$hide=mobile$type=ticker$c=12$cols=3$l=0$sr=random$b=0

Tổng Hợp Đề Thi Học Sinh Giỏi Các Trường Và Các Tỉnh Thành 2019-2020

This article has
views, Facebook comments and 0 Blogger comments. Leave a comment.

Đại Số

  1. [Thanh Hóa] Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$ và $Q(x)$ thỏa mãn$$ P(x+Q(y))=Q(x+P(y)),\,\forall x,\,y\in\mathbb R.$$
  2. [Bắc Giang] Tìm các hàm số liên tục $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn$$ f(x+y) f(x-y)=f^{2}(x)f^{2}(y), \;\forall x, \,y \in \mathbb{R}. $$
  3. [Bắc Giang] Cho đa thức $P(x)=1+4 x+4 x^{2}+\dots+4 x^{2 n-1}+4 x^{2n}$ với $n$ là một số nguyên dương lẻ. Chứng minh rằng $P(x)$ không thể là bình phương của một đa thức khác. 
  4. [Chuyên KHTN Hà Nội] Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng$$ \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{6 a}{2 a+b+c}+\frac{6 b}{2 b+c+a}+\frac{6 c}{2 c+a+b} \geq 6. $$
  5. [Chuyên KHTN Hà Nội] Tìm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho với các số thực $x$, $y$ bất kỳ ta luôn có $$ f(x) f(y)+x^{2}=x\left[f(2 x)+f(f(y-x))\right]. $$
  6. [Ninh Bình] Tìm các hàm số liên tục $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn $$ f(x y)=f\left(\frac{x^{2}+y^{2}}{2}\right)+(x-y)^{2}, \;\forall \,x,\, y \in \mathbb{R}. $$
  7. [Ninh Bình] Cho ba số thực $a,\,b,\,c$ đôi một phân biệt. Tìm giá trị nhỏ nhất của $$ P=\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+a b+b c+c a\right)\left(\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}\right). $$
  8. [Ninh Bình] Tìm các số nguyên $x,\,y,\,z$ thỏa mãn$$ \left\{\begin{array}{l}{x^{3}-4 x^{2}-16 x+60=y}, \\ {y^{3}-4 y^{2}-16 y+60=z}, \\ {z^{3}-4 z^{2}-16 z+60=x.}\end{array}\right. $$
  9. [Cần Thơ] Cho tam thức bậc hai hệ số thực $P(x)=ax^2+bx+c$, với $a<b$ và $P(x)\ge 0$ với mọi số thực $x$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức$$ T=\frac{a+b+c}{b-a}.$$
  10. [Cần Thơ] Tìm hàm số $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho với bất kỳ $x,\,y\in\mathbb R$ ta có $f(x)\ge 2019x$ và\[f(x+y)\ge f(x)+f(y).\]
  11. [Lâm Đồng] Tìm đa thức hệ số thực $P(x)$ sao cho với số thực $x$ bất kỳ, ta có$$ P\left(x^{2}+x+3\right) P(3 x+1)-P\left(6 x^{3}+7 x^{2}+16 x+3\right). $$
  12. [Lâm Đồng] Tìm các hàm $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho với các số thực $x,\,y$ bất kỳ, ta có$$ f(f(x) f(y))+f(x+y)=f(x y). $$
  13. [Bình Dương] Tìm các hàm $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho với các số thực $x,\,y$ bất kỳ ta đều có$$ f\left(x^{2}-y^{2}\right)=(x-y)(f(x)+f(y)). $$
  14. [Bình Dương] Tìm các nghiệm thực của phương trình$$ \left(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+1}\right) \left(x^{2}+\sqrt{x^{2}+4x+3}\right)=2x.$$
  15. [Bình Dương] Cho $x,\,y,\,z$ thỏa mãn $xy+yz+zx=1$, tìm giá trị nhỏ nhất của$$ T=\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{1}{z^{ 2}+1}. $$
  16. [Đồng Tháp] Cho $a,b,c$ là các số thực dương có tổng bằng $3$. Chứng minh rằng $$ (a b+b c+c a)^{2}+9 \geq 18 a b c. $$
  17. [Bến Tre] Tìm các nghiệm thực $x$ trên đoạn $[-2;\,2]$ của phương trình$$ x^{3}+x^{2}-3 x-2=2 \sqrt{x+2}. $$
  18. [Bến Tre] Tìm các nghiệm thực $x$ của phương trình$$ \sqrt{x^{3}+2 x}+\sqrt{3 x-1}=\sqrt{x^{3}+4 x^{2}+4 x+1} $$
  19. [Bến Tre] Tìm các nghiệm thực của hệ phương trình $$\begin{cases}x^{2}-2 y^{2}&=1, \\ 2 y^{2}-3 z^{2}&=1 \\ xy+yz+zx &=1\end{cases}. $$
  20. [Bến Tre] Tìm các hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho với các số thực $x,\,y$ bất kỳ ta đều có$$ f(f(x)+y)=f\left(x^{2}-y\right)+4 f(x) y. $$
  21. [Bến Tre] Tìm hàm $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho với các số thực $x,\,y$ bất kỳ ta đều có $$ f(f(x)+2 f(y))=f(x)+y+f(y). $$
  22. [Quảng Bình] Tìm các số nguyên dương $m$ và $n$ sao cho với mỗi đa thức $P(x)$ bậc $m$ có hệ số thực luôn tồn tại một đa thức $Q(x)$ bậc $n$ có hệ số thực thỏa mãn\[Q(x)\mid Q(P(x)).\]
  23. [TPHCM] Cho các số thực dương $a,b,c,d$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+d^2=1$. Chứng minh rằng $$4(1-a)(1-b) \geq(c+d)^{2}.$$
  24. [TPHCM] Tìm các hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ liên tục tại $0$ sao cho với mỗi số thực $x$ ta đều có $$f(2018 x)+f(2019 x)=2020 x.$$
  25. [TPHCM] Cho $P(x)$ là đa thức đơn khởi, hệ số thực có bậc là $2019$. Biết rằng $P(x)$ có $2019$ nghiệm thực không nguyên, đôi một phân biệt. Giả sử mỗi đa thức $P\left(2x^2-4x\right)$ và $P\left(4x-2x^2\right)$ đều có đúng $2692$ nghiệm thực phân biệt.
    a) Có bao nhiêu nghiệm của $P(x)$ trong $(-2;\,2)$?.
    b) Chứng minh rằng tồn tại ba đa thức đồng bậc $A(x)$, $B(x)$, $C(x)$ sao cho $A(x)C(x)\ne B(x)$ với mọi $x\in (0;\,1)$ và \[P(x)=A(x)B(x)C(x).\]

Giải Tích

  1. [TPHCM] Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $$u_1=\frac{-1}{3},\quad u_{n+1}=\frac{u_n\,+\,1}{\sqrt{{u_n}^2 \,+\,1}}-1,\, \forall n\in\mathbb N^*.$$ Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó. 
  2. [Thanh Hóa] Cho dãy $(x_n)$ xác định bởi $$x_1=\alpha \in\mathbb{R}),\quad x_{n+1}=\left(1\,+\,\frac{1}{n +1}\,-\,\frac{2}{(n+1)^2}\right)x_n+\frac{8}{(n+1)^2},\, \forall n\in\mathbb N^*.$$ Tìm số hạng tổng quát của dãy $(x_n)$. Từ đó tìm $\alpha$ để dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn. 
  3. [Thanh Hóa] Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\,\to\,\mathbb{R},$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa $$f(xy)\,+\,f(x+y)\,=\,f(xy+x)\,+\,f(y).$$
  4. [Sóc Trăng] Cho dãy số $(u_n)$ thỏa $$u_1 = 2020,\quad 2020{u_{n + 1}} = 2019{u_n} + u_n^2,\,\forall n \in \mathbb N^*.$$ Tính $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 0}^n {\dfrac{{{u_k}}}{{{u_{k + 1}}\, - \,1}}.} $ 
  5. [Sóc Trăng] Cho dãy số $(a_n)$ xác định như sau $${a_1}\, = \,5,\,{a_2}\, = \,13,\quad  {a_{n + 2}}\, = \,5{a_{n + 1}}\, - \,6{a_n},\,\forall \,n\, \in \mathbb N^*.$$ Chứng minh rằng với $k$ nguyên dương bất kì, nếu $p$ là một ước nguyên tố của $a_{2k}\,+\,2.6^k$ thì $p$ cũng là ước của $a_{2k+1}\,+\,5.6^k.$
  6. [Lào Cai] Cho $(a_n)$, $(b_n)$ thỏa $$a_0\,=\,1,\,a_1\,=\,\frac{1}{2},\,b_n\,=\,\frac{ 1}{3}\,+\,2a_{n+1},\,2b_{n+1}\,=\,2b_n\,-\,a_n.$$ Với mỗi $n\,\in \mathbb{N},$ đặt ${c_n}\, = \,\dfrac{1}{{{2^{n + 1}}}}\sum\limits_{i = 0}^n {\frac{{{b_i}}}{{{a_i}}}.} $ Tính $\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_n.$ 
  7. [Cần Thơ] Cho hàm số $f$ liên tục trên $[0;2020]$ thỏa $f(2020)\,=\,f(0)\,+\,2020,$ $f(1010)\,\ne f(0)\,+\,1010.$ Chứng minh rằng tồn tại $x_1,\,x_2\,\in\, (0;2020)$ mà $x_1\,\ne\,x_2$ sao cho $$f(x_1)\,-\,x_1\,=\,f(x_2)\,-\,x_2.$$
  8. [PTNK] Số thực $\alpha$ được gọi là điểm tụ của dãy số $(u_n)$ nếu tồn tại ít nhất một dãy con của dãy $(u_n)$ hội tụ đến $\alpha.$ a) Hãy chỉ ra một dãy có vô hạn điểm tụ.
    b) Chứng minh rằng nếu mọi dãy con của dãy $(u_n)$ đều hội tụ thì dãy $(u_n)$ cũng hội tụ. $\,(c)\,$ Gọi $S$ là tập các số chính phương. Dãy số $(a_n)$ thỏa $a_n\,=\,\frac{1}{n}$ nếu $n\,\in \,S$ bỏ ${0}$ và $a_n\,=\,\frac{1}{n^2}$ nếu $n\,\notin \,S.$ Xét tính hội tụ của các dãy $(a_n),\,(b_n)$ với $b_n\, = \,\sum\limits_{i = 0}^n {{a_i}.}$
  9. [Bắc Giang] Tìm hàm số liên tục: $f:\,\mathbb{R}\,\to\,\mathbb{R}$ thỏa: $$f(x+y)f(x-y)\,=\,f^2(x)f^2(y)\,\,\,\,\,\forall x,\,y\,\in\,\mathbb{R}.$$
  10. [KHTN] Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $$a_0\,=\,1,\,a_1\,=\,\frac{1}{2},\quad a_{n+1}\,=\,\frac{{a_n}^3}{2{a_{n-1}}^2-{a_n}^2},\,\forall n\in\mathbb N^*.$$ Đặt ${x_n}\, = \,\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{a_k}}}{{{2^k}}}.} $ Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ hội tụ và tìm giới hạn đó. 
  11. [Bình Dương] Với mỗi $n\,\in\,\mathbb{N^*},$ đặt ${Q_n}(x)\, = \,\prod\limits_{i = 0}^n {(x - {i^2})} $ và kí hiệu ${Q'_n(x)}$ là đa thức đạo hàm của $Q_n(x).$
    a) Khi $n\,=\,2020$ thì đa thức $Q'_n(x)$ có bao nhiêu nghiệm thực?.
    b) Chứng minh rằng với mỗi $n$ nguyên dương, đa thức $Q'_n(x)$ có duy nhất một nghiệm thực $x_n$ thuộc $(0;1).$ c) Tồn tại hay không giới hạn của dãy $(x_n)$ khi $n\,\to\,+\infty?$ 
  12. [ĐH Vinh] Cho dãy $(x_n)$ xác định bởi: $$x_1\,=\,1,\,{x_{n + 1}}\, = \,\sqrt[3]{{8x_n^3\, + 12x_n^2 + 1}}$$ với mọi $n$ nguyên dương. Tính $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}}.$ 
  13. [Amsterdam] Cho hàm số $y\,=\,x\,+\,\frac{1}{x}$ với $x\,>\,0$ có đồ thị $(C).$ Một đường thẳng đi qua điểm $A(0;1)$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $M$ và $N.$ Các tiếp tuyến với $(C)$ tại hai điểm phân biệt $M,\,N$ cắt nhau tại điểm $P.$ Tìm hoành độ điểm $P,$ và chứng minh rằng tung độ của điểm $P,$ kí hiệu $y_P$ thỏa $2\,<\,y_P\,<\,\frac{5}{2}.$ 
  14. [Lâm Đồng] Cho số thực $a$ và dãy số thực $(u_n)$ thỏa $${u_1}\, = \,a ,\quad {u_{n + 1}}\, = \,\ln (8\, + \,\cos {u_n}\, + \,\sin {u_n})\, + \,2019,\,\forall n\in\mathbb N^*.$$ Chứng minh rằng dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn. 
  15. [Đồng Tháp] Cho dãy số thực dương $(x_n)$ xác định bởi ${x_n}\, = \,2\left(1\, - \,\frac{1}{{2{n^2}\, + \sqrt {4{n^4}\, + \,1} }}\right)$ với mọi $n$ nguyên dương. Đặt ${S_n}\, = \,\sum\limits_{i = 1}^n {\sqrt {{x_i}} } \,(n\, \geqslant \,1).$ $\,a.\,$ Tính $S_{20}.$ $\,b.\,$ Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho $S_n$ nhận giá trị nguyên.
  16. [Quảng Bình] Cho hai dãy số thực $(a_n)$, $(b_n)$ thỏa mãn $${a_1}\, = {b_1} = \,2 ,\quad {a_n}\, = \,2(n + {a_{n - 1}}),\quad {b_n}\, = \,\frac{{n + 1}}{{n - 1}}({b_1} + \,{b_2}\, + ... + \,{b_{n - 1}}),\,\forall \,n\, \geqslant 2.$$ a) Chứng minh rằng $a_n\,<\,2^{n+2}$ với mọi $n$ nguyên dương.
    b) Tính giới hạn $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{{2({b_n} + n + 2) + {a_n}}}{{{6^n}}}.$ 
  17. [Hà Tĩnh] Cho các dãy số $(u_n)$, $(v_n)$ sao cho $$\lim_{n\to\infty}(u_n)^n\,=\,2,\,\lim_{n\to\infty}(v_n)^n\,=3;\,u_n,\,v_n\,\neq \,1$$ với mọi $n.$
    a) Chứng minh rằng $\displaystyle \lim_{n\to\infty}u_n\,=\,1.$
    b) Tìm $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(\frac{2u_n+3v_n}{5})^n.$ 
  18. [Hà Nam] Cho hai số thực $a,\,b\,\in\,(0,1)$ và dãy số $(x_n)$ thỏa : $$x_1\,=\,a,\,x_2\,=\,b,\,{x_{n + 2}}\, = \,\frac{1}{4}x_{n + 1}^2\, + \,\frac{3}{4}\sqrt {{x_n}} \,,\,\forall \,n\, \geqslant 1.$$ Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n.$
  19. [Phú Thọ] Có tồn tại hay không hàm $f(x)$ gián đoạn tại mọi điểm thuộc $\mathbb R$ còn $f(x)^2$ liên tục trên $\mathbb R$.
  20. [KHTN HN] Cho dãy số $(a_n)$ thỏa mãn $$a_1\,=\,\frac{2}{3},\quad a_{n+1}\,=\,\frac{{a_n}^2\, +\,(n-1)a_n\,+\,2}{n+1},\,\forall n\in\mathbb N^*.$$ a) Chứng minh rằng $(a_n)$ bị chặn.
    b) Chứng minh rằng $(a_n)$ hội tụ và tìm giới hạn.
  21. [Vĩnh Long] Cho dãy số $(a_n)$ thỏa $a_1\,=\,2$ và $(4-a_n)(6+a_{n-1})\,=\,24$ với mọi $n$ nguyên dương lớn hơn hoặc bằng $2.$
    a) Chứng minh rằng $a_n$ khác $0$ với mọi $n\,\in\,\mathbb{N^*}.$
    b) Tính $S_{2020}\,=\,\dfrac{1}{a_1}\,+\,\dfrac{1}{a_2}\,+.. .\,+\dfrac{1}{a_{2020}}.$
  22. [Bắc Ninh] Cho hai dãy số $(u_n)$ và $(v_n)$ thỏa $u_0\,=\,a, v_0\,=\,b$ với $a,b$ là hai hằng số thực cho trước thỏa $0\,<\,a\,<\,b$ và $u_{n+1}\,=\,\dfrac{u_n+v_n}{2}$ và $v_{n+1}\,=\,\sqrt{u_{n+1}.v_n}$ với mọi số tự nhiên $n.$
    a) Chứng tỏ hai dãy đã cho đều hội tụ và có giới hạn bằng nhau.
    b) Tìm giới hạn đó theo $a,b.$
  23. [Đà Nẵng]
    a) Chứng minh rằng dãy số $(x_n)$ thỏa mãn $x_n\,\in\,[0;n]$ và ${x_n}^n\,=\,e^{x_n}$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
    b) Chứng minh rằng dãy số $(a_n)$ thỏa mãn $a_1\,=\,a$ và $a_{n+1}\,=\,{a_n}^2\,-\,6.$ Xác định tất cả giá trị của $a$ để dãy này tuần hoàn.
  24. [Hải Dương] Cho dãy số $(x_n)$ thỏa $$x_1\,=\,2019,\quad x_{n+1}\,=\,1\,+\,\ln{\frac{x_n({x_n}^2+3)}{3{x_n }^2+1}}.$$ Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. 

Hình Học

  1. [LHP TPHCM] Cho đường thẳng $d$ cố định và điểm $A$ cố định không thuộc $d.$ Các điểm $B,\,C$ di động trên $d$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn và $AB\,<\,AC.$ Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác, $AI$ cắt $BC$ tại $D,$ cắt $(ABC)$ tại $J,$ khác $A.$ a) Chứng minh rằng $IJ^2\,=\,JD.JA.$
    b) Gọi $K$ đối xứng $I$ qua $BC.$ $AI$ cắt $(BIC)$ tại $G$ khác $I.$ Chứng minh rằng $GK$ luôn đi qua một điểm cố định. c) Gọi $E$ là tâm đường tròn qua $A$ và tiếp xúc $BC$ tại $D,$ gọi $M,\,N$ là hình chiếu của $D$ lên $BE,\,CE.$ Chứng minh $B,\,I,\,M,\,N,\,C$ đồng viên.
  2. [PTNK]Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ với $B,\,C$ cố định và $A$ thay đổi trên cung lớn $BC.$ Các đường tròn bàng tiếp góc $A,\,B,\,C$ lần lượt tiếp xúc $BC,\,CA,\,AB$ tại $D,\,E,\,F.$  a) Gọi $L$ là giao điểm thứ hai của $(ABE)$ và $(ACF).$ Chứng minh rằng $AL$ luôn đi qua một điểm cố định.
    b) $(BCF)$ cắt $(BAD)$ tại $M,\,B,$ $(CAD)$ cắt $(CBE)$ tại $N,\,C.$ Gọi $K,\,I,\,J$ lần lượt là trung điểm $AD,\,BE,\,CF.$ Chứng minh rằng $KL,\,IM,\,JN$ đồng quy.
  3. [PTNK] Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O).$ Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC$, $CA$, $AB$ lần lượt tại $D$, $E$, $F.$ Gọi $J$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $A$ và $H$ là hình chiếu vuông góc của $D$ lên $EF.$ a) Chứng minh rằng giao điểm của $AH$ và $JD$ thuộc $OI.$
    b) $DH$ cắt $(I)$ tại $K$ khác $D,$ $IK$ cắt $(IEF)$ tại $L$ khác $I.$ Chứng minh rằng $AD$ và $LH$ cắt nhau tại một điểm trên đường tròn $(IEF).$
  4. [Khánh Hòa] Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân có đường trung tuyến $AM$ và phân giác trong $AD.$ Qua điểm $N$ trên đoạn $AD$($N$ không trùng $A,\,D$)kẻ $NP$ vuông góc $AB$ ($P$ thuộc cạnh $AB.$)Đường thẳng qua $P$ vuông góc $AD$ cắt đoạn thẳng $AM$ tại $Q.$ Chứng minh rằng $QN\,\bot \,BC.$
  5. [Phú Thọ] Cho tam giác $ABC$ thỏa $AB\,=\,AC\,>\,BC.$ Gọi $I$ là tâm nội tiếp tam giác, $BI$ cắt $AC$ tại $D,$ lấy $J$ đối xứng $I$ qua $AC.$ Đường tròn $(BDJ)$ cắt $AI$ tại $E.$
    a) Chứng minh rằng $ED\,//\,IJ.$
    b) Chứng minh rằng $9AE\,\geqslant\,8AI.$
  6. [Khánh Hòa] Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân nội tiếp đưởng tròn $(O),$ ba đường cao $AD,\,BE,\,CF.$ Gọi $M$ là trung điểm $BC$ và $I$ là giao điểm $EF$ và $BC.$
    a) $AD$ cắt $(O)$ tại $L.$ CMRChứng minh rằng$A,\,I,\,L,\,M$ đồng viên.
    b) Qua $D$ kẻ đường thẳng song song $EF;$ cắt $AB,\,AC$ lần lượt tại $R,\,S.$ Chứng minh rằng $DM\cdot DI=DR\cdot DS$.
  7. [Kiên Giang] Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(\Omega).$ Các tiếp tuyến tại $B,\,C$ cắt tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn lần lượt tại $K,\,L.$ Đường thẳng qua $K$ song song $AB$ cắt đường thẳng qua $L$ song song $AC$ tại $P.$ Chứng minh rằng $BP\,=\,CP.$
  8. [Đồng Nai] Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I).$ Gọi $D,\,E,\,F$ lần lượt là tiếp điểm của $(I)$ với $BC$, $CA$, $AB$. Gọi $M$ là trung điểm $AB.$ Gọi $N$, $P$, $Q$ lần lượt là giao điểm ba đường thẳng $AM$, $BI$, $CI$ với đường thẳng $EF.$
    a) Chứng minh rằng ba điểm $D,\,N,\,I$ thẳng hàng.
    b) Chứng minh rằng bốn điểm $B,\,C,\,P,\,Q$ đồng viên.
  9. [Hà Tĩnh] Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân, các đường cao $AA_1,\,BB_1$ cắt nhau tại $H.$ Hai đường tròn $(ABC)$ và $(A_1B_1C)$ cắt nhau tại $N$ khác $C.$ Gọi $M$ là trung điểm $AB,$ $K$ là giao điểm $CN$ và $AB.$ Đường thẳng $Chứng minh rằng$ cắt đường tròn $(A_1B_1C)$ tại điểm thứ hai $P,$ cắt $(ABC)$ tại điểm thứ hai $Q.$
    a) Chứng minh rằng $K,\,H,\,P$ thẳng hàng.
    b) Chứng minh rằng $AQ\,=\,BP.$
  10. [Hà Nam]Cho $A$ là điểm di động trên cung lớn $BC$ cố định của đường tròn $(O).$ Gọi $I$ là tâm nội tiếp của tam giác $ABC.$ Trên cạnh $BC$ lần lượt lấy $P,\,Q$ sao cho $IP\,\bot\,IC,\,IQ\,\bot\,IB.$
    a) Gọi $D$ là trung điểm cung nhỏ $BC$ của $(O).$ Chứng minh rằng $AD $ là trục đẳng phương hai đường tròn $(ABP)$ và $(ACQ).$
    b) Gọi $L$ là giao điểm ba đường đối trung của tam giác $IPQ.$ Gọi $S$ là trung điểm $PQ.$ Chứng minh rằng $LS$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ di động trên cung lớn $BC$ của $(O).$
  11. [Lam Sơn] Cho đường tròn $(O;R)$ và một điểm $I$ cố định khác $O$ ở trong đường tròn, đường thẳng qua $I$ vuông góc $OI$ cắt đường tròn tại hai điểm $C,\,D.$ $A$ là một điểm nằm trên đường tròn, tia đối xứng với tia $IA$ qua đường thẳng $CD$ cắt đường tròn tại $B,$ gọi $M$ là trung điểm $AB.$
    a) Chứng minh rằng đường thẳng $AB$ đi qua một điểm cố định $L$ khi $A$ thay đổi trên $(O;R).$
    b) Gọi $N,\,P$ là giao điểm của đường thẳng $OM$ với đường tròn $(O;R).$ Điểm $N$ nằm trên cung $ADB,$ $CN$ và $DP$ cắt nhau tại $Q.$ Chứng minh rằng các điểm $Q,\,N$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và bàng tiếp của tam giác $CMD.$
  12. [Lào Cai] Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ với các đường cao $AD,\,BE,\,CF$ đồng quy tại $H.$ $AA'$ là đường kính của $(O).$ Các đường thẳng $A'B,\,A'C$ cắt $AC,\,AB$ lần lượt tại $M,\,N.$ Các điểm $P,\,Q$ thuộc đường thẳng $EF$ sao cho $PB,\,QC$ vuông góc $BC.$ Đường thẳng qua $A$ vuông góc $QN,\,PM$ lần lượt cát $(O)$ tại $X,\,Y.$ Hai tiếp tuyến tại $X,\,Y$ của $(O)$ cắt nhau tại $J.$
    a) Gọi $S$ là trung điểm $AH.$ Chứng minh rằng $SB//AY.$
    b)Chứng minh rằng $JA'\,\bot \,BC.$
  13. [Hải Dương]
    a) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O),$ xét đường tròn $(O')$ tiếp xúc $AB,\,AC$ lần lượt tại $P,\,Q$ và tiếp xúc trong $(O)$ tại $S.$ Gọi $D$ là giao điểm $AS$ và $PQ.$ Chứng minh rằng $\dfrac{BP}{CQ}\,=\,\dfrac{BS}{CS}$ và $\angle BDP\,=\,\angle CDQ.$
    b) Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp $(I)$ và $D_1,\,E_1$ là tiếp điểm của $(I)$ với $BC,\,CA.$ Lấy $D_2,\,E_2$ trên $BC,CA$ sao cho $BD_1\,=\,CD_2,AE_1\,=\,CE_2.$ Gọi $P$ là giao điểm $AD_1$ và $BE_2,$ $Q,\,R$ là giao điểm $AD_2$ và $(I),$($Q$ nằm giữa $A$ và $R$). Chứng minh rằng $AQ\,=\,D_2P.$
  14. [Bắc Giang] Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ và $H$ là trực tâm. Gọi $M$ là điểm chính giữa cung $BHC$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BHC.$ $BM$ cắt $AC$ tại $E,$ $Chứng minh rằng$ cắt $AB$ tại $F.$ $AD$ là phân giác trong góc $BAC.$ Gọi $T$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF.$
    a) Chứng minh rằng $TD\,\bot \,BC.$
    b) Chứng minh rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ bằng $OD.$
  15. [Vĩnh Long] Cho tam giác $ABC$ nhọn có $AB\,>\,AC.$ Hai phân giác $BE,CF$ cắt nhau tại $I,$ đường thẳng qua $I$ vuông góc $EF$ theo thứ tự cắt $BC,EF$ tại $P,\,Q.$ Gọi $L$ là giao điểm $EF,BC;$ $R$ là giao điểm $PQ,AL.$ $H,D$ là giao điểm của $AI$ với $EF$ và $BC.$ Biết $IP\,=\,2IQ.$
    a) Chứng minh rằng tam giác $LPR$ cân tại $L.$
    b) Tính số đo góc $BAC.$ 
  16. [Bắc Ninh] Cho tam giác $ABC$ không cân có trực tâm $H$ và tâm ngoại tiếp $O,$ $D,\,E$ là chân đường cao hạ từ $A,\,B.$ $OD$ cắt $BE$ tại $K,$ $OE$ cắt $AD$ tại $L.$ Gọi $M$ là trung điểm $AB.$ Chứng minh rằng $K,\,L,\,M$ thẳng hàng khi và chỉ khi $ C,D,O,H$ đồng viên.
  17. [Đà Nẵng] a) Cho tam giác $ABC$ có điểm $P$ thay đổi trên trung tuyến $AM.$ Gỉa sử $(APB)$ cắt $AC,\,BC$ tại $E,\,X.$ Còn $(APC)$ cắt $AB,\,BC$ tại $F,\,Y.$ $AM$ cắt lại $(AEF)$ tại $T,$ $EF$ cắt $BC$ tại $K.$ Chứng minh rằng $KT$ tiếp xúc $(AEF).$
    b) Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân nội tiếp $(O)$ có đường cao $AD,$ trực tâm $H,$ $M$ là trung điểm $BC.$ Hạ $AG$ vuông góc $HM$ và lấy $L$, $P$ lần lượt là trung điểm $HG,\,AG.$ Lấy $K$ đối xứng $G$ qua $OL,$ trên $LK$ lấy $S$ sao cho $SD\,=\,SM.$ Gọ $T$ là giao điểm $GK$ và $BC.$ Lấy $X$ thuộc $MK$ để $XT$ vuông góc $ST.$ Lấy $Y$ đối xứng $X$ qua $T.$ Chứng minh rằng $KG$, $YD$, $MP$ đồng quy.

Số Học

  1. [Thanh Hóa] Bắt đầu từ gốc tọa độ $O\left(0;\,0\right)$, người ta di chuyển một vật đến các điểm hữu tỷ. Sau mỗi lần di chuyển, vị trí mới cách vị trí trước đó đúng môt đơn vị. Chứng tỏ rằng, có thể di chuyển vật đến điểm $M\left( {\frac{1}{5};\,\frac{{16}}{3}} \right)$. Có thể di chuyển vật đến điểm $N\left( {\frac{1}{2019};\,\frac{{1}}{2020}} \right)$ được không? Tại sao?
  2. [Thanh Hóa] Tìm các số nguyên dương $n,\,k$ số nguyên tố Fermat $p$ sao cho\[p^n+n=(n+1)^k.\]
  3. [Bắc Giang] Tìm tất cả các số nguyên dương $m$ có tính chất: nếu $a$ và $b$ là các ước số nguyên dương của $m$ và $\gcd\left(a,\,b\right)=1$ thì $a+b-1$ cũng chia hết $m$.
  4. [Chuyên KHTN Hà Nội] Tìm các số nguyên dương $a$ và $n$ sao cho $a^{n^2+2n-1}-99$ là một số chính phương.
  5. [Chuyên KHTN Hà Nội] Cho dãy số $\left(a_n\right)_{n\in\mathbb N}$, cho bởi công thức truy hồi ${a_0} = 1,\:{a_1} = 6,\:{a_2} = 25$ và với số nguyên dương $n$ bất kỳ thì \[{a_{n + 3}} = 5{a_{n + 2}} - 5{a_{n + 1}} + {a_n}.\] Chứng minh rằng nếu $2^{2019}\mid n$ thì $2^{4019}\mid a_n$.
  6. [Ninh Bình] Cho dãy số $\left(a_n\right)_{n\in\mathbb N^*}$, cho bởi công thức truy hồi ${a_1} = 2,\:{a_2} = 20,\:{a_3} = 56$ và với số nguyên dương $n$ bất kỳ thì\[{a_{n + 3}} = 7{a_{n + 2}} - 11{a_{n + 1}} + 5{a_n} - {3.2^n}.\]Tìm số dư khi đem $a_{2019}$ chia $2019$.
  7. [Cần Thơ] Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ, chứng minh rằng\[p\mid \left( {\left\lfloor {{{\left( {45 + \sqrt {2019} } \right)}^p}} \right\rfloor - 89} \right).\]
  8. [Lâm Đồng] Tìm các số nguyên dương $m$ và $n$ lớn hơn $2$, sao cho tồn tại vô số số nguyên dương $a$ thỏa mãn\[\left( {{a^n} + {a^2} - 1} \right)\mid \left( {{a^m} + a - 1} \right).\]
  9. [Bình Dương] Tồn tại hay không số nguyên dương $n$ để $2020^n$ viết được thành tổng lập phương của $2019$ số nguyên dương chẵn liên tiếp.
  10. [Bình Dương] Cho đa thức $P(x)=x^p+ax^2+bx+c$, trong đó $a,\,b,\,c$ là các số nguyên còn $p$ là một số nguyên tố. Biết rằng, $P(x)$ có ba nghiệm $x_1,\,x_2,\,x_3$ thỏa mãn $$p\nmid \left(x_1-x_2\right)\left(x_2-x_3\right)\left(x_3-x_1\right).$$ Chứng minh rằng $abc+ca$ chia hết cho $p^3$.
  11. [Đồng Tháp] Tìm các số nguyên dương $a$ và $b$ sao cho $a^4+10a^2+2^b$ là một số chính phương.
  12. [Bến Tre] Với mỗi số nguyên dương $n$, ký hiệu $F_n=2^{2^n}+1$.  Chứng minh rằng $\gcd\left(F_m,\,F_k\right)=1$ nếu $k$ và $m$ là các số nguyên dương phân biệt. Tìm chữ số tận cùng khi viết trong hệ thập phân của \[M = \text{lcm}\left( F_1,\, F_2,\, \ldots ,\,F_{2019} \right).\]
  13. [Quảng Bình] Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ và $n=2^{2p}-1$. Chứng minh rằng, $n$ có ít nhất ba ước nguyên tố phân biệt và $$n\mid\left(2^n-8\right).$$
  14. [Khánh Hòa] Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, đều tồn tại duy nhất một cặp số nguyên dương $(a,\,b)$ sao cho \[n = a + \frac{{\left( {a + b - 1} \right)\left( {a + b - 2} \right)}}{2}.\]
  15. [Phú Thọ] Tìm các số tự nhiên $k,\,m,\,n$ sao cho \[k^3=5^m+7^n.\]

Tổ Hợp

  1. [Vĩnh Long] Cho $X$ là tập con của tập $X\,=\{1,2,3,...,10000\}$ sao cho nếu $a,\,b$ thuộc $X$ thì $ab$ không thuộc $X.$ Tìm số phần tử lớn nhất của tập $X.$ rỗng 
  2. [Yên Bái] Cho tập $X$ gồm $15$ số nguyên dương phân biệt. Với mỗi tập con $A$ của $X$ ta kí hiệu $|A|$ là số phần tử của $A$ và $S_A$ là tổng các phần tử của $A.$ Chứng minh rằng tồn tại hai tập con $A$, $B$ khác rỗng của $X$ thỏa ba điều kiện $|A|=|B|\leqslant 6$; $A$ giao $B$ là rỗng; $S_A-S_B$ chia hết cho $5000.$
  3. [Đắc Lắc] Cho $M$ là tập $n$ điểm trong mặt phẳng thỏa mãn hai điều kiện: Tồn tại $7$ điểm thuộc $M$là các đỉnh của một thất giác lồi; Với $5$ điểm bất kì thuộc $M$ là các đỉnh của một ngũ giác lồi, tồn tại một điểm thuộc $M$ nằm ở miền trong ngũ giác lồi đó.  Tìm giá trị nhỏ nhất của $n.$
  4. [Đà Nẵng] Có $2019$ máy tính mà trong đó một số máy được nối với nhau. Biết rằng $2$ máy bất kì thì có đúng một máy nối với cả hai máy đó. Máy được nối đến nhiều máy nhất sẽ là máy chủ. Hỏi số máy được nối với máy chủ ít nhất là bao nhiêu?
  5. [Long An] Cho $a_1,\,a_2,\,...,a_{2019}$ là $2019$ số thực bất kì. Có tồn tại số thực $x$ sao cho $a_1+x,a_2+x,...,a_{2019}+x$ đều là số vô tỉ hay không? Vì sao?

$hide=mobile$type=ticker$c=36$cols=2$l=0$sr=random$b=0

Name

Abel,5,Albania,2,AMM,2,Amsterdam,4,An Giang,45,Andrew Wiles,1,Anh,2,APMO,21,Austria (Áo),1,Ba Lan,1,Bà Rịa Vũng Tàu,77,Bắc Bộ,2,Bắc Giang,61,Bắc Kạn,4,Bạc Liêu,17,Bắc Ninh,58,Bắc Trung Bộ,3,Bài Toán Hay,5,Balkan,41,Baltic Way,32,BAMO,1,Bất Đẳng Thức,69,Bến Tre,72,Benelux,16,Bình Định,65,Bình Dương,38,Bình Phước,52,Bình Thuận,42,Birch,1,BMO,41,Booklet,12,Bosnia Herzegovina,3,BoxMath,3,Brazil,2,British,16,Bùi Đắc Hiên,1,Bùi Thị Thiện Mỹ,1,Bùi Văn Tuyên,1,Bùi Xuân Diệu,1,Bulgaria,6,Buôn Ma Thuột,2,BxMO,15,Cà Mau,22,Cần Thơ,27,Canada,40,Cao Bằng,12,Cao Quang Minh,1,Câu Chuyện Toán Học,43,Caucasus,3,CGMO,11,China - Trung Quốc,25,Chọn Đội Tuyển,515,Chu Tuấn Anh,1,Chuyên Đề,125,Chuyên SPHCM,7,Chuyên SPHN,30,Chuyên Trần Hưng Đạo,3,Collection,8,College Mathematic,1,Concours,1,Cono Sur,1,Contest,675,Correspondence,1,Cosmin Poahata,1,Crux,2,Czech-Polish-Slovak,28,Đà Nẵng,50,Đa Thức,2,Đại Số,20,Đắk Lắk,76,Đắk Nông,15,Danube,7,Đào Thái Hiệp,1,ĐBSCL,2,Đề Thi,1,Đề Thi HSG,2246,Đề Thi JMO,1,DHBB,30,Điện Biên,15,Định Lý,1,Định Lý Beaty,1,Đỗ Hữu Đức Thịnh,1,Do Thái,3,Doãn Quang Tiến,5,Đoàn Quỳnh,1,Đoàn Văn Trung,1,Đồng Nai,64,Đồng Tháp,63,Du Hiền Vinh,1,Đức,1,Dương Quỳnh Châu,1,Dương Tú,1,Duyên Hải Bắc Bộ,30,E-Book,31,EGMO,30,ELMO,19,EMC,11,Epsilon,1,Estonian,5,Euler,1,Evan Chen,1,Fermat,3,Finland,4,Forum Of Geometry,2,Furstenberg,1,G. Polya,3,Gặp Gỡ Toán Học,30,Gauss,1,GDTX,3,Geometry,14,GGTH,30,Gia Lai,40,Gia Viễn,2,Giải Tích Hàm,1,Giới hạn,2,Goldbach,1,Hà Giang,5,Hà Lan,1,Hà Nam,45,Hà Nội,255,Hà Tĩnh,91,Hà Trung Kiên,1,Hải Dương,70,Hải Phòng,57,Hậu Giang,13,Hélènne Esnault,1,Hilbert,2,Hình Học,33,HKUST,7,Hòa Bình,33,Hoài Nhơn,1,Hoàng Bá Minh,1,Hoàng Minh Quân,1,Hodge,1,Hojoo Lee,2,HOMC,5,HongKong,8,HSG 10,130,HSG 10 2010-2011,4,HSG 10 2011-2012,7,HSG 10 2012-2013,8,HSG 10 2013-2014,7,HSG 10 2014-2015,6,HSG 10 2015-2016,2,HSG 10 2016-2017,8,HSG 10 2017-2018,5,HSG 10 2018-2019,4,HSG 10 2019-2020,8,HSG 10 2020-2021,3,HSG 10 2021-2022,4,HSG 10 2022-2023,11,HSG 10 2023-2024,1,HSG 10 Bà Rịa Vũng Tàu,2,HSG 10 Bắc Giang,1,HSG 10 Bạc Liêu,2,HSG 10 Bắc Ninh,3,HSG 10 Bình Định,1,HSG 10 Bình Dương,1,HSG 10 Bình Thuận,4,HSG 10 Chuyên SPHN,5,HSG 10 Đắk Lắk,2,HSG 10 Đồng Nai,4,HSG 10 Gia Lai,2,HSG 10 Hà Nam,4,HSG 10 Hà Tĩnh,15,HSG 10 Hải Dương,10,HSG 10 KHTN,9,HSG 10 Kon Tum,1,HSG 10 Nghệ An,1,HSG 10 Ninh Thuận,1,HSG 10 Phú Yên,2,HSG 10 PTNK,10,HSG 10 Quảng Nam,1,HSG 10 Quảng Trị,2,HSG 10 Thái Nguyên,9,HSG 10 Vĩnh Phúc,14,HSG 1015-2016,3,HSG 11,135,HSG 11 2009-2010,1,HSG 11 2010-2011,6,HSG 11 2011-2012,10,HSG 11 2012-2013,9,HSG 11 2013-2014,7,HSG 11 2014-2015,10,HSG 11 2015-2016,6,HSG 11 2016-2017,8,HSG 11 2017-2018,7,HSG 11 2018-2019,9,HSG 11 2019-2020,5,HSG 11 2020-2021,8,HSG 11 2021-2022,4,HSG 11 2022-2023,7,HSG 11 An Giang,2,HSG 11 Bà Rịa Vũng Tàu,1,HSG 11 Bắc Giang,4,HSG 11 Bạc Liêu,2,HSG 11 Bắc Ninh,3,HSG 11 Bình Định,12,HSG 11 Bình Dương,3,HSG 11 Bình Thuận,1,HSG 11 Cà Mau,1,HSG 11 Đà Nẵng,9,HSG 11 Đồng Nai,1,HSG 11 Hà Nam,2,HSG 11 Hà Tĩnh,12,HSG 11 Hải Phòng,1,HSG 11 Kiên Giang,4,HSG 11 Lạng Sơn,11,HSG 11 Nghệ An,6,HSG 11 Ninh Bình,2,HSG 11 Quảng Bình,12,HSG 11 Quảng Nam,1,HSG 11 Quảng Ngãi,9,HSG 11 Quảng Trị,3,HSG 11 Sóc Trăng,1,HSG 11 Thái Nguyên,8,HSG 11 Thanh Hóa,3,HSG 11 Trà Vinh,1,HSG 11 Tuyên Quang,1,HSG 11 Vĩnh Long,3,HSG 11 Vĩnh Phúc,11,HSG 12,664,HSG 12 2009-2010,2,HSG 12 2010-2011,39,HSG 12 2011-2012,44,HSG 12 2012-2013,58,HSG 12 2013-2014,53,HSG 12 2014-2015,44,HSG 12 2015-2016,37,HSG 12 2016-2017,46,HSG 12 2017-2018,55,HSG 12 2018-2019,43,HSG 12 2019-2020,43,HSG 12 2020-2021,52,HSG 12 2021-2022,35,HSG 12 2022-2023,41,HSG 12 2023-2024,21,HSG 12 An Giang,8,HSG 12 Bà Rịa Vũng Tàu,13,HSG 12 Bắc Giang,17,HSG 12 Bạc Liêu,3,HSG 12 Bắc Ninh,13,HSG 12 Bến Tre,19,HSG 12 Bình Định,17,HSG 12 Bình Dương,8,HSG 12 Bình Phước,9,HSG 12 Bình Thuận,8,HSG 12 Cà Mau,7,HSG 12 Cần Thơ,7,HSG 12 Cao Bằng,5,HSG 12 Chuyên SPHN,11,HSG 12 Đà Nẵng,3,HSG 12 Đắk Lắk,21,HSG 12 Đắk Nông,1,HSG 12 Điện Biên,3,HSG 12 Đồng Nai,20,HSG 12 Đồng Tháp,18,HSG 12 Gia Lai,14,HSG 12 Hà Nam,5,HSG 12 Hà Nội,17,HSG 12 Hà Tĩnh,16,HSG 12 Hải Dương,16,HSG 12 Hải Phòng,20,HSG 12 Hậu Giang,4,HSG 12 Hòa Bình,10,HSG 12 Hưng Yên,10,HSG 12 Khánh Hòa,4,HSG 12 KHTN,26,HSG 12 Kiên Giang,12,HSG 12 Kon Tum,2,HSG 12 Lai Châu,4,HSG 12 Lâm Đồng,11,HSG 12 Lạng Sơn,8,HSG 12 Lào Cai,17,HSG 12 Long An,18,HSG 12 Nam Định,7,HSG 12 Nghệ An,13,HSG 12 Ninh Bình,12,HSG 12 Ninh Thuận,7,HSG 12 Phú Thọ,18,HSG 12 Phú Yên,13,HSG 12 Quảng Bình,14,HSG 12 Quảng Nam,10,HSG 12 Quảng Ngãi,6,HSG 12 Quảng Ninh,20,HSG 12 Quảng Trị,10,HSG 12 Sóc Trăng,4,HSG 12 Sơn La,5,HSG 12 Tây Ninh,6,HSG 12 Thái Bình,11,HSG 12 Thái Nguyên,13,HSG 12 Thanh Hóa,17,HSG 12 Thừa Thiên Huế,19,HSG 12 Tiền Giang,3,HSG 12 TPHCM,13,HSG 12 Tuyên Quang,2,HSG 12 Vĩnh Long,7,HSG 12 Vĩnh Phúc,20,HSG 12 Yên Bái,6,HSG 9,571,HSG 9 2009-2010,1,HSG 9 2010-2011,21,HSG 9 2011-2012,42,HSG 9 2012-2013,42,HSG 9 2013-2014,35,HSG 9 2014-2015,41,HSG 9 2015-2016,38,HSG 9 2016-2017,42,HSG 9 2017-2018,45,HSG 9 2018-2019,41,HSG 9 2019-2020,18,HSG 9 2020-2021,50,HSG 9 2021-2022,53,HSG 9 2022-2023,55,HSG 9 2023-2024,10,HSG 9 2023Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 9 Tỉnh Thái Bình 2022-2023-2024,1,HSG 9 An Giang,9,HSG 9 Bà Rịa Vũng Tàu,8,HSG 9 Bắc Giang,14,HSG 9 Bắc Kạn,1,HSG 9 Bạc Liêu,1,HSG 9 Bắc Ninh,13,HSG 9 Bến Tre,9,HSG 9 Bình Định,11,HSG 9 Bình Dương,7,HSG 9 Bình Phước,13,HSG 9 Bình Thuận,5,HSG 9 Cà Mau,2,HSG 9 Cần Thơ,4,HSG 9 Cao Bằng,2,HSG 9 Đà Nẵng,11,HSG 9 Đắk Lắk,12,HSG 9 Đắk Nông,3,HSG 9 Điện Biên,5,HSG 9 Đồng Nai,8,HSG 9 Đồng Tháp,10,HSG 9 Gia Lai,9,HSG 9 Hà Giang,4,HSG 9 Hà Nam,10,HSG 9 Hà Nội,15,HSG 9 Hà Tĩnh,13,HSG 9 Hải Dương,16,HSG 9 Hải Phòng,8,HSG 9 Hậu Giang,5,HSG 9 Hòa Bình,4,HSG 9 Hưng Yên,11,HSG 9 Khánh Hòa,6,HSG 9 Kiên Giang,16,HSG 9 Kon Tum,9,HSG 9 Lai Châu,2,HSG 9 Lâm Đồng,14,HSG 9 Lạng Sơn,10,HSG 9 Lào Cai,4,HSG 9 Long An,10,HSG 9 Nam Định,9,HSG 9 Nghệ An,21,HSG 9 Ninh Bình,14,HSG 9 Ninh Thuận,4,HSG 9 Phú Thọ,13,HSG 9 Phú Yên,9,HSG 9 Quảng Bình,14,HSG 9 Quảng Nam,12,HSG 9 Quảng Ngãi,13,HSG 9 Quảng Ninh,16,HSG 9 Quảng Trị,10,HSG 9 Sóc Trăng,9,HSG 9 Sơn La,5,HSG 9 Tây Ninh,16,HSG 9 Thái Bình,11,HSG 9 Thái Nguyên,5,HSG 9 Thanh Hóa,12,HSG 9 Thừa Thiên Huế,8,HSG 9 Tiền Giang,7,HSG 9 TPHCM,11,HSG 9 Trà Vinh,2,HSG 9 Tuyên Quang,6,HSG 9 Vĩnh Long,12,HSG 9 Vĩnh Phúc,12,HSG 9 Yên Bái,5,HSG Cấp Trường,81,HSG Quốc Gia,112,HSG Quốc Tế,16,Hứa Lâm Phong,1,Hứa Thuần Phỏng,1,Hùng Vương,2,Hưng Yên,43,Huỳnh Kim Linh,1,Hy Lạp,1,IMC,26,IMO,58,IMT,2,IMU,2,India - Ấn Độ,47,Inequality,13,InMC,1,International,349,Iran,13,Jakob,1,JBMO,41,Jewish,1,Journal,30,Junior,38,K2pi,1,Kazakhstan,1,Khánh Hòa,30,KHTN,64,Kiên Giang,74,Kon Tum,24,Korea - Hàn Quốc,5,Kvant,2,Kỷ Yếu,46,Lai Châu,12,Lâm Đồng,47,Lăng Hồng Nguyệt Anh,1,Lạng Sơn,37,Langlands,1,Lào Cai,35,Lê Hải Châu,1,Lê Hải Khôi,1,Lê Hoành Phò,4,Lê Hồng Phong,5,Lê Khánh Sỹ,3,Lê Minh Cường,1,Lê Phúc Lữ,1,Lê Phương,1,Lê Viết Hải,1,Lê Việt Hưng,2,Leibniz,1,Long An,52,Lớp 10 Chuyên,709,Lớp 10 Không Chuyên,355,Lớp 11,1,Lục Ngạn,1,Lượng giác,1,Lương Tài,1,Lưu Giang Nam,2,Lưu Lý Tưởng,1,Macedonian,1,Malaysia,1,Margulis,2,Mark Levi,1,Mathematical Excalibur,1,Mathematical Reflections,1,Mathematics Magazine,1,Mathematics Today,1,Mathley,1,MathLinks,1,MathProblems Journal,1,Mathscope,8,MathsVN,5,MathVN,1,MEMO,13,Menelaus,1,Metropolises,4,Mexico,1,MIC,1,Michael Atiyah,1,Michael Guillen,1,Mochizuki,1,Moldova,1,Moscow,1,MYM,25,MYTS,4,Nam Định,45,Nam Phi,1,National,276,Nesbitt,1,Newton,4,Nghệ An,73,Ngô Bảo Châu,2,Ngô Việt Hải,1,Ngọc Huyền,2,Nguyễn Anh Tuyến,1,Nguyễn Bá Đang,1,Nguyễn Đình Thi,1,Nguyễn Đức Tấn,1,Nguyễn Đức Thắng,1,Nguyễn Duy Khương,1,Nguyễn Duy Tùng,1,Nguyễn Hữu Điển,3,Nguyễn Minh Hà,1,Nguyễn Minh Tuấn,9,Nguyễn Nhất Huy,1,Nguyễn Phan Tài Vương,1,Nguyễn Phú Khánh,1,Nguyễn Phúc Tăng,2,Nguyễn Quản Bá Hồng,1,Nguyễn Quang Sơn,1,Nguyễn Song Thiên Long,1,Nguyễn Tài Chung,5,Nguyễn Tăng Vũ,1,Nguyễn Tất Thu,1,Nguyễn Thúc Vũ Hoàng,1,Nguyễn Trung Tuấn,8,Nguyễn Tuấn Anh,2,Nguyễn Văn Huyện,3,Nguyễn Văn Mậu,25,Nguyễn Văn Nho,1,Nguyễn Văn Quý,2,Nguyễn Văn Thông,1,Nguyễn Việt Anh,1,Nguyễn Vũ Lương,2,Nhật Bản,4,Nhóm $\LaTeX$,4,Nhóm Toán,1,Ninh Bình,61,Ninh Thuận,26,Nội Suy Lagrange,2,Nội Suy Newton,1,Nordic,21,Olympiad Corner,1,Olympiad Preliminary,2,Olympic 10,134,Olympic 10/3,6,Olympic 10/3 Đắk Lắk,6,Olympic 11,121,Olympic 12,52,Olympic 23/3,2,Olympic 24/3,10,Olympic 24/3 Quảng Nam,10,Olympic 27/4,24,Olympic 30/4,60,Olympic KHTN,8,Olympic Sinh Viên,78,Olympic Tháng 4,12,Olympic Toán,343,Olympic Toán Sơ Cấp,3,Ôn Thi 10,2,PAMO,1,Phạm Đình Đồng,1,Phạm Đức Tài,1,Phạm Huy Hoàng,1,Pham Kim Hung,3,Phạm Quốc Sang,2,Phan Huy Khải,1,Phan Quang Đạt,1,Phan Thành Nam,1,Pháp,2,Philippines,8,Phú Thọ,32,Phú Yên,42,Phùng Hồ Hải,1,Phương Trình Hàm,11,Phương Trình Pythagoras,1,Pi,1,Polish,32,Problems,1,PT-HPT,14,PTNK,64,Putnam,27,Quảng Bình,64,Quảng Nam,56,Quảng Ngãi,49,Quảng Ninh,59,Quảng Trị,42,Quỹ Tích,1,Riemann,1,RMM,14,RMO,24,Romania,38,Romanian Mathematical,1,Russia,1,Sách Thường Thức Toán,7,Sách Toán,70,Sách Toán Cao Học,1,Sách Toán THCS,7,Saudi Arabia - Ả Rập Xê Út,9,Scholze,1,Serbia,17,Sharygin,28,Shortlists,56,Simon Singh,1,Singapore,1,Số Học - Tổ Hợp,28,Sóc Trăng,36,Sơn La,22,Spain,8,Star Education,1,Stars of Mathematics,11,Swinnerton-Dyer,1,Talent Search,1,Tăng Hải Tuân,2,Tạp Chí,17,Tập San,3,Tây Ban Nha,1,Tây Ninh,37,Thái Bình,45,Thái Nguyên,61,Thái Vân,2,Thanh Hóa,69,THCS,2,Thổ Nhĩ Kỳ,5,Thomas J. Mildorf,1,Thông Tin Toán Học,43,THPT Chuyên Lê Quý Đôn,1,THPT Chuyên Nguyễn Du,9,THPTQG,16,THTT,31,Thừa Thiên Huế,55,Tiền Giang,30,Tin Tức Toán Học,1,Titu Andreescu,2,Toán 12,7,Toán Cao Cấp,3,Toán Rời Rạc,5,Toán Tuổi Thơ,3,Tôn Ngọc Minh Quân,2,TOT,1,TPHCM,158,Trà Vinh,10,Trắc Nghiệm,1,Trắc Nghiệm Toán,2,Trại Hè,39,Trại Hè Hùng Vương,30,Trại Hè Phương Nam,7,Trần Đăng Phúc,1,Trần Minh Hiền,2,Trần Nam Dũng,12,Trần Phương,1,Trần Quang Hùng,1,Trần Quốc Anh,2,Trần Quốc Luật,1,Trần Quốc Nghĩa,1,Trần Tiến Tự,1,Trịnh Đào Chiến,2,Trường Đông,23,Trường Hè,10,Trường Thu,1,Trường Xuân,3,TST,544,TST 2008-2009,1,TST 2010-2011,22,TST 2011-2012,23,TST 2012-2013,32,TST 2013-2014,29,TST 2014-2015,27,TST 2015-2016,26,TST 2016-2017,41,TST 2017-2018,42,TST 2018-2019,30,TST 2019-2020,34,TST 2020-2021,30,TST 2021-2022,38,TST 2022-2023,42,TST 2023-2024,23,TST An Giang,8,TST Bà Rịa Vũng Tàu,11,TST Bắc Giang,5,TST Bắc Ninh,11,TST Bến Tre,10,TST Bình Định,5,TST Bình Dương,7,TST Bình Phước,9,TST Bình Thuận,9,TST Cà Mau,7,TST Cần Thơ,6,TST Cao Bằng,2,TST Đà Nẵng,8,TST Đắk Lắk,12,TST Đắk Nông,2,TST Điện Biên,2,TST Đồng Nai,13,TST Đồng Tháp,12,TST Gia Lai,4,TST Hà Nam,8,TST Hà Nội,12,TST Hà Tĩnh,15,TST Hải Dương,11,TST Hải Phòng,13,TST Hậu Giang,1,TST Hòa Bình,4,TST Hưng Yên,10,TST Khánh Hòa,8,TST Kiên Giang,11,TST Kon Tum,6,TST Lâm Đồng,12,TST Lạng Sơn,3,TST Lào Cai,4,TST Long An,6,TST Nam Định,8,TST Nghệ An,7,TST Ninh Bình,11,TST Ninh Thuận,4,TST Phú Thọ,13,TST Phú Yên,5,TST PTNK,15,TST Quảng Bình,12,TST Quảng Nam,7,TST Quảng Ngãi,8,TST Quảng Ninh,9,TST Quảng Trị,10,TST Sóc Trăng,5,TST Sơn La,7,TST Thái Bình,6,TST Thái Nguyên,8,TST Thanh Hóa,9,TST Thừa Thiên Huế,4,TST Tiền Giang,6,TST TPHCM,14,TST Trà Vinh,1,TST Tuyên Quang,1,TST Vĩnh Long,7,TST Vĩnh Phúc,7,TST Yên Bái,8,Tuyên Quang,13,Tuyển Sinh,4,Tuyển Sinh 10,1064,Tuyển Sinh 10 An Giang,18,Tuyển Sinh 10 Bà Rịa Vũng Tàu,22,Tuyển Sinh 10 Bắc Giang,19,Tuyển Sinh 10 Bắc Kạn,3,Tuyển Sinh 10 Bạc Liêu,9,Tuyển Sinh 10 Bắc Ninh,15,Tuyển Sinh 10 Bến Tre,34,Tuyển Sinh 10 Bình Định,19,Tuyển Sinh 10 Bình Dương,12,Tuyển Sinh 10 Bình Phước,21,Tuyển Sinh 10 Bình Thuận,15,Tuyển Sinh 10 Cà Mau,5,Tuyển Sinh 10 Cần Thơ,10,Tuyển Sinh 10 Cao Bằng,2,Tuyển Sinh 10 Chuyên SPHN,19,Tuyển Sinh 10 Đà Nẵng,18,Tuyển Sinh 10 Đại Học Vinh,13,Tuyển Sinh 10 Đắk Lắk,21,Tuyển Sinh 10 Đắk Nông,7,Tuyển Sinh 10 Điện Biên,5,Tuyển Sinh 10 Đồng Nai,18,Tuyển Sinh 10 Đồng Tháp,23,Tuyển Sinh 10 Gia Lai,10,Tuyển Sinh 10 Hà Giang,1,Tuyển Sinh 10 Hà Nam,16,Tuyển Sinh 10 Hà Nội,80,Tuyển Sinh 10 Hà Tĩnh,19,Tuyển Sinh 10 Hải Dương,17,Tuyển Sinh 10 Hải Phòng,15,Tuyển Sinh 10 Hậu Giang,3,Tuyển Sinh 10 Hòa Bình,15,Tuyển Sinh 10 Hưng Yên,12,Tuyển Sinh 10 Khánh Hòa,12,Tuyển Sinh 10 KHTN,21,Tuyển Sinh 10 Kiên Giang,31,Tuyển Sinh 10 Kon Tum,6,Tuyển Sinh 10 Lai Châu,6,Tuyển Sinh 10 Lâm Đồng,10,Tuyển Sinh 10 Lạng Sơn,6,Tuyển Sinh 10 Lào Cai,10,Tuyển Sinh 10 Long An,18,Tuyển Sinh 10 Nam Định,21,Tuyển Sinh 10 Nghệ An,23,Tuyển Sinh 10 Ninh Bình,20,Tuyển Sinh 10 Ninh Thuận,10,Tuyển Sinh 10 Phú Thọ,18,Tuyển Sinh 10 Phú Yên,12,Tuyển Sinh 10 PTNK,37,Tuyển Sinh 10 Quảng Bình,12,Tuyển Sinh 10 Quảng Nam,15,Tuyển Sinh 10 Quảng Ngãi,13,Tuyển Sinh 10 Quảng Ninh,12,Tuyển Sinh 10 Quảng Trị,7,Tuyển Sinh 10 Sóc Trăng,17,Tuyển Sinh 10 Sơn La,5,Tuyển Sinh 10 Tây Ninh,15,Tuyển Sinh 10 Thái Bình,17,Tuyển Sinh 10 Thái Nguyên,18,Tuyển Sinh 10 Thanh Hóa,27,Tuyển Sinh 10 Thừa Thiên Huế,24,Tuyển Sinh 10 Tiền Giang,14,Tuyển Sinh 10 TPHCM,23,Tuyển Sinh 10 Trà Vinh,6,Tuyển Sinh 10 Tuyên Quang,3,Tuyển Sinh 10 Vĩnh Long,12,Tuyển Sinh 10 Vĩnh Phúc,22,Tuyển Sinh 2008-2009,1,Tuyển Sinh 2009-2010,1,Tuyển Sinh 2010-2011,6,Tuyển Sinh 2011-2012,20,Tuyển Sinh 2012-2013,65,Tuyển Sinh 2013-2014,77,Tuyển Sinh 2013-2044,1,Tuyển Sinh 2014-2015,81,Tuyển Sinh 2015-2016,64,Tuyển Sinh 2016-2017,72,Tuyển Sinh 2017-2018,126,Tuyển Sinh 2018-2019,61,Tuyển Sinh 2019-2020,90,Tuyển Sinh 2020-2021,59,Tuyển Sinh 2021-202,1,Tuyển Sinh 2021-2022,69,Tuyển Sinh 2022-2023,113,Tuyển Sinh 2023-2024,49,Tuyển Sinh Chuyên SPHCM,7,Tuyển Sinh Yên Bái,6,Tuyển Tập,45,Tuymaada,6,UK - Anh,16,Undergraduate,69,USA - Mỹ,62,USA TSTST,6,USAJMO,12,USATST,8,USEMO,4,Uzbekistan,1,Vasile Cîrtoaje,4,Vật Lý,1,Viện Toán Học,6,Vietnam,4,Viktor Prasolov,1,VIMF,1,Vinh,32,Vĩnh Long,41,Vĩnh Phúc,86,Virginia Tech,1,VLTT,1,VMEO,4,VMF,12,VMO,58,VNTST,24,Võ Anh Khoa,1,Võ Quốc Bá Cẩn,26,Võ Thành Văn,1,Vojtěch Jarník,6,Vũ Hữu Bình,7,Vương Trung Dũng,1,WFNMC Journal,1,Wiles,1,Xác Suất,1,Yên Bái,25,Yên Thành,1,Zhautykov,14,Zhou Yuan Zhe,1,
ltr
item
MOlympiad.NET: Tổng Hợp Đề Thi Học Sinh Giỏi Các Trường Và Các Tỉnh Thành 2019-2020
Tổng Hợp Đề Thi Học Sinh Giỏi Các Trường Và Các Tỉnh Thành 2019-2020
MOlympiad.NET
https://www.molympiad.net/2019/09/tong-hop-de-thi-hoc-sinh-gioi-cac-truong-va-cac-tinh-thanh-2019-2020.html
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/2019/09/tong-hop-de-thi-hoc-sinh-gioi-cac-truong-va-cac-tinh-thanh-2019-2020.html
true
2506595080985176441
UTF-8
Loaded All Posts Not found any posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU Tag ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow THIS PREMIUM CONTENT IS LOCKED
NỘI DUNG CAO CẤP NÀY ĐÃ BỊ KHÓA
STEP 1: SHARE THIS ARTICLE TO A SOCIAL NETWORK
BƯỚC 1: CHIA SẺ BÀI VIẾT NÀY LÊN MẠNG XÃ HỘI
STEP 2: CLICK THE LINK ON YOUR SOCIAL NETWORK
BƯỚC 2: BẤM VÀO ĐƯỜNG DẪN TRÊN MẠNG XÃ HỘI CỦA BẠN
Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy Table of Content