[Đáp Án] Đề Thi Olympic 23/3 Tỉnh Đắk Nông 2018-2019 (Khối 11)

1. Giải hệ phương trình $$\begin{cases} (4 y-1) \sqrt{x^{2}+1}-2 y &=2 x^{2}+1 \\ x^{2} y+y^{2} &=1\end{cases}.$$
2. Cho dãy số $\left(u_{n}\right)$ được xác định $$u_{1}=1,\quad u_{n+1}=3 u_{n}+2,\,\forall n \geq 1.$$ a) Tính $u_{2019}$.
   b) Cho $$S_{n}=\frac{1}{u_{1}+1}+\frac{1}{u_{2}+1}+\ldots .+\frac{1}{u_{n}+1} .$$ Tính $\displaystyle\lim_{n\to\infty} S_{n}$.
3. Cho hai đường tròn $\left(O_{1}\right),\left(O_{2}\right)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$. Tiếp tuyến tại $A$ của $\left(O_{2}\right)$ cắt $\left(O_{1}\right)$ tại $C$, tiếp tuyến tại $A$ của $\left(O_{1}\right)$ cắt $\left(O_{2}\right)$ tại $D$. $C D$ cắt $\left(O_{1}\right)$ tại $M$ và cắt $\left(O_{2}\right)$ tại $N$. $(I)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $B M N$.
   a) Chứng minh rằng $\widehat{A M B}=\widehat{B N M}$.
   b) Gọi $Q$ là giao điểm của đường tròn $(I)$ và $A B$, $E$ là giao điểm của $Q M$ và $A C$, $F$ là giao điểm của $Q N$ và $A D$. Chứng minh rằng tứ giác $A E I F$ nội tiếp.
4. Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb R^{*} \rightarrow \mathbb  R$ thoả mãn $$y \cdot f(x)-x \cdot f(y)=\left(x^{2}-y^{2}\right) x y, \quad \forall x, y \in \mathbb R^{*}.$$
5. Cho dãy số nguyên $\left(x_{n}\right)$ xác định bởi $$x_{0}=0,\, x_{1}=1,\quad x_{n+2}=3 x_{n+1}-x_{n},\,\forall n\in \mathbb N.$$
   a) Chứng minh rằng $x_{2011}$ chia hết cho $4$.
   b) Chứng minh rằng $x_{n+130} \equiv x_{n} \pmod{131}$ với mọi số tự nhiên $n$.
6. Xét tất cả các dãy $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{2019}$ gồm $2019$ số nguyên dương tùy ý, không nhất thiết phân biệt. Gọi $m$ là số các bộ $(a, b, c)$ với $a < b < c$ sao cho $x_{a}$, $x_{b}$, $x_{c}$ là ba số liên tiếp của một cấp số cộng có công sai không chia hết cho $3$. Tìm giá trị lớn nhất có thể có của $m$.

DOWNLOAD ĐÁP ÁN