Đề Thi Chọn Đội Tuyển Tỉnh Hà Tĩnh Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2020-2021

1. Cho phương trình $x^{n}=x+1$. Chứng minh rằng với mỗi $n \in \mathbb{N}$, $n \geq 2$, phương trình có nghiệm dương duy nhất, ký hiệu là $x_{n}$.
   a) Tính giới hạn của dãy số $\left(u_{n}\right)$ với $u_{n}=n\left(x_{n}-1\right)$.
   b) Tìm số thực $k$ sao cho dãy số $v_{n}=n^{k}\left(x_{n+1}-x_{n}\right)$ có giới hạn hữu hạn khác $0$.
2. Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $$f(y-f(x))=f(f(x))-2 y f(x)+f(y),\, \forall x, y \in \mathbb{R}$$
3. Cho tam giác nhọn $A B C$ có $A B<A C<B C$ và nội tiếp đường tròn $(O ; R)$. Đường thẳng $d$ thay đổi nhưng luôn vuông góc với đoạn thằng $O A$ và cắt cạnh $A B$, $A C$ lần lượt tại $M$, $N$. Gọi $K$ là giao điểm của đường thẳng $B N$ và $C M$; $P$ là giao điểm của đường thẳng $A K$ và $B C$; $I$ là trung điểm của $B C$.
   a) Chứng minh tứ giác $M N I P$ nội tiếp được trong một đường tròn.
   b) Gọi $H$ là trực tâm tam giác $A M N$. Chứng minh rằng đường thẳng $H K$ luôn đi qua một điểm cố định khi đường thẳng $d$ thay đổi.
4. Tìm tất cả các số nguyên tố $m$, $n$ sao cho $\dfrac{7^{m}+7^{n}}{m n}$ là một số nguyên.
5. Với $a, b \in \mathbb{Z}$, xét hai dãy đa thức $$P_{0}(x)=x+a,\, P_{n+1}(x)=P_{n}^{2}(x)+(-1)^{n} n$$ và $$Q_{0}(x)=x+b,\, Q_{n+1}(x)=-Q_{n}^{2}(x)+(-1)^{n} n$$ với mọi $n \geq 0$, $n \in \mathbb{Z}$?.
   a) Cho $a\ne b$, $a-b \ne -1$. Hỏi đa thức $f(x) = P'_{2020}(x)Q'_{2020}(x)$ có bao nhiêu nghiệm phân biệt.
   b) Tìm điều kiện của $a$, $b$ để tồn tại $n$ sao cho $P_{n}(x)+Q_{n}(x)$ chia hết cho $x+2$.
6. Cho tam giác $A B C$ không cân, đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh $B C$, $C A$, $A B$ lần lượt tại $D$, $E$, $F$. Đường thẳng $A I$ cắt đường tròn $(I)$ lần lượt tại $M$, $H$ và cắt $E F$ tại $N$ ($M$ nằm giữa $A$ và $I$). Tiếp tuyến tại $I$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $I M D$ cắt $D N$ tại $P$. Trên đường thẳng $P M$ lấy $Q$ sao cho $D Q$ vuông góc với $E F$.
   a) Chứng minh rằng $P H$ song song với $A D$.
   b) Chứng minh đường thẳng $D A$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $M Q$.
7. Cho bảng vuông $n \times n$ ô vuông $(n \geq 2)$ với các ô vuông được tô bằng hai màu đen hoặc trắng (mỗi ô chi tô bởi một màu). Biết rằng mỗi bước, ta chi thay đổi màu của toàn bộ các ô trong một hàng hoặc một cột (ô trắng thành đen và ô đen thành trắng).
   a) Giả sử trong bàng có đúng $1$ ô được tô đen. Hỏi sau một số bước đổi màu các hàng hoặc cột nào đó thì bảng toàn ô trắng được hay không?
   b) Có tất cả bao nhiêu cấu hình ban đầu sao cho sau hữu hạn bức đồi màu hàng hoặc cột thì bảng gồm toàn ô trắng?