# Bulgarian National Mathematics Olympiad 1999 Solutions

1. The faces of a box with integer edge lengths are painted green. The box is partitioned into unit cubes. Find the dimensions of the box if the number of unit cubes with no green face is one third of the total number of cubes.
2. Let $\{a_n\}$ be a sequence of integers satisfying $$(n-1)a_{n+1}=(n+1)a_n-2(n-1) \forall n\ge 1.$$ If $2000|a_{1999}$, find the smallest $n\ge 2$ such that $2000|a_n$.
3. The vertices of a triangle have integer coordinates and one of its sides is of length $\sqrt{n}$, where $n$ is a square-free natural number. Prove that the ratio of the circumradius and the inradius is an irrational number.
4. Find the number of all integers $n$ with $4\le n\le 1023$ which contain no three consecutive equal digits in their binary representations.
5. The vertices $A,B,C$ of an acute-angled triangle $ABC$ lie on the sides $B_1C_1$, $C_1A_1$, $A_1B_1$ respectively of a triangle $A_1B_1C_1$ similar to the triangle $ABC$ ($\angle A = \angle A_1$, etc.). Prove that the orthocenters of triangles $ABC$ and $A_1B_1C_1$ are equidistant from the circumcenter of $ABC$.
6. Prove that $x^3+y^3+z^3+t^3=1999$ has infinitely many solutions over $\mathbb{Z}$.

 MOlympiad.NET là dự án thu thập và phát hành các đề thi tuyển sinh và học sinh giỏi toán. Quý bạn đọc muốn giúp chúng tôi chỉnh sửa đề thi này, xin hãy để lại bình luận facebook (có thể đính kèm hình ảnh) hoặc google (có thể sử dụng $\LaTeX$) bên dưới. BBT rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc liên hệbbt.molympiad@gmail.comChúng tôi nhận tất cả các định dạng của tài liệu: $\TeX$, PDF, WORD, IMG,...