Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 9 Tỉnh Sóc Trăng 2015-2016

1. a) Cho biểu thức $$P=\frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}-\frac{3-11 \sqrt{x}}{x-9}.$$ Tìm $x$ để biểu thức $P < 1$.
   b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của phân thức $$E=\frac{x^{2}+2 x+3}{x^{2}+2}.$$
2. a) Chứng minh rằng với mọi $a \in \mathbb Z$ thì $6 \mid 2 a^{3}+3 a^{2}+a$.
   b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên $x$, $y$ thì $$A=(x+y)(x+2 y)(x+3 y)(x+4 y)+y^{4}$$ là số chính phương.
3. Hai người cùng làm một công việc. Nếu cả hai cùng làm chung thì $8$ giờ hoàn thành công việc. Hai người cùng làm được $6$ giờ, sau đó người thứ nhất đi làm việc khác và người thứ hai tiếp tục làm $5$ giờ nữa thì hoàn thành công việc. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải hoàn thành công việc trong mấy giờ ?
4. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Một đường thẳng qua $A$ cắt đường tròn đường kính $AB$ tại $M$, cắt đường tròn đường kính $AC$ tại $N$. Điểm $A$ nằm giữa hai điểm $M$ và $N$.
   a) Chứng minh $\widehat{MHN}=90^{\circ}$.
   b) $HM$ cắt $A B$ tại $I$, $HN$ cắt $AC$ tại $J$. Chứng minh $IJ || MN$.
5. Cho đường tròn $(O ; R)$ và đường tròn $(O^{\prime} ; R^{\prime})$, tiếp xúc ngoài tại $A$ $(R > R^{\prime})$. Vẽ các đường kính $AOB$ của đường tròn $(O)$ và $AO'C$ của đường tròn $(O')$. Dây $DE$ của đường tròn $(O)$ vuông góc với $BC$ tại trung điểm $K$ của $BC$.
   a) Tứ giác $BDCE$ là hình gì ? Chứng minh.
   b) Gọi $I$ là giao điểm của $EC$ với đường tròn $(O')$. Chứng minh ba điểm $D$, $A$, $I$ thẳng hàng.
   c) Chứng minh $KI$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O')$.