[Lời Giải và Bình Luận] Đề Thi Toán Quốc Tế IMO 2017

Trong ngày thi thứ nhất (18/7) các thí sinh phải làm 3 bài toán trong vòng 270 phút. Bài 1 là bài về dãy số số học, bài 2 là bài đại số và bài 3 là bài hình học tổ hợp và thuật toán. Trong ngày thi thứ hai (19/7) các thí sinh cũng tiếp tục làm 3 bài toán trong vòng 270 phút. Bài 4 là bài toán hình học, bài 5 là bài toán tổ hợp và bài 6 là bài toán số học-đại số.

Đề thi này khá có lợi thế đối với học sinh Việt Nam và các học sinh đội tuyển Saudi Arabia anh em (đội có chung rất nhiều huấn luyện viên với đội tuyển Việt Nam).

Đội tuyển toán VN đã từng giành 4 Huy chương Vàng và 2 Huy chương Bạc tại IMO 2004. Nếu so về mầu Huy chương của riêng các đội tuyển toán Việt Nam thì IMO 2004 sẽ hơn IMO 2017.

Nhưng so thế là khập khiễng vì đó chỉ là con số so sánh thành tích của riêng đội tuyển, chưa nói lên sự tương quan vị trí so với các nước với cùng đề thi mỗi năm. Bởi thế thông thường các nhà tổ chức Olympic Toán Quốc tế sẽ lấy vị trí (không chính thức vì IMO không tính giải đồng đội) từng kỳ IMO để đánh giá các đội. Năm 2004 chúng ta đứng thứ 4 với 85 nước, còn năm nay lên vị trí thứ 3 với 112 nước. Bởi vậy IMO 2017 thành tích của đội tuyển ở vị trí cao hơn IMO 2004.

Mặt khác, IMO 1999 và IMO 2007 đội tuyển đứng thứ 3 trong các nước tham gia nhưng số Huy chương Vàng ít hơn IMO 2017. Như vậy thành tích của đội tuyển Việt Nam tại IMO 2017 là thành tích cao nhất trong 43 lần tham dự Olympic Toán Quốc tế.

1. Với mỗi số nguyên bất kỳ $a_0>1$, xét dãy số $a_0, a_1, a_2, \dots$ xác định bởi
   
   • $a_{n+1}=\sqrt{a_n}$ nếu $\sqrt{a_n}$ là số nguyên,
   • $a_{n+1}=a_n+3$ trong trường hợp ngược lại,
   với mỗi số nguyên $n\geq 0$. Hãy xác định tất cả các số $a_0$ sao cho tồn tại số $A$ mà $a_n=A$ với vô hạn số $n$.
2. Kí hiệu $\mathbb{R}$ là tập số thực. Hãy tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}$ sao cho với mọi số thực $x$ và $y$, $$f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy).$$
3. Một cô thợ săn và một con thỏ tàng hình chơi trò chơi sau trên mặt phẳng. Điểm xuất phát $A_0$ của con thỏ và điểm xuất phát $B_0$ của cô thợ săn trùng nhau. Sau $n-1$ lượt chơi, con thỏ ở điểm $A_{n-1}$ và cô thợ săn ở điểm $B_{n-1}$. Ở lượt chơi thứ $n$, có ba điều lần lượt xảy ra theo thứ tự dưới đây
   
   • Con thỏ di chuyển một cách không quan sát được tới điểm $A_n$ sao cho khoảng cách giữa $A_{n-1}$ và $A_n$ bằng đúng $1$.
   • Một thiết bị định vị thông báo cho cô thợ săn về một điểm $P_n$, đảm bảo khoảng cách giữa $P_n$ và $A_n$ không lớn hơn $1$.
   • Cô thợ săn di chuyển một cách quan sát được tới điểm $B_n$ sao cho khoảng cách giữa $B_{n-1}$ và $B_n$ bằng đúng $1$.
   Hỏi điều sau đây sai hay đúng: cho dù con thỏ có di chuyển như thế nào và các điểm được thiết bị định vị thông báo có là những điểm nào, cô thợ săn luôn có thể chọn cho mình cách di chuyển sao cho sau $10^9$ lượt chơi, cô ta có thể khẳng định chắc chắn rằng khoảng cách giữa mình và con thỏ không vượt quá $100$?
4. Cho $R$ và $S$ là hai điểm phân biệt trên đường tròn $\Omega$ sao cho $RS$ không phải là đường kính. Cho $\ell$ là tiếp tuyến tại $R$ của $\Omega$. Lấy điểm $T$ sao cho $S$ là trung điểm của đoạn thẳng $RT$. Lấy điểm $J$ trên cung nhỏ $RS$ của $\Omega$ sao cho đường tròn ngoại tiếp $\Gamma$ của tam giác $JST$ cắt $\ell$ tại hai điểm phân biệt. Gọi $A $ là giao điểm gần $R$ nhất của $\Gamma$ và $\ell$. Đường thẳng $AJ$ cắt lại $\Omega$ tại $K$. Chứng minh rằng $KT$ tiếp xúc với $\Gamma$.
5. Cho số nguyên $N>2$. Có $N(N+1)$ cầu thủ bóng đá, trong đó không có hai người nào có cùng chiều cao, đứng thành một hàng ngang. Ngài Alex muốn đưa $N(N – 1)$ cầu thủ ra khỏi hàng sao cho ở hàng ngang mới nhận được, gồm $2N$ cầu thủ còn lại, $N$ điều kiện sau được đồng thời thỏa mãn
   
   • không có cầu thủ nào đứng giữa hai cầu thủ cao nhất,
   • không có cầu thủ nào đứng giữa cầu thủ cao thứ ba và cầu thủ cao thứ tư,
   • ....................................................................................
   • không có cầu thủ nào đứng giữa hai cầu thủ thấp nhất.
   Chứng minh rằng Ngài Alex luôn có thể làm được điều đó.
6. Cặp có thứ tự các số nguyên $(x, y)$ được gọi là điểm nguyên thủy nếu ước số chung lớn nhất của $x$ và $y$ bằng $1$. Cho tập $S$ gồm hữu hạn điểm nguyên thủy. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $n$ và các số nguyên $a_0,a_1,a_2,\dots ,a_{n-1},a_n$ sao cho với mỗi điểm $(x, y)$ thuộc $S$, ta có $$a_0x^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+\cdots+a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n=1.$$

DOWNLOAD ĐÁP ÁN