X$ là một cặp $(M,\nabla)$ bao gồm một bó nhất quát tự do địa phương $M$ trên $X$ và một liên thông integrable $$\nabla: M \to M \otimes \Omega^1_{X/\mathbb{C}},$$ tức là một ánh xạ cộng tính thỏa mãn luật $\nabla(fm)=m.df + f\nabla(m)$ với mọi $f \in \mathcal{O}_X, m \in M$; integrable theo nghĩa nếu ta tác động $D \in \mathrm{Der}(X/\mathbb{C})$ (các đạo hàm $X \to X$) lên $M$ bằng hợp thành: $$\nabla(D): M \overset{\nabla}{\longrightarrow} M \otimes \Omega^1_{X/\mathbb{C}} \overset{\mathrm{id} \otimes \text{contraction}}{\longrightarrow} M$$ thì ta yêu cầu rằng $\nabla([D_1,D_2]) = [\nabla(D_1),\nabla(D_2)]$. Tương tự, trên đa tạp phức ta định nghĩa phương trình vi phân là một liên thông integrable trên bó tự do nhất quán giải tích địa phương. Ta sẽ thấy về sau tại sau lại điều kiện integrable.

Trường hợp giải tích. Lời giải của bài toán Hilbert thứ 21 trong trường hợp giải tích được giải quyết trọn vẹn và câu trả lời là có, tức là: cho $V$ là một đa tạp phức liên thông bất kỳ, khi đó mọi biểu diễn hữu hạn chiều của $\pi_1(V)$ đều đến từ một biểu diễn monodromy của một phương trình vi phân trên $V$. Điều kiên integrable để ta có thể áp dụng định lý Frobenius về tính tốn tại nghiệm địa phương của hệ phương trình vi phân.

Giải kỳ dị. Ở đây ta sử dụng một phiên bản giải kỳ dị của Hironaka.

Cho $U$ là một đa tạp tựa xạ ảnh (quasi-projective) trên $\mathbb{C}$. Khi đó tồn tại một đa tạp trơn $X/\mathbb{C}$ sao cho $U \subset X$ là một tập mở trù mật và phần bù $D = X - U$ là hợp thành của các ước trơn $D_1,...,D_r$ (đa tạp con đóng đối chiều một) giao nhau tranversely. Ta gọi $X$ là một compact hóa của $U$. Hai compact hóa bất kỳ đều bị áp đảo bởi một compact hóa thứ ba.

Ký hiệu $\mathrm{Der}_D(X/\mathbb{C})$ là bó con của $\mathrm{Der}(X/\mathbb{C})$ gồm các đạo hàm bảo toàn bó ideal của $D_1,...,D_r$. Tại một điểm mà $D_1,...,D_r$ giao nhau ta có thể chọn một hệ tọa độ địa phương sao cho $D_i = \left \{x_i =0\right \}$. Khi đó $\mathrm{Der}_D(X/\mathbb{C})$ là module tự do trên các ký hiệu $x_1\frac{\partial}{\partial x_1},...,x_r\frac{\partial}{\partial x_r},\frac{\partial}{\partial x_{r+1}},...,\frac{\partial}{\partial x_n}$. Trường hợp một chiều, tức là các stalk là DVR thì điều kiện bảo toàn ideal nói rằng $\text{đạo hàm}(\mathfrak{m}) \subset \mathfrak{m}$; nói cách khác, nó phải triệt tiêu tại $x_i$ với bậc $\geq 1$ và do đó nằm trong module sinh bởi $x\frac{\partial}{\partial x}$.

Đối ngẫu tuyến tính cua $\mathrm{Der}_D(X/\mathbb{C})$ được ký hiệu là $\Omega^1_{X/\mathbb{C}}(\log(D))$ tự do địa phương bởi các kỳ hiệu $\frac{dx_1}{x_1},...,\frac{dx_r}{x_r},dx_{r+1},...,dx_n$, nó bao gồm các một dạng với các cực bậc một của $D$.

Phát biểu lại tiêu chuẩn tìm điểm kỳ dị chính quy. Bằng hai bó $\mathrm{Der}_D(X/\mathbb{C})$ và $\Omega^1_{X/\mathbb{C}}(\log(D))$ ta sẽ viết lại điều kiện điểm kỳ dị chính dị quy: một phương trình vi phân $(M,\nabla)$ trên một đường cong $U$ (mở trong $X$) có điểm kỳ dị chính quy trên $D = X - U$ tương đương với tồn tại một bó $\overline{M}$ trên $X$ mở rộng $M$ sao cho tác động của $\mathrm{Der}_D(X/\mathbb{C})$ trên $U$ mở rộng lên một tác động của $\mathrm{Der}_D(X/\mathbb{C})$ trên $\overline{M}$. Nói cách khác $$\nabla: M \to M \otimes \Omega^1_{U/\mathbb{C}} \overset{\text{mở rộng}}{\longrightarrow} \overline{\nabla}: \overline{M} \to \overline{M} \otimes \Omega^1_{X/\mathbb{C}}(\log(D)).$$ Đưa bài toán về dạng giải tích. Cho $U$ là một đa tạp trơn, liên thông, tựa xạ ảnh trên $\mathbb{C}$, ta biết rằng trường hợp giải tích đã được xử lý nên một biểu diễn hữu hạn chiều của $U^{an}$ cảm sinh từ một biểu diễn monodromy của duy nhất một phương trình vi phân $(M^{an},\nabla^{an})$. Trước tiên ta thừa nhận bổ đề sau

Bổ đề. Cho $(M^{an},\nabla^{an})$ là một phương trình vi phân giải tích trên $U^{an}$ và $U \hookrightarrow X$ là một compact hóa của $U$. Khi đó tồn tại một bó giải tích nhất quán tự do địa phương $\overline{M^{an}}$ trên $X^{an}$ mở rộng $M^{an}$, sao cho $\nabla^{an}$ thác triển lên $\overline{\nabla^{an}}:\overline{M^{an}} \to \overline{M^{an}} \otimes \left(\Omega^1_{X/\mathbb{C}}(\log(D))\right)^{an}.$

Giả sử đã chứng minh được bổ đề, khi đó ta áp dụng nguyên lý GAGA cho $(\overline{M^{an}},\overline{\nabla^{an}})$ để suy ra tồn tại $\overline{M}$ trên $X$ và $\overline{\nabla}:\overline{M} \to \overline{M} \otimes \Omega^1_{X/\mathbb{C}}(\log(D))$ sao cho $(\overline{M^{an}},\overline{\nabla^{an}}) = (\overline{M},\overline{\nabla})^{an}$. Khi này ta có thể định nghĩa $(M,\nabla)$ là hạn chế của $(\overline{M},\overline{\nabla})$ lên $U$ thì hiển nhiên $(M,\nabla)$ có kỳ dị chính quy và $(M,\nabla)^{an} = (M^{an},\nabla^{an})$ đồng thời $(M,\nabla)$ cho ta biểu diễn của $\pi_1(U^{an})$.

Chứng minh bổ đề. Tại một điểm "$0$" mà $D_1,...,D_r$ giao nhau, ta có thể chọn một hệ tọa độ $x_1,..,x_n$ sao cho $D_i = \left \{x_i = 0\right \}$ với mọi $1 \leq i \leq r$. Trên một hệ tọa độ dạng đĩa đa diện $V$ quanh điểm giao có dạng $\left | x_i \right | < \epsilon$ với mọi $i = 1,...,n$ ($\epsilon$ đủ nhỏ) thì đa tạp $V \cap U^{an}$ có dạng $$V \cap U^{an} = \prod_{i=1}^r \left \{ 0 < \left|x_i \right |< \epsilon \right \} \times \prod_{i=r+1}^n \left \{\left|x_i \right| < \epsilon \right \}.$$ Hạn chế của $(M^{an},\nabla^{an})$ xuống $V \cap U^{an}$ là một phương trình vi phân trên $V \cap U^{an}$ nên theo trường hợp giải tích, nó ứng với một biểu diễn $\rho:\pi_1(V \cap U^{an}) \to \mathrm{GL}(L)$ trong đó $L$ là một không gian vector hữu hạn chiều. Tuy nhiên cách chọn hệ tọa độ cho thấy $$\pi_1(V \cap U^{an}) = \mathbb{Z}\gamma_1 \times \cdots \times \mathbb{Z}\gamma_r,$$ trong đó $\gamma_i$ là các đường cong đóng quay ngược chiều kim đồng hồ quanh $D_i$. Do đó biểu diễn $\rho$ xác định hoàn toàn nếu ta biết $\rho(\gamma_1),..., \rho(\gamma_r)$. Bằng cách sử dụng dạng chuẩn Jordan, ta thấy rằng tồn tại duy nhất các tự đẳng cấu $B_i$ của $L$ sao cho $\mathrm{exp}(2\pi \mathbf{i} B_j) = \rho(\gamma_j)$ với mọi $j = 1,2,...,r$. Các giá trị riêng của $B_j$ có phần thực nằm trong dải $-1 < \mathrm{Re} \leq 0$. $B_j$ giao hoán từng đôi một. Ta sẽ định nghĩa mở rộng lên $V$ của $(M^{an},V^{an})$ như sau $$\overline{M^{an}} = L \otimes_{\mathbb{C}} \mathcal{O}_V,$$ và ta cũng định nghĩa mở rộng của tác động như sau $$\begin{align*} \overline{\nabla^{an}}: \overline{M^{an}} = L\otimes \mathcal{O}_V & \to \overline{M^{an}} \otimes_{\mathcal{O}_V} \Omega^1_V(\log(D)) = L \otimes \Omega^1_{V/\mathbb{C}}(\log(D)) \\ l \otimes f & \mapsto f\left(-\sum_{i=1}^r B_i l \otimes \frac{dx_i}{x_i} \right) + l \otimes df \end{align*}$$ Để kiểm tra rằng liệu $(\overline{M^{an}},\overline{\nabla^{an}})$ thực sự mở rộng $(M^{an},\nabla^{an})$ ta cần kiểm tra liệu monodromy của nó có chính xác không. Như vậy ta cần tìm ma trận $A$ trong biểu diễn địa phương $d - A$ của $\overline{\nabla^{an}}$, dễ thấy ma trận này chính là $\sum_{i=1}^r \log(x_i)B_i$ ($\log(x_i)$ định nghĩa tốt trên $V$ do $V$ là tích các đĩa một chiều mở, do đó đơn liên) và do đó nghiệm cơ bản là $\mathrm{exp}\left(\sum_{i=1}^r \log(x_i)B_i \right)$ (ta sẽ ký hiệu là $\prod_{i=1}^r x_i^{B_i}$). Nếu ta xét thác triển giải tích dọc theo các đường cong $\gamma_i$ thì nghiệm sẽ trở thành $\mathrm{exp}\left(\sum_{i=1}^r \log(x_i)B_i + 2\pi \mathbf{i}B_i \right) = \rho(\gamma_i)\prod_{i=1}^r x_i^{B_i}$, và do đó chính là monodromy tương ứng.

Để kiểm tra định nghĩa của ta tốt, ta cần phải chứng định nghĩa địa phương này có thể dán thành toàn cục. Ta sẽ sử dụng tiêu chuẩn địa phương sau (không chứng minh): Trong mọi cơ sở của $\overline{M^{an}}$ xem như một $\mathcal{O}_V$ module thì nghiệm cơ bản luôn có dạng $H(x)\prod_{i=1}^r x_i^{B_i}$ trong đó $H(x) \in \mathrm{GL}(n,\mathcal{O}_V)$ và $B_i$ là các ma trận đôi một giao hoán, có các giá trị riêng với phần thực nằm trong đoạn $(-1,0]$. Giờ ta quay lại một hệ tọa độ $x_1,...,x_n$ dạng đa đĩa trên $V$, nghiệm cơ bản của hệ có dạng $\prod_{i=1}^r x_i^{B_i}$. Giả sử trên $V' \subset V$ thì $D_i$ có thể viết dưới dạng $D_i = \left \{y_i \right \}$ với $i=1,...,s$ ($s < r$), ta cần chứng minh nghiệm cơ bản vừa trên có thể biểu diễn dưới dạng $H(x)\prod_{i=1}^s y_i^{B_i}$. Với $i=1,...,r$, do $x_i,y_i$ cùng định nghĩa $D_i$ trên $V'$ nên tồn tại các hàm khả nghịch $u_i$ mà $x_i = u_i y_i$. Các ước $D_{s+1},...,D_r$ tự thân chúng khả nghịch trong lân cận này. Từ đây ta suy ra rằng có thể viết $$u_i = \mathrm{exp}(z_i) \ \forall \ i = 1,...,s \ \text{và} \ x_i = \mathrm{exp}(z_i) \ \forall \ i = s+1,...,r.$$ Cuối cùng ta có $$\prod_{i=1}^r x_i^{B_i} = \prod_{i=1}^s (u_i y_i)^{B_i} \prod_{i=s+1}^r x_i^{B_i} = \mathrm{exp}\left(\sum_{i=1}^r B_i z_i \right)\prod_{i=1}^s y_i^{B_i},$$ trong đó hiển nhiên $\mathrm{exp}\left(\sum_{i=1}^r B_i z_i \right) \in \mathrm{GL}(n,\mathcal{O}_{V'})$. Kết thúc chứng minh.
MOlympiad.NET rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc LIÊN HỆ
[email protected]
You can use $\LaTeX$ in comment




Name

Abel Albania AMM Amsterdam An Giang Andrew Wiles Anh APMO Austria (Áo) Ba Đình Ba Lan Bà Rịa Vũng Tàu Bắc Bộ Bắc Giang Bắc Kạn Bạc Liêu Bắc Ninh Bắc Trung Bộ Bài Toán Hay Balkan Baltic Way BAMO Bất Đẳng Thức Bến Tre Benelux Bình Định Bình Dương Bình Phước Bình Thuận Birch BMO Booklet Bosnia Herzegovina BoxMath Brazil British Bùi Đắc Hiên Bùi Thị Thiện Mỹ Bùi Văn Tuyên Bùi Xuân Diệu Bulgaria Buôn Ma Thuột BxMO Cà Mau Cần Thơ Canada Cao Bằng Cao Quang Minh Câu Chuyện Toán Học Caucasus CGMO China - Trung Quốc Chọn Đội Tuyển Chu Tuấn Anh Chuyên Đề Chuyên SP TPHCM Chuyên SPHN Chuyên Trần Hưng Đạo Collection College Mathematic Concours Cono Sur Contest Correspondence Cosmin Poahata Crux Czech-Polish-Slovak Đà Nẵng Đa Thức Đại Số Đắk Lắk Đắk Nông Đan Phượng Danube Đào Thái Hiệp ĐBSCL Đề Thi Đề Thi HSG Đề Thi JMO Điện Biên Định Lý Định Lý Beaty Đỗ Hữu Đức Thịnh Do Thái Doãn Quang Tiến Đoàn Quỳnh Đoàn Văn Trung Đống Đa Đồng Nai Đồng Tháp Du Hiền Vinh Đức Dương Quỳnh Châu Duyên Hải Bắc Bộ E-Book EGMO ELMO EMC Epsilon Estonian Euler Evan Chen Fermat Finland Forum Of Geometry Furstenberg G. Polya Gặp Gỡ Toán Học Gauss GDTX Geometry Gia Lai Gia Viễn Giải Tích Hàm Giảng Võ Giới hạn Goldbach Hà Giang Hà Lan Hà Nam Hà Nội Hà Tĩnh Hà Trung Kiên Hải Dương Hải Phòng Hậu Giang Hậu Lộc Hilbert Hình Học HKUST Hòa Bình Hoài Nhơn Hoàng Bá Minh Hoàng Minh Quân Hodge Hojoo Lee HOMC HongKong HSG 10 HSG 10 2015-2016 HSG 10 2022-2023 HSG 10 Bà Rịa Vũng Tàu HSG 10 Bắc Giang HSG 10 Bạc Liêu HSG 10 Bắc Ninh HSG 10 Bình Định HSG 10 Bình Dương HSG 10 Bình Thuận HSG 10 Chuyên SPHN HSG 10 Đắk Lắk HSG 10 Đồng Nai HSG 10 Gia Lai HSG 10 Hà Nam HSG 10 Hà Tĩnh HSG 10 Hải Dương HSG 10 KHTN HSG 10 Nghệ An HSG 10 Phú Yên HSG 10 Thái Nguyên HSG 10 Thanh Hóa HSG 10 Trà Vinh HSG 10 Vĩnh Phúc HSG 11 HSG 11 2011-2012 HSG 11 2012-2013 HSG 11 Bà Rịa Vũng Tàu HSG 11 Bắc Giang HSG 11 Bạc Liêu HSG 11 Bắc Ninh HSG 11 Bình Định HSG 11 Bình Dương HSG 11 Bình Thuận HSG 11 Cà Mau HSG 11 Đà Nẵng HSG 11 Đồng Nai HSG 11 Hà Nam HSG 11 Hà Tĩnh HSG 11 Hải Phòng HSG 11 HSG 12 Quảng Ngãi HSG 11 Lạng Sơn HSG 11 Nghệ An HSG 11 Ninh Bình HSG 11 Thái Nguyên HSG 11 Thanh Hóa HSG 11 Trà Vinh HSG 11 Vĩnh Long HSG 11 Vĩnh Phúc HSG 12 HSG 12 2010-2011 HSG 12 2011-2012 HSG 12 2012-2013 HSG 12 2013-2014 HSG 12 2014-2015 HSG 12 2015-2016 HSG 12 2016-2017 HSG 12 2017-2018 HSG 12 2018-2019 HSG 12 2019-2020 HSG 12 2020-2021 HSG 12 2021-2022 HSG 12 An Giang HSG 12 Bà Rịa Vũng Tàu HSG 12 Bắc Giang HSG 12 Bạc Liêu HSG 12 Bắc Ninh HSG 12 Bến Tre HSG 12 Bình Định HSG 12 Bình Dương HSG 12 Bình Phước HSG 12 Bình Thuận HSG 12 Cà Mau HSG 12 Cần Thơ HSG 12 Cao Bằng HSG 12 Chuyên SPHN HSG 12 Đà Nẵng HSG 12 Đắk Lắk HSG 12 Đắk Nông HSG 12 Đồng Nai HSG 12 Đồng Tháp HSG 12 Gia Lai HSG 12 Hà Nam HSG 12 Hà Tĩnh HSG 12 Hải Dương HSG 12 Hải Phòng HSG 12 Hòa Bình HSG 12 Khánh Hòa HSG 12 KHTN HSG 12 Lạng Sơn HSG 12 Long An HSG 12 Nam Định HSG 12 Nghệ An HSG 12 Ninh Bình HSG 12 Phú Yên HSG 12 Quảng Nam HSG 12 Quảng Ngãi HSG 12 Quảng Ninh HSG 12 Sơn La HSG 12 Tây Ninh HSG 12 Thái Nguyên HSG 12 Thanh Hóa HSG 12 Thừa Thiên Huế HSg 12 Tiền Giang HSG 12 TPHCM HSG 12 Vĩnh Long HSG 12 Vĩnh Phúc HSG 9 HSG 9 2010-2011 HSG 9 2011-2012 HSG 9 2012-2013 HSG 9 2013-2014 HSG 9 2014-2015 HSG 9 2015-2016 HSG 9 2016-2017 HSG 9 2017-2018 HSG 9 2018-2019 HSG 9 2019-2020 HSG 9 2020-2021 HSG 9 2021-202 HSG 9 2021-2022 HSG 9 2022-2023 HSG 9 An Giang HSG 9 Bà Rịa Vũng Tàu HSG 9 Bắc Giang HSG 9 Bắc Ninh HSG 9 Bến Tre HSG 9 Bình Định HSG 9 Bình Dương HSG 9 Bình Phước HSG 9 Bình Thuận HSG 9 Cà Mau HSG 9 Cao Bằng HSG 9 Đà Nẵng HSG 9 Đắk Lắk HSG 9 Đắk Nông HSG 9 Đồng Nai HSG 9 Đồng Tháp HSG 9 Gia Lai HSG 9 Hà Giang HSG 9 Hà Nam HSG 9 Hà Tĩnh HSG 9 Hải Dương HSG 9 Hải Phòng HSG 9 Hòa Bình HSG 9 Khánh Hòa HSG 9 Lạng Sơn HSG 9 Long An HSG 9 Nam Định HSG 9 Nghệ An HSG 9 Ninh Bình HSG 9 Phú Yên HSG 9 Quảng Nam HSG 9 Quảng Ngãi HSG 9 Quảng Ninh HSG 9 Sơn La HSG 9 Tây Ninh HSG 9 Thanh Hóa HSG 9 Thừa Thiên Huế HSG 9 Tiền Giang HSG 9 TPHCM HSG 9 Trà Vinh HSG 9 Vĩnh Long HSG 9 Vĩnh Phúc HSG Cấp Trường HSG Quốc Gia HSG Quốc Tế Hứa Lâm Phong Hứa Thuần Phỏng Hùng Vương Hưng Yên Hương Sơn Huỳnh Kim Linh Hy Lạp IMC IMO IMT India - Ấn Độ Inequality InMC International Iran Jakob JBMO Jewish Journal Junior K2pi Kazakhstan Khánh Hòa KHTN Kiên Giang Kim Liên Kon Tum Korea - Hàn Quốc Kvant Kỷ Yếu Lai Châu Lâm Đồng Lăng Hồng Nguyệt Anh Lạng Sơn Langlands Lào Cai Lê Hải Châu Lê Hải Khôi Lê Hoành Phò Lê Hồng Phong Lê Khánh Sỹ Lê Minh Cường Lê Phúc Lữ Lê Phương Lê Quý Đôn Lê Viết Hải Lê Việt Hưng Leibniz Long An Lớp 10 Chuyên Lớp 10 Không Chuyên Lớp 11 Lục Ngạn Lượng giác Lương Tài Lưu Giang Nam Lý Thánh Tông Macedonian Malaysia Margulis Mark Levi Mathematical Excalibur Mathematical Reflections Mathematics Magazine Mathematics Today Mathley MathLinks MathProblems Journal Mathscope MathsVN MathVN MEMO Metropolises Mexico MIC Michael Guillen Mochizuki Moldova Moscow MYTS Nam Định Nam Phi National Nesbitt Newton Nghệ An Ngô Bảo Châu Ngô Việt Hải Ngọc Huyền Nguyễn Anh Tuyến Nguyễn Bá Đang Nguyễn Đình Thi Nguyễn Đức Tấn Nguyễn Đức Thắng Nguyễn Duy Khương Nguyễn Duy Tùng Nguyễn Hữu Điển Nguyễn Mình Hà Nguyễn Minh Tuấn Nguyễn Nhất Huy Nguyễn Phan Tài Vương Nguyễn Phú Khánh Nguyễn Phúc Tăng Nguyễn Quản Bá Hồng Nguyễn Quang Sơn Nguyễn Song Thiên Long Nguyễn Tài Chung Nguyễn Tăng Vũ Nguyễn Tất Thu Nguyễn Thúc Vũ Hoàng Nguyễn Trung Tuấn Nguyễn Tuấn Anh Nguyễn Văn Huyện Nguyễn Văn Mậu Nguyễn Văn Nho Nguyễn Văn Quý Nguyễn Văn Thông Nguyễn Việt Anh Nguyễn Vũ Lương Nhật Bản Nhóm $\LaTeX$ Nhóm Toán Ninh Bình Ninh Thuận Nội Suy Lagrange Nội Suy Newton Nordic Olympiad Corner Olympiad Preliminary Olympic 10 Olympic 10/3 Olympic 10/3 Đắk Lắk Olympic 11 Olympic 12 Olympic 23/3 Olympic 24/3 Olympic 24/3 Quảng Nam Olympic 27/4 Olympic 30/4 Olympic KHTN Olympic Sinh Viên Olympic Tháng 4 Olympic Toán Olympic Toán Sơ Cấp Ôn Thi 10 PAMO Phạm Đình Đồng Phạm Đức Tài Phạm Huy Hoàng Pham Kim Hung Phạm Quốc Sang Phan Huy Khải Phan Quang Đạt Phan Thành Nam Pháp Philippines Phú Thọ Phú Yên Phùng Hồ Hải Phương Trình Hàm Phương Trình Pythagoras Pi Polish Problems PT-HPT PTNK Putnam Quảng Bình Quảng Nam Quảng Ngãi Quảng Ninh Quảng Trị Quỹ Tích Riemann RMM RMO Romania Romanian Mathematical Russia Sách Thường Thức Toán Sách Toán Sách Toán Cao Học Sách Toán THCS Saudi Arabia - Ả Rập Xê Út Scholze Serbia Sharygin Shortlists Simon Singh Singapore Số Học - Tổ Hợp Sóc Trăng Sơn La Spain Star Education Stars of Mathematics Swinnerton-Dyer Talent Search Tăng Hải Tuân Tạp Chí Tập San Tây Ban Nha Tây Ninh Thạch Hà Thái Bình Thái Nguyên Thái Vân Thanh Hóa THCS Thổ Nhĩ Kỳ Thomas J. Mildorf THPT Chuyên Lê Quý Đôn THPTQG THTT Thừa Thiên Huế Tiền Giang Tin Tức Toán Học Titu Andreescu Toán 12 Toán Cao Cấp Toán Rời Rạc Toán Tuổi Thơ Tôn Ngọc Minh Quân TOT TPHCM Trà Vinh Trắc Nghiệm Trắc Nghiệm Toán Trại Hè Trại Hè Hùng Vương Trại Hè Phương Nam Trần Đăng Phúc Trần Minh Hiền Trần Nam Dũng Trần Phương Trần Quang Hùng Trần Quốc Anh Trần Quốc Luật Trần Quốc Nghĩa Trần Tiến Tự Trịnh Đào Chiến Trường Đông Trường Hè Trường Thu Trường Xuân TST TST 2008-2009 TST 2010-2011 TST 2011-2012 TST 2012-2013 TST 2013-2014 TST 2014-2015 TST 2015-2016 TST 2016-2017 TST 2017-2018 TST 2018-2019 TST 2019-2020 TST 2020-2021 TST 2021-2022 TST 2022-2023 TST An Giang TST Bà Rịa Vũng Tàu TST Bắc Giang TST Bắc Ninh TST Bến Tre TST Bình Định TST Bình Dương TST Bình Phước TST Bình Thuận TST Cà Mau TST Cần Thơ TST Cao Bằng TST Đà Nẵng TST Đắk Lắk TST Đắk Nông TST Đồng Nai TST Đồng Tháp TST Gia Lai TST Hà Nam TST Hà Tĩnh TST Hải Dương TST Hải Phòng TST Hòa Bình TST Khánh Hòa TST Lạng Sơn TST Long An TST Nam Định TST Nghệ An TST Ninh Bình TST Phú Yên TST PTNK TST Quảng Nam TST Quảng Ngãi TST Quảng Ninh TST Sơn La TST Thái Nguyên TST Thanh Hóa TST Thừa Thiên Huế TST Tiền Giang TST TPHCM TST Trà Vinh TST Vĩnh Long TST Vĩnh Phúc Tuyên Quang Tuyển Sinh Tuyển Sinh 10 Tuyển Sinh 10 An Giang Tuyển Sinh 10 Bà Rịa Vũng Tàu Tuyển Sinh 10 Bắc Giang Tuyển Sinh 10 Bạc Liêu Tuyển Sinh 10 Bắc Ninh Tuyển Sinh 10 Bến Tre Tuyển Sinh 10 Bình Định Tuyển Sinh 10 Bình Dương Tuyển Sinh 10 Bình Phước Tuyển Sinh 10 Bình Thuận Tuyển Sinh 10 Cà Mau Tuyển Sinh 10 Cao Bằng Tuyển Sinh 10 Chuyên SPHN Tuyển Sinh 10 Đà Nẵng Tuyển Sinh 10 Đắk Lắk Tuyển Sinh 10 Đắk Nông Tuyển Sinh 10 Đồng Nai Tuyển Sinh 10 Đồng Tháp Tuyển Sinh 10 Gia Lai Tuyển Sinh 10 Hà Giang Tuyển Sinh 10 Hà Nam Tuyển Sinh 10 Hà Nội Tuyển Sinh 10 Hà Tĩnh Tuyển Sinh 10 Hải Dương Tuyển Sinh 10 Hải Phòng Tuyển Sinh 10 Hòa Bình Tuyển Sinh 10 Khánh Hòa Tuyển Sinh 10 KHTN Tuyển Sinh 10 Lạng Sơn Tuyển Sinh 10 Long An Tuyển Sinh 10 Nam Định Tuyển Sinh 10 Nghệ An Tuyển Sinh 10 Ninh Bình Tuyển Sinh 10 Phú Yên Tuyển Sinh 10 PTNK Tuyển Sinh 10 Quảng Nam Tuyển Sinh 10 Quảng Ngãi Tuyển Sinh 10 Quảng Ninh Tuyển Sinh 10 Sơn La Tuyển Sinh 10 Tây Ninh Tuyển Sinh 10 Thái Nguyên Tuyển Sinh 10 Thanh Hóa Tuyển Sinh 10 Thừa Thiên Huế Tuyển Sinh 10 Tiền Giang Tuyển Sinh 10 TPHCM Tuyển Sinh 10 Vĩnh Long Tuyển Sinh 10 Vĩnh Phúc Tuyển Sinh 2010-2011 Tuyển Sinh 2011-2012 Tuyển Sinh 2012-2013 Tuyển Sinh 2013-2014 Tuyển Sinh 2014-2015 Tuyển Sinh 2015-2016 Tuyển Sinh 2016-2017 Tuyển Sinh 2017-2018 Tuyển Sinh 2018-2019 Tuyển Sinh 2019-2020 Tuyển Sinh 2020-2021 Tuyển Sinh 2021-202 Tuyển Sinh 2021-2022 Tuyển Sinh 2022-2023 Tuyển Sinh Chuyên SP TPHCM Tuyển Tập Tuymaada UK - Anh Undergraduate USA - Mỹ USA TSTST USAJMO USATST USEMO Uzbekistan Vasile Cîrtoaje Vật Lý Viện Toán Học Vietnam Viktor Prasolov VIMF Vinh Vĩnh Long Vĩnh Phúc Virginia Tech VLTT VMEO VMF VMO VNTST Võ Anh Khoa Võ Quốc Bá Cẩn Võ Thành Văn Vojtěch Jarník Vũ Hữu Bình Vương Trung Dũng WFNMC Journal Wiles Yên Bái Yên Định Yên Thành Zhautykov Zhou Yuan Zhe
false
ltr
item
MOlympiad.NET: Bài Toán Hilbert Thứ 21
Bài Toán Hilbert Thứ 21
MOlympiad.NET
https://www.molympiad.net/2022/01/bai-toan-hilbert-thu-21.html
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/2022/01/bai-toan-hilbert-thu-21.html
true
2506595080985176441
UTF-8
Not found any posts Not found any related posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU Tag ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Table of Contents See also related Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy THIS PREMIUM CONTENT IS LOCKED
PLEASE FOLLOW THE INSTRUCTIONS TO VIEW THIS CONTENT
NỘI DUNG CAO CẤP NÀY ĐÃ BỊ KHÓA
XIN HÃY LÀM THEO HƯỚNG DẪN ĐỂ XEM NỘI DUNG NÀY
STEP 1: SHARE THIS ARTICLE TO A SOCIAL NETWORK
BƯỚC 1: CHIA SẺ BÀI VIẾT NÀY LÊN MẠNG XÃ HỘI
STEP 2: CLICK THE LINK ON YOUR SOCIAL NETWORK
BƯỚC 2: BẤM VÀO ĐƯỜNG DẪN TRÊN MẠNG XÃ HỘI CỦA BẠN