Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 12 Tỉnh Thừa Thiên Huế 2020-2021

1. Cho hàm số $y=f(x)=x^{3}+3 x^{2}+m x-3$ có đồ thị $\left(C_{m}\right)$, $m$ là tham số.
   a) Tìm các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=f(x)$ có hai điểm cực trị âm.
   b) Tìm các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d: y=x-m$ cắt đồ thị $\left(C_{m}\right)$ tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ sao cho biểu thức $$T=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4 x_{1}^{2} x_{2}^{2} x_{3}^{2}-7$$ đạt giá trị nhỏ nhất.
2. a) Giải phương trình lượng giác $$\frac{(\sin x+\cos x)^{2}-2 \sin ^{2} x}{1+\cot ^{2} x}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left[\sin \left(\frac{\pi}{4}-x\right)-\sin \left(\frac{\pi}{4}-3 x\right)\right].$$ b) Giải phương trình $$\left(\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}}{x+1}\right)^{2}=\frac{4(1+\sqrt{1+4 x})}{x+\sqrt{x^{2}+3 x+2}+1}.$$
3. a) Giải hệ phương trình $$\begin{cases}9 y^{3}+y &=x \sqrt{3 x-1} \\ \sqrt{9 y^{2}+7}+\sqrt{3 x+6} &=8\end{cases}.$$ b) Gọi $S$ là tập hợp các số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập $S$. Tính xác suất để số được chọn là một số chẵn.
4. Cho phương trình tham số thực $m$ sau $$(2 m+3) 16^{x}-(4 m-2) 4^{x}+3 m-8=0.$$ a) Giải phương trình khi $m=3$.
   b) Tìm các giá trị của tham số $m$ để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
5. Cho hình chóp $S . A B C D$ có cạnh $S A=x$, tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng $1$. Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng đáy $A B C D$.
   a) Chứng minh rằng $S A \perp S C$.
   b) Tính diện tích đáy $A B C D$ theo $x$ của hình chóp $S . A B C D$.
   c) Xác định $x$ để khối chóp $S . A B C D$ có thể tích lớn nhất. Tính giá trị thể tích lớn nhất đó.
6. Cho $2 x^{2}+y^{2}-2 x y=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$f(x, y)=4 x^{4}+y^{4}-2 x^{2} y^{2}+2018.$$