[Đáp Án] Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2020-2021

1. Cho dãy số thực $\left(x_{n}\right)$ có $$x_{1} \in\left(0, \frac{1}{2}\right),\quad x_{n+1}=3 x_{n}^{2}-2 n x_{n}^{3},\,\forall n \geq 1.$$ a) Chứng minh $\displaystyle\lim_{n\to\infty} x_{n}=0$.
   b) Với mỗi $n\geq 1$ đặt $y_n = x_1+2x_2+\ldots+nx_n$. Chứng minh rằng dãy $(y_n)$ có giới hạn hữu hạn.
2. Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $$f(x) f(y)=f(x y-1)+x f(y)+y f(x),\, \forall x, y \in \mathbb{R}.$$
3. Cho tam giác nhọn không cân $A B C$ có trực tâm $H$ và $D$, $E$, $F$ lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh $A$, $B$, $C$. Gọi $(I)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $H E F$ với tâm $I$ và $K$, $J$ lần lượt là trung điểm $B C$, $E F$. Cho $H J$ cắt lại $(I)$ tại $G$, $G K$ cắt lại $(I)$ tại $L$.
   a) Chứng minh rằng $A L$ vuông góc với $E F$.
   b) Cho $A L$ cắt $E F$ tai $M$, $I M$ cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác $I E F$ tại $N$, $D N$ cắt $A B$, $A C$ lần lượt tại $P$, $Q$. Chứng minh rằng $P E$, $Q F$, $A K$ đồng quy.
4. Với số nguyên $n\geq 2$, gọi $s(n)$ là tổng các số nguyên dương không vượt quá $n$ và không nguyên tố cùng nhau với $n$.
   a) Chứmg minh $s(n)=\dfrac{n}{2}(n+1-\varphi(n))$ trong đó $\varphi(n)$ là số các số nguyên dương không vượt quá $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$.
   b) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên $n \geq 2$ thỏa mãn $s(n)=s(n+2021)$.
5. Cho đa thức $P(x)=a_{31}x^{31}+a_{20}x^{20}_\ldots +a_1x+a_0$ có các hệ số thuộc $[1011,2021]$. Biết rằng $P(x)$ có nghiệm nguyên và $c$ là một số dương sao cho $|a_{k+2}-a_{k}| \leq c$ với mọi $k \in\{0,1, \ldots, 19\}$.
   a) Chứng minh rằng $P(x)$ có đúng một nghiệm nguyên.
   b) Chứng minh $\displaystyle\sum_{i=0}^{10}\left(a_{2 k+1}-a_{2 k}\right)^{2} \leq 440 c^{2}$.
6. Một học sinh chia tất cả $30$ viên bi vào $5$ cái hộp được đánh số $1,2,3,4,5$ (sau khi chia có thể có hộp không có viên bi nào).
   a) Hỏi có bao nhiêu cách chia các viên bi vào các hộp (hai cách chia là khác nhau nếu có một hộp có số bi trong hai cách chia là khác nhau)?
   b) Sau khi chia, học sinh này sơn $30$ viên bi đó bởi một số màu (mỗi viên được sơn đúng một màu, một màu có thể sơn cho nhiều viên bi), sao cho không có $2$ viên bi nào trong cùng một hộp có màu giống nhau và từ $2$ hộp bất kì không thể chọn ra được $3$ viên bị được sơn bởi $4$ màu. Chứng minh rằng với mọi cách chia, học sinh đều phải dùng không ít hơn $10$ màu để sơn bi.
   c) Hãy chỉ ra một cách chia sao cho với đúng $10$ màu học sinh có thể sơn bi thỏa mãn các điều kiện ở câu b).
7. Cho tam giác nhọn không cân $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $D$ là giao điểm hai tiếp tuyến của $(O)$ tại $B$ và $C$. Đường tròn đi qua $A$ và tiếp xúc với $B C$ tại $B$ cắt trung tuyến đi qua $A$ của tam giác $A B C$ tại $G$. Cho $B G$, $C G$ lần lượt cắt $C D$, $B D$ tại $E$, $F$.
a) Đường thẳng đi qua trung điểm của $B E$ và $C F$ lần lượt cắt $B F$, $C E$ tại $M$, $N$. Chứng minh rằng các điểm $A, D, M, N$ cùng thuộc một đường tròn.
b) Cho $A D$, $A G$ lần lượt cắt lai đường tròn ngoại tiêp các tam giác $D B C$, $G B C$ tại $H, K$. Trung trực của $H K$, $H E$, $H F$ lần lượt cắt $B C$, $C A$, $A B$ tai $R$, $P$, $Q$. Chứng minh rằng các điểm $R$, $P$, $Q$ thẳng hàng.

DOWNLOAD ĐÁP ÁN