Tổng Hợp Đề Thi Học Sinh Giỏi Các Trường Và Các Tỉnh Thành 2019-2020

Đại Số

1. [Thanh Hóa] Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$ và $Q(x)$ thỏa mãn$$ P(x+Q(y))=Q(x+P(y)),\,\forall x,\,y\in\mathbb R.$$
2. [Bắc Giang] Tìm các hàm số liên tục $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn$$ f(x+y) f(x-y)=f^{2}(x)f^{2}(y), \;\forall x, \,y \in \mathbb{R}. $$
3. [Bắc Giang] Cho đa thức $P(x)=1+4 x+4 x^{2}+\dots+4 x^{2 n-1}+4 x^{2n}$ với $n$ là một số nguyên dương lẻ. Chứng minh rằng $P(x)$ không thể là bình phương của một đa thức khác. 
4. [Chuyên KHTN Hà Nội] Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng$$ \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{6 a}{2 a+b+c}+\frac{6 b}{2 b+c+a}+\frac{6 c}{2 c+a+b} \geq 6. $$
5. [Chuyên KHTN Hà Nội] Tìm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho với các số thực $x$, $y$ bất kỳ ta luôn có $$ f(x) f(y)+x^{2}=x\left[f(2 x)+f(f(y-x))\right]. $$
6. [Ninh Bình] Tìm các hàm số liên tục $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn $$ f(x y)=f\left(\frac{x^{2}+y^{2}}{2}\right)+(x-y)^{2}, \;\forall \,x,\, y \in \mathbb{R}. $$
7. [Ninh Bình] Cho ba số thực $a,\,b,\,c$ đôi một phân biệt. Tìm giá trị nhỏ nhất của $$ P=\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+a b+b c+c a\right)\left(\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}\right). $$
8. [Ninh Bình] Tìm các số nguyên $x,\,y,\,z$ thỏa mãn$$ \left\{\begin{array}{l}{x^{3}-4 x^{2}-16 x+60=y}, \\ {y^{3}-4 y^{2}-16 y+60=z}, \\ {z^{3}-4 z^{2}-16 z+60=x.}\end{array}\right. $$
9. [Cần Thơ] Cho tam thức bậc hai hệ số thực $P(x)=ax^2+bx+c$, với $a<b$ và $P(x)\ge 0$ với mọi số thực $x$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức$$ T=\frac{a+b+c}{b-a}.$$
10. [Cần Thơ] Tìm hàm số $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho với bất kỳ $x,\,y\in\mathbb R$ ta có $f(x)\ge 2019x$ và\[f(x+y)\ge f(x)+f(y).\]
11. [Lâm Đồng] Tìm đa thức hệ số thực $P(x)$ sao cho với số thực $x$ bất kỳ, ta có$$ P\left(x^{2}+x+3\right) P(3 x+1)-P\left(6 x^{3}+7 x^{2}+16 x+3\right). $$
12. [Lâm Đồng] Tìm các hàm $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho với các số thực $x,\,y$ bất kỳ, ta có$$ f(f(x) f(y))+f(x+y)=f(x y). $$
13. [Bình Dương] Tìm các hàm $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho với các số thực $x,\,y$ bất kỳ ta đều có$$ f\left(x^{2}-y^{2}\right)=(x-y)(f(x)+f(y)). $$
14. [Bình Dương] Tìm các nghiệm thực của phương trình$$ \left(\sqrt{x+3}-\sqrt{x+1}\right) \left(x^{2}+\sqrt{x^{2}+4x+3}\right)=2x.$$
15. [Bình Dương] Cho $x,\,y,\,z$ thỏa mãn $xy+yz+zx=1$, tìm giá trị nhỏ nhất của$$ T=\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{1}{z^{ 2}+1}. $$
16. [Đồng Tháp] Cho $a,b,c$ là các số thực dương có tổng bằng $3$. Chứng minh rằng $$ (a b+b c+c a)^{2}+9 \geq 18 a b c. $$
17. [Bến Tre] Tìm các nghiệm thực $x$ trên đoạn $[-2;\,2]$ của phương trình$$ x^{3}+x^{2}-3 x-2=2 \sqrt{x+2}. $$
18. [Bến Tre] Tìm các nghiệm thực $x$ của phương trình$$ \sqrt{x^{3}+2 x}+\sqrt{3 x-1}=\sqrt{x^{3}+4 x^{2}+4 x+1} $$
19. [Bến Tre] Tìm các nghiệm thực của hệ phương trình $$\begin{cases}x^{2}-2 y^{2}&=1, \\ 2 y^{2}-3 z^{2}&=1 \\ xy+yz+zx &=1\end{cases}. $$
20. [Bến Tre] Tìm các hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho với các số thực $x,\,y$ bất kỳ ta đều có$$ f(f(x)+y)=f\left(x^{2}-y\right)+4 f(x) y. $$
21. [Bến Tre] Tìm hàm $f:\,\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho với các số thực $x,\,y$ bất kỳ ta đều có $$ f(f(x)+2 f(y))=f(x)+y+f(y). $$
22. [Quảng Bình] Tìm các số nguyên dương $m$ và $n$ sao cho với mỗi đa thức $P(x)$ bậc $m$ có hệ số thực luôn tồn tại một đa thức $Q(x)$ bậc $n$ có hệ số thực thỏa mãn\[Q(x)\mid Q(P(x)).\]
23. [TPHCM] Cho các số thực dương $a,b,c,d$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+d^2=1$. Chứng minh rằng $$4(1-a)(1-b) \geq(c+d)^{2}.$$
24. [TPHCM] Tìm các hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ liên tục tại $0$ sao cho với mỗi số thực $x$ ta đều có $$f(2018 x)+f(2019 x)=2020 x.$$
25. [TPHCM] Cho $P(x)$ là đa thức đơn khởi, hệ số thực có bậc là $2019$. Biết rằng $P(x)$ có $2019$ nghiệm thực không nguyên, đôi một phân biệt. Giả sử mỗi đa thức $P\left(2x^2-4x\right)$ và $P\left(4x-2x^2\right)$ đều có đúng $2692$ nghiệm thực phân biệt.
    a) Có bao nhiêu nghiệm của $P(x)$ trong $(-2;\,2)$?.
    b) Chứng minh rằng tồn tại ba đa thức đồng bậc $A(x)$, $B(x)$, $C(x)$ sao cho $A(x)C(x)\ne B(x)$ với mọi $x\in (0;\,1)$ và \[P(x)=A(x)B(x)C(x).\]

Giải Tích

1. [TPHCM] Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $$u_1=\frac{-1}{3},\quad u_{n+1}=\frac{u_n\,+\,1}{\sqrt{{u_n}^2 \,+\,1}}-1,\, \forall n\in\mathbb N^*.$$ Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó. 
2. [Thanh Hóa] Cho dãy $(x_n)$ xác định bởi $$x_1=\alpha \in\mathbb{R}),\quad x_{n+1}=\left(1\,+\,\frac{1}{n +1}\,-\,\frac{2}{(n+1)^2}\right)x_n+\frac{8}{(n+1)^2},\, \forall n\in\mathbb N^*.$$ Tìm số hạng tổng quát của dãy $(x_n)$. Từ đó tìm $\alpha$ để dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn. 
3. [Thanh Hóa] Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\,\to\,\mathbb{R},$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa $$f(xy)\,+\,f(x+y)\,=\,f(xy+x)\,+\,f(y).$$
4. [Sóc Trăng] Cho dãy số $(u_n)$ thỏa $$u_1 = 2020,\quad 2020{u_{n + 1}} = 2019{u_n} + u_n^2,\,\forall n \in \mathbb N^*.$$ Tính $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 0}^n {\dfrac{{{u_k}}}{{{u_{k + 1}}\, - \,1}}.} $ 
5. [Sóc Trăng] Cho dãy số $(a_n)$ xác định như sau $${a_1}\, = \,5,\,{a_2}\, = \,13,\quad  {a_{n + 2}}\, = \,5{a_{n + 1}}\, - \,6{a_n},\,\forall \,n\, \in \mathbb N^*.$$ Chứng minh rằng với $k$ nguyên dương bất kì, nếu $p$ là một ước nguyên tố của $a_{2k}\,+\,2.6^k$ thì $p$ cũng là ước của $a_{2k+1}\,+\,5.6^k.$
6. [Lào Cai] Cho $(a_n)$, $(b_n)$ thỏa $$a_0\,=\,1,\,a_1\,=\,\frac{1}{2},\,b_n\,=\,\frac{ 1}{3}\,+\,2a_{n+1},\,2b_{n+1}\,=\,2b_n\,-\,a_n.$$ Với mỗi $n\,\in \mathbb{N},$ đặt ${c_n}\, = \,\dfrac{1}{{{2^{n + 1}}}}\sum\limits_{i = 0}^n {\frac{{{b_i}}}{{{a_i}}}.} $ Tính $\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_n.$ 
7. [Cần Thơ] Cho hàm số $f$ liên tục trên $[0;2020]$ thỏa $f(2020)\,=\,f(0)\,+\,2020,$ $f(1010)\,\ne f(0)\,+\,1010.$ Chứng minh rằng tồn tại $x_1,\,x_2\,\in\, (0;2020)$ mà $x_1\,\ne\,x_2$ sao cho $$f(x_1)\,-\,x_1\,=\,f(x_2)\,-\,x_2.$$
8. [PTNK] Số thực $\alpha$ được gọi là điểm tụ của dãy số $(u_n)$ nếu tồn tại ít nhất một dãy con của dãy $(u_n)$ hội tụ đến $\alpha.$ a) Hãy chỉ ra một dãy có vô hạn điểm tụ.
   b) Chứng minh rằng nếu mọi dãy con của dãy $(u_n)$ đều hội tụ thì dãy $(u_n)$ cũng hội tụ. $\,(c)\,$ Gọi $S$ là tập các số chính phương. Dãy số $(a_n)$ thỏa $a_n\,=\,\frac{1}{n}$ nếu $n\,\in \,S$ bỏ ${0}$ và $a_n\,=\,\frac{1}{n^2}$ nếu $n\,\notin \,S.$ Xét tính hội tụ của các dãy $(a_n),\,(b_n)$ với $b_n\, = \,\sum\limits_{i = 0}^n {{a_i}.}$
9. [Bắc Giang] Tìm hàm số liên tục: $f:\,\mathbb{R}\,\to\,\mathbb{R}$ thỏa: $$f(x+y)f(x-y)\,=\,f^2(x)f^2(y)\,\,\,\,\,\forall x,\,y\,\in\,\mathbb{R}.$$
10. [KHTN] Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $$a_0\,=\,1,\,a_1\,=\,\frac{1}{2},\quad a_{n+1}\,=\,\frac{{a_n}^3}{2{a_{n-1}}^2-{a_n}^2},\,\forall n\in\mathbb N^*.$$ Đặt ${x_n}\, = \,\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{a_k}}}{{{2^k}}}.} $ Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ hội tụ và tìm giới hạn đó. 
11. [Bình Dương] Với mỗi $n\,\in\,\mathbb{N^*},$ đặt ${Q_n}(x)\, = \,\prod\limits_{i = 0}^n {(x - {i^2})} $ và kí hiệu ${Q'_n(x)}$ là đa thức đạo hàm của $Q_n(x).$
    a) Khi $n\,=\,2020$ thì đa thức $Q'_n(x)$ có bao nhiêu nghiệm thực?.
    b) Chứng minh rằng với mỗi $n$ nguyên dương, đa thức $Q'_n(x)$ có duy nhất một nghiệm thực $x_n$ thuộc $(0;1).$ c) Tồn tại hay không giới hạn của dãy $(x_n)$ khi $n\,\to\,+\infty?$ 
12. [ĐH Vinh] Cho dãy $(x_n)$ xác định bởi: $$x_1\,=\,1,\,{x_{n + 1}}\, = \,\sqrt[3]{{8x_n^3\, + 12x_n^2 + 1}}$$ với mọi $n$ nguyên dương. Tính $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}}.$ 
13. [Amsterdam] Cho hàm số $y\,=\,x\,+\,\frac{1}{x}$ với $x\,>\,0$ có đồ thị $(C).$ Một đường thẳng đi qua điểm $A(0;1)$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $M$ và $N.$ Các tiếp tuyến với $(C)$ tại hai điểm phân biệt $M,\,N$ cắt nhau tại điểm $P.$ Tìm hoành độ điểm $P,$ và chứng minh rằng tung độ của điểm $P,$ kí hiệu $y_P$ thỏa $2\,<\,y_P\,<\,\frac{5}{2}.$ 
14. [Lâm Đồng] Cho số thực $a$ và dãy số thực $(u_n)$ thỏa $${u_1}\, = \,a ,\quad {u_{n + 1}}\, = \,\ln (8\, + \,\cos {u_n}\, + \,\sin {u_n})\, + \,2019,\,\forall n\in\mathbb N^*.$$ Chứng minh rằng dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn. 
15. [Đồng Tháp] Cho dãy số thực dương $(x_n)$ xác định bởi ${x_n}\, = \,2\left(1\, - \,\frac{1}{{2{n^2}\, + \sqrt {4{n^4}\, + \,1} }}\right)$ với mọi $n$ nguyên dương. Đặt ${S_n}\, = \,\sum\limits_{i = 1}^n {\sqrt {{x_i}} } \,(n\, \geqslant \,1).$ $\,a.\,$ Tính $S_{20}.$ $\,b.\,$ Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho $S_n$ nhận giá trị nguyên.
16. [Quảng Bình] Cho hai dãy số thực $(a_n)$, $(b_n)$ thỏa mãn $${a_1}\, = {b_1} = \,2 ,\quad {a_n}\, = \,2(n + {a_{n - 1}}),\quad {b_n}\, = \,\frac{{n + 1}}{{n - 1}}({b_1} + \,{b_2}\, + ... + \,{b_{n - 1}}),\,\forall \,n\, \geqslant 2.$$ a) Chứng minh rằng $a_n\,<\,2^{n+2}$ với mọi $n$ nguyên dương.
    b) Tính giới hạn $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{{2({b_n} + n + 2) + {a_n}}}{{{6^n}}}.$ 
17. [Hà Tĩnh] Cho các dãy số $(u_n)$, $(v_n)$ sao cho $$\lim_{n\to\infty}(u_n)^n\,=\,2,\,\lim_{n\to\infty}(v_n)^n\,=3;\,u_n,\,v_n\,\neq \,1$$ với mọi $n.$
    a) Chứng minh rằng $\displaystyle \lim_{n\to\infty}u_n\,=\,1.$
    b) Tìm $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(\frac{2u_n+3v_n}{5})^n.$ 
18. [Hà Nam] Cho hai số thực $a,\,b\,\in\,(0,1)$ và dãy số $(x_n)$ thỏa : $$x_1\,=\,a,\,x_2\,=\,b,\,{x_{n + 2}}\, = \,\frac{1}{4}x_{n + 1}^2\, + \,\frac{3}{4}\sqrt {{x_n}} \,,\,\forall \,n\, \geqslant 1.$$ Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n.$
19. [Phú Thọ] Có tồn tại hay không hàm $f(x)$ gián đoạn tại mọi điểm thuộc $\mathbb R$ còn $f(x)^2$ liên tục trên $\mathbb R$.
20. [KHTN HN] Cho dãy số $(a_n)$ thỏa mãn $$a_1\,=\,\frac{2}{3},\quad a_{n+1}\,=\,\frac{{a_n}^2\, +\,(n-1)a_n\,+\,2}{n+1},\,\forall n\in\mathbb N^*.$$ a) Chứng minh rằng $(a_n)$ bị chặn.
    b) Chứng minh rằng $(a_n)$ hội tụ và tìm giới hạn.
21. [Vĩnh Long] Cho dãy số $(a_n)$ thỏa $a_1\,=\,2$ và $(4-a_n)(6+a_{n-1})\,=\,24$ với mọi $n$ nguyên dương lớn hơn hoặc bằng $2.$
    a) Chứng minh rằng $a_n$ khác $0$ với mọi $n\,\in\,\mathbb{N^*}.$
    b) Tính $S_{2020}\,=\,\dfrac{1}{a_1}\,+\,\dfrac{1}{a_2}\,+.. .\,+\dfrac{1}{a_{2020}}.$
22. [Bắc Ninh] Cho hai dãy số $(u_n)$ và $(v_n)$ thỏa $u_0\,=\,a, v_0\,=\,b$ với $a,b$ là hai hằng số thực cho trước thỏa $0\,<\,a\,<\,b$ và $u_{n+1}\,=\,\dfrac{u_n+v_n}{2}$ và $v_{n+1}\,=\,\sqrt{u_{n+1}.v_n}$ với mọi số tự nhiên $n.$
    a) Chứng tỏ hai dãy đã cho đều hội tụ và có giới hạn bằng nhau.
    b) Tìm giới hạn đó theo $a,b.$
23. [Đà Nẵng]
    a) Chứng minh rằng dãy số $(x_n)$ thỏa mãn $x_n\,\in\,[0;n]$ và ${x_n}^n\,=\,e^{x_n}$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
    b) Chứng minh rằng dãy số $(a_n)$ thỏa mãn $a_1\,=\,a$ và $a_{n+1}\,=\,{a_n}^2\,-\,6.$ Xác định tất cả giá trị của $a$ để dãy này tuần hoàn.
24. [Hải Dương] Cho dãy số $(x_n)$ thỏa $$x_1\,=\,2019,\quad x_{n+1}\,=\,1\,+\,\ln{\frac{x_n({x_n}^2+3)}{3{x_n }^2+1}}.$$ Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. 

Hình Học

1. [LHP TPHCM] Cho đường thẳng $d$ cố định và điểm $A$ cố định không thuộc $d.$ Các điểm $B,\,C$ di động trên $d$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn và $AB\,<\,AC.$ Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác, $AI$ cắt $BC$ tại $D,$ cắt $(ABC)$ tại $J,$ khác $A.$ a) Chứng minh rằng $IJ^2\,=\,JD.JA.$
   b) Gọi $K$ đối xứng $I$ qua $BC.$ $AI$ cắt $(BIC)$ tại $G$ khác $I.$ Chứng minh rằng $GK$ luôn đi qua một điểm cố định. c) Gọi $E$ là tâm đường tròn qua $A$ và tiếp xúc $BC$ tại $D,$ gọi $M,\,N$ là hình chiếu của $D$ lên $BE,\,CE.$ Chứng minh $B,\,I,\,M,\,N,\,C$ đồng viên.
2. [PTNK]Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ với $B,\,C$ cố định và $A$ thay đổi trên cung lớn $BC.$ Các đường tròn bàng tiếp góc $A,\,B,\,C$ lần lượt tiếp xúc $BC,\,CA,\,AB$ tại $D,\,E,\,F.$  a) Gọi $L$ là giao điểm thứ hai của $(ABE)$ và $(ACF).$ Chứng minh rằng $AL$ luôn đi qua một điểm cố định.
   b) $(BCF)$ cắt $(BAD)$ tại $M,\,B,$ $(CAD)$ cắt $(CBE)$ tại $N,\,C.$ Gọi $K,\,I,\,J$ lần lượt là trung điểm $AD,\,BE,\,CF.$ Chứng minh rằng $KL,\,IM,\,JN$ đồng quy.
3. [PTNK] Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O).$ Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC$, $CA$, $AB$ lần lượt tại $D$, $E$, $F.$ Gọi $J$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $A$ và $H$ là hình chiếu vuông góc của $D$ lên $EF.$ a) Chứng minh rằng giao điểm của $AH$ và $JD$ thuộc $OI.$
   b) $DH$ cắt $(I)$ tại $K$ khác $D,$ $IK$ cắt $(IEF)$ tại $L$ khác $I.$ Chứng minh rằng $AD$ và $LH$ cắt nhau tại một điểm trên đường tròn $(IEF).$
4. [Khánh Hòa] Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân có đường trung tuyến $AM$ và phân giác trong $AD.$ Qua điểm $N$ trên đoạn $AD$($N$ không trùng $A,\,D$)kẻ $NP$ vuông góc $AB$ ($P$ thuộc cạnh $AB.$)Đường thẳng qua $P$ vuông góc $AD$ cắt đoạn thẳng $AM$ tại $Q.$ Chứng minh rằng $QN\,\bot \,BC.$
5. [Phú Thọ] Cho tam giác $ABC$ thỏa $AB\,=\,AC\,>\,BC.$ Gọi $I$ là tâm nội tiếp tam giác, $BI$ cắt $AC$ tại $D,$ lấy $J$ đối xứng $I$ qua $AC.$ Đường tròn $(BDJ)$ cắt $AI$ tại $E.$
   a) Chứng minh rằng $ED\,//\,IJ.$
   b) Chứng minh rằng $9AE\,\geqslant\,8AI.$
6. [Khánh Hòa] Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân nội tiếp đưởng tròn $(O),$ ba đường cao $AD,\,BE,\,CF.$ Gọi $M$ là trung điểm $BC$ và $I$ là giao điểm $EF$ và $BC.$
   a) $AD$ cắt $(O)$ tại $L.$ CMRChứng minh rằng$A,\,I,\,L,\,M$ đồng viên.
   b) Qua $D$ kẻ đường thẳng song song $EF;$ cắt $AB,\,AC$ lần lượt tại $R,\,S.$ Chứng minh rằng $DM\cdot DI=DR\cdot DS$.
7. [Kiên Giang] Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(\Omega).$ Các tiếp tuyến tại $B,\,C$ cắt tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn lần lượt tại $K,\,L.$ Đường thẳng qua $K$ song song $AB$ cắt đường thẳng qua $L$ song song $AC$ tại $P.$ Chứng minh rằng $BP\,=\,CP.$
8. [Đồng Nai] Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I).$ Gọi $D,\,E,\,F$ lần lượt là tiếp điểm của $(I)$ với $BC$, $CA$, $AB$. Gọi $M$ là trung điểm $AB.$ Gọi $N$, $P$, $Q$ lần lượt là giao điểm ba đường thẳng $AM$, $BI$, $CI$ với đường thẳng $EF.$
   a) Chứng minh rằng ba điểm $D,\,N,\,I$ thẳng hàng.
   b) Chứng minh rằng bốn điểm $B,\,C,\,P,\,Q$ đồng viên.
9. [Hà Tĩnh] Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân, các đường cao $AA_1,\,BB_1$ cắt nhau tại $H.$ Hai đường tròn $(ABC)$ và $(A_1B_1C)$ cắt nhau tại $N$ khác $C.$ Gọi $M$ là trung điểm $AB,$ $K$ là giao điểm $CN$ và $AB.$ Đường thẳng $Chứng minh rằng$ cắt đường tròn $(A_1B_1C)$ tại điểm thứ hai $P,$ cắt $(ABC)$ tại điểm thứ hai $Q.$
   a) Chứng minh rằng $K,\,H,\,P$ thẳng hàng.
   b) Chứng minh rằng $AQ\,=\,BP.$
10. [Hà Nam]Cho $A$ là điểm di động trên cung lớn $BC$ cố định của đường tròn $(O).$ Gọi $I$ là tâm nội tiếp của tam giác $ABC.$ Trên cạnh $BC$ lần lượt lấy $P,\,Q$ sao cho $IP\,\bot\,IC,\,IQ\,\bot\,IB.$
    a) Gọi $D$ là trung điểm cung nhỏ $BC$ của $(O).$ Chứng minh rằng $AD $ là trục đẳng phương hai đường tròn $(ABP)$ và $(ACQ).$
    b) Gọi $L$ là giao điểm ba đường đối trung của tam giác $IPQ.$ Gọi $S$ là trung điểm $PQ.$ Chứng minh rằng $LS$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ di động trên cung lớn $BC$ của $(O).$
11. [Lam Sơn] Cho đường tròn $(O;R)$ và một điểm $I$ cố định khác $O$ ở trong đường tròn, đường thẳng qua $I$ vuông góc $OI$ cắt đường tròn tại hai điểm $C,\,D.$ $A$ là một điểm nằm trên đường tròn, tia đối xứng với tia $IA$ qua đường thẳng $CD$ cắt đường tròn tại $B,$ gọi $M$ là trung điểm $AB.$
    a) Chứng minh rằng đường thẳng $AB$ đi qua một điểm cố định $L$ khi $A$ thay đổi trên $(O;R).$
    b) Gọi $N,\,P$ là giao điểm của đường thẳng $OM$ với đường tròn $(O;R).$ Điểm $N$ nằm trên cung $ADB,$ $CN$ và $DP$ cắt nhau tại $Q.$ Chứng minh rằng các điểm $Q,\,N$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và bàng tiếp của tam giác $CMD.$
12. [Lào Cai] Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ với các đường cao $AD,\,BE,\,CF$ đồng quy tại $H.$ $AA'$ là đường kính của $(O).$ Các đường thẳng $A'B,\,A'C$ cắt $AC,\,AB$ lần lượt tại $M,\,N.$ Các điểm $P,\,Q$ thuộc đường thẳng $EF$ sao cho $PB,\,QC$ vuông góc $BC.$ Đường thẳng qua $A$ vuông góc $QN,\,PM$ lần lượt cát $(O)$ tại $X,\,Y.$ Hai tiếp tuyến tại $X,\,Y$ của $(O)$ cắt nhau tại $J.$
    a) Gọi $S$ là trung điểm $AH.$ Chứng minh rằng $SB//AY.$
    b)Chứng minh rằng $JA'\,\bot \,BC.$
13. [Hải Dương]
    a) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O),$ xét đường tròn $(O')$ tiếp xúc $AB,\,AC$ lần lượt tại $P,\,Q$ và tiếp xúc trong $(O)$ tại $S.$ Gọi $D$ là giao điểm $AS$ và $PQ.$ Chứng minh rằng $\dfrac{BP}{CQ}\,=\,\dfrac{BS}{CS}$ và $\angle BDP\,=\,\angle CDQ.$
    b) Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp $(I)$ và $D_1,\,E_1$ là tiếp điểm của $(I)$ với $BC,\,CA.$ Lấy $D_2,\,E_2$ trên $BC,CA$ sao cho $BD_1\,=\,CD_2,AE_1\,=\,CE_2.$ Gọi $P$ là giao điểm $AD_1$ và $BE_2,$ $Q,\,R$ là giao điểm $AD_2$ và $(I),$($Q$ nằm giữa $A$ và $R$). Chứng minh rằng $AQ\,=\,D_2P.$
14. [Bắc Giang] Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ và $H$ là trực tâm. Gọi $M$ là điểm chính giữa cung $BHC$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BHC.$ $BM$ cắt $AC$ tại $E,$ $Chứng minh rằng$ cắt $AB$ tại $F.$ $AD$ là phân giác trong góc $BAC.$ Gọi $T$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF.$
    a) Chứng minh rằng $TD\,\bot \,BC.$
    b) Chứng minh rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ bằng $OD.$
15. [Vĩnh Long] Cho tam giác $ABC$ nhọn có $AB\,>\,AC.$ Hai phân giác $BE,CF$ cắt nhau tại $I,$ đường thẳng qua $I$ vuông góc $EF$ theo thứ tự cắt $BC,EF$ tại $P,\,Q.$ Gọi $L$ là giao điểm $EF,BC;$ $R$ là giao điểm $PQ,AL.$ $H,D$ là giao điểm của $AI$ với $EF$ và $BC.$ Biết $IP\,=\,2IQ.$
    a) Chứng minh rằng tam giác $LPR$ cân tại $L.$
    b) Tính số đo góc $BAC.$ 
16. [Bắc Ninh] Cho tam giác $ABC$ không cân có trực tâm $H$ và tâm ngoại tiếp $O,$ $D,\,E$ là chân đường cao hạ từ $A,\,B.$ $OD$ cắt $BE$ tại $K,$ $OE$ cắt $AD$ tại $L.$ Gọi $M$ là trung điểm $AB.$ Chứng minh rằng $K,\,L,\,M$ thẳng hàng khi và chỉ khi $ C,D,O,H$ đồng viên.
17. [Đà Nẵng] a) Cho tam giác $ABC$ có điểm $P$ thay đổi trên trung tuyến $AM.$ Gỉa sử $(APB)$ cắt $AC,\,BC$ tại $E,\,X.$ Còn $(APC)$ cắt $AB,\,BC$ tại $F,\,Y.$ $AM$ cắt lại $(AEF)$ tại $T,$ $EF$ cắt $BC$ tại $K.$ Chứng minh rằng $KT$ tiếp xúc $(AEF).$
    b) Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân nội tiếp $(O)$ có đường cao $AD,$ trực tâm $H,$ $M$ là trung điểm $BC.$ Hạ $AG$ vuông góc $HM$ và lấy $L$, $P$ lần lượt là trung điểm $HG,\,AG.$ Lấy $K$ đối xứng $G$ qua $OL,$ trên $LK$ lấy $S$ sao cho $SD\,=\,SM.$ Gọ $T$ là giao điểm $GK$ và $BC.$ Lấy $X$ thuộc $MK$ để $XT$ vuông góc $ST.$ Lấy $Y$ đối xứng $X$ qua $T.$ Chứng minh rằng $KG$, $YD$, $MP$ đồng quy.

Số Học

1. [Thanh Hóa] Bắt đầu từ gốc tọa độ $O\left(0;\,0\right)$, người ta di chuyển một vật đến các điểm hữu tỷ. Sau mỗi lần di chuyển, vị trí mới cách vị trí trước đó đúng môt đơn vị. Chứng tỏ rằng, có thể di chuyển vật đến điểm $M\left( {\frac{1}{5};\,\frac{{16}}{3}} \right)$. Có thể di chuyển vật đến điểm $N\left( {\frac{1}{2019};\,\frac{{1}}{2020}} \right)$ được không? Tại sao?
2. [Thanh Hóa] Tìm các số nguyên dương $n,\,k$ số nguyên tố Fermat $p$ sao cho\[p^n+n=(n+1)^k.\]
3. [Bắc Giang] Tìm tất cả các số nguyên dương $m$ có tính chất: nếu $a$ và $b$ là các ước số nguyên dương của $m$ và $\gcd\left(a,\,b\right)=1$ thì $a+b-1$ cũng chia hết $m$.
4. [Chuyên KHTN Hà Nội] Tìm các số nguyên dương $a$ và $n$ sao cho $a^{n^2+2n-1}-99$ là một số chính phương.
5. [Chuyên KHTN Hà Nội] Cho dãy số $\left(a_n\right)_{n\in\mathbb N}$, cho bởi công thức truy hồi ${a_0} = 1,\:{a_1} = 6,\:{a_2} = 25$ và với số nguyên dương $n$ bất kỳ thì \[{a_{n + 3}} = 5{a_{n + 2}} - 5{a_{n + 1}} + {a_n}.\] Chứng minh rằng nếu $2^{2019}\mid n$ thì $2^{4019}\mid a_n$.
6. [Ninh Bình] Cho dãy số $\left(a_n\right)_{n\in\mathbb N^*}$, cho bởi công thức truy hồi ${a_1} = 2,\:{a_2} = 20,\:{a_3} = 56$ và với số nguyên dương $n$ bất kỳ thì\[{a_{n + 3}} = 7{a_{n + 2}} - 11{a_{n + 1}} + 5{a_n} - {3.2^n}.\]Tìm số dư khi đem $a_{2019}$ chia $2019$.
7. [Cần Thơ] Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ, chứng minh rằng\[p\mid \left( {\left\lfloor {{{\left( {45 + \sqrt {2019} } \right)}^p}} \right\rfloor - 89} \right).\]
8. [Lâm Đồng] Tìm các số nguyên dương $m$ và $n$ lớn hơn $2$, sao cho tồn tại vô số số nguyên dương $a$ thỏa mãn\[\left( {{a^n} + {a^2} - 1} \right)\mid \left( {{a^m} + a - 1} \right).\]
9. [Bình Dương] Tồn tại hay không số nguyên dương $n$ để $2020^n$ viết được thành tổng lập phương của $2019$ số nguyên dương chẵn liên tiếp.
10. [Bình Dương] Cho đa thức $P(x)=x^p+ax^2+bx+c$, trong đó $a,\,b,\,c$ là các số nguyên còn $p$ là một số nguyên tố. Biết rằng, $P(x)$ có ba nghiệm $x_1,\,x_2,\,x_3$ thỏa mãn $$p\nmid \left(x_1-x_2\right)\left(x_2-x_3\right)\left(x_3-x_1\right).$$ Chứng minh rằng $abc+ca$ chia hết cho $p^3$.
11. [Đồng Tháp] Tìm các số nguyên dương $a$ và $b$ sao cho $a^4+10a^2+2^b$ là một số chính phương.
12. [Bến Tre] Với mỗi số nguyên dương $n$, ký hiệu $F_n=2^{2^n}+1$.  Chứng minh rằng $\gcd\left(F_m,\,F_k\right)=1$ nếu $k$ và $m$ là các số nguyên dương phân biệt. Tìm chữ số tận cùng khi viết trong hệ thập phân của \[M = \text{lcm}\left( F_1,\, F_2,\, \ldots ,\,F_{2019} \right).\]
13. [Quảng Bình] Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ và $n=2^{2p}-1$. Chứng minh rằng, $n$ có ít nhất ba ước nguyên tố phân biệt và $$n\mid\left(2^n-8\right).$$
14. [Khánh Hòa] Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, đều tồn tại duy nhất một cặp số nguyên dương $(a,\,b)$ sao cho \[n = a + \frac{{\left( {a + b - 1} \right)\left( {a + b - 2} \right)}}{2}.\]
15. [Phú Thọ] Tìm các số tự nhiên $k,\,m,\,n$ sao cho \[k^3=5^m+7^n.\]

Tổ Hợp

1. [Vĩnh Long] Cho $X$ là tập con của tập $X\,=\{1,2,3,...,10000\}$ sao cho nếu $a,\,b$ thuộc $X$ thì $ab$ không thuộc $X.$ Tìm số phần tử lớn nhất của tập $X.$ rỗng 
2. [Yên Bái] Cho tập $X$ gồm $15$ số nguyên dương phân biệt. Với mỗi tập con $A$ của $X$ ta kí hiệu $|A|$ là số phần tử của $A$ và $S_A$ là tổng các phần tử của $A.$ Chứng minh rằng tồn tại hai tập con $A$, $B$ khác rỗng của $X$ thỏa ba điều kiện $|A|=|B|\leqslant 6$; $A$ giao $B$ là rỗng; $S_A-S_B$ chia hết cho $5000.$
3. [Đắc Lắc] Cho $M$ là tập $n$ điểm trong mặt phẳng thỏa mãn hai điều kiện: Tồn tại $7$ điểm thuộc $M$là các đỉnh của một thất giác lồi; Với $5$ điểm bất kì thuộc $M$ là các đỉnh của một ngũ giác lồi, tồn tại một điểm thuộc $M$ nằm ở miền trong ngũ giác lồi đó.  Tìm giá trị nhỏ nhất của $n.$
4. [Đà Nẵng] Có $2019$ máy tính mà trong đó một số máy được nối với nhau. Biết rằng $2$ máy bất kì thì có đúng một máy nối với cả hai máy đó. Máy được nối đến nhiều máy nhất sẽ là máy chủ. Hỏi số máy được nối với máy chủ ít nhất là bao nhiêu?
5. [Long An] Cho $a_1,\,a_2,\,...,a_{2019}$ là $2019$ số thực bất kì. Có tồn tại số thực $x$ sao cho $a_1+x,a_2+x,...,a_{2019}+x$ đều là số vô tỉ hay không? Vì sao?