Tổng Hợp Đề Thi Học Sinh Giỏi Các Trường Và Các Tỉnh Thành 2017-2018

Đại Số

1. [Quảng Ninh] Cho ba số thực dương $a,b,c$ có tổng bằng $3$. Chứng minh rằng \[\dfrac{{{a^2}}}{{2a + 1}} + \dfrac{{{b^2}}}{{2b + 1}} + \dfrac{{{c^2}}}{{2c + 1}} \leqslant \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 6} }}\]
2. [Quảng Ninh] Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn \[f\left ( x^2-\left ( f\left ( y \right ) \right )^2 \right )=xf(x)+y^2,\,\forall x,y \in \mathbb{R}\]
3. [Quảng Ninh] Cho $P(x)$, $Q(x)$, $R(x)$ là các đa thức khác hằng, có hệ số thực và thoả mãn \[P(x^2-x)+xQ(x^3-x)-(x^2-4)R(x),\,\forall\, x \in \mathbb{R}.\] a) Chứng minh rằng phương trình $Q(x)+R(x-3)$ có ít nhất hai nghiệm thực phân biệt. b) Giả sử rằng tổng bậc của $P(x)$, $Q(x)$, $R(x)$ là $5$ và hệ số cao nhất của $R(x)$ là $1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[M=P^2(0)+8Q^2(3)\]
4. [Nghệ An] Giải hệ phương trình sau trên $\mathbb{R}$ \[ \begin{cases}\sqrt {xy - {x^2}} + 9\sqrt {xy + {x^2}} &= 16y\\ xy - 5x - 4y &= 80 \end{cases}\]
5. [Nghệ An] Cho dãy số $\left ( a_{n} \right )$ xác định bởi $$a_1>3,\quad a_{n+1}=2+\dfrac{3}{a_{n}},\, \forall n \in \mathbb{N}^*.$$ Xác định số thực dương $a$ lớn nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực $x$ và mọi số nguyên dương $n$ \[\sqrt{x^2+a_{1}^2}+\sqrt{x^2+a_{2}^2}+...+\sqrt{x^2+a_{n}^2}>n\sqrt{x^2+a^2}.\]
6. [Nghệ An] Tìm tất cả các hàm đơn điệu $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn \[f(x+f(y))=f(x)+y^n,\,\forall x,y\in\mathbb R.\] trong đó $n$ là số nguyên dương cho trước.
7. [Quảng Trị] Cho các số thực dương $x,y,z$ thay đổi và thoả mãn $xyz=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[A = \left( {x + y + z} \right)\left( {6 - \frac{x}{y} - \frac{y}{z} - \frac{z}{x}} \right)\]
8. [Quảng Trị] Cho hàm số $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ trong đó $a,b,c,d$ là các hằng số thực thoả mãn $f(-1)=100$, $f(-2)=200$ và $f(-3)=300$. Tính giá trị của biểu thức \[P = \frac{{f\left( {10} \right) + f\left( { - 14} \right)}}{{16}} - 582.\]
9. [Tiền Giang] Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn \[f\left( {x + y} \right) \ge f\left( x \right)f\left( y \right) \ge {2017^{x + y}},\,\forall x,y\in\mathbb R.\]
10. [Tiền Giang] Cho hàm số $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn đồng thời các tính chất sau $f(1)=1$ và $$f(x+y)-f(x)-f(y)=2xy,\,\forall x,y\in\mathbb R,\quad f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{f(x)}{x^2},\, \forall x\ne 0.$$ Tính $f\left(\sqrt{2017}\right)$.
11. [Hà Nam] Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn \[f\left( {f\left( x \right) + ay} \right) = \left( {{a^2} + a} \right)x + f\left( {f\left( y \right) - x} \right),\, \forall x,y\in\mathbb R.\] trong đó $a$ là một hằng số và $a\notin\{0;\,-1\}$.
12. [Bà Rịa Vũng Tàu] Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả $a^2+b^2+c^2+abc=4$. Chứng mình rằng \[\frac{a}{{\sqrt {\left( {b + 2} \right)\left( {c + 2} \right)} }} + \frac{b}{{\sqrt {\left( {c + 2} \right)\left( {a + 2} \right)} }} + \frac{c}{{\sqrt {\left( {a + 2} \right)\left( {b + 2} \right)} }} \ge 1.\]
13. [Bà Rịa Vũng Tàu] Cho số nguyên dương $n$ và đa thức hệ số thực \[P\left( x \right) = {a_0} + {a_1}x + \ldots + {a_n}{x^n}.\] Biết rằng $P(0), P(1), \ldots,P(n)$ đều là các số nguyên. Chứng minh rằng $P(m)$ là số nguyên với mọi số nguyên $m$.
14. [Bà Rịa Vũng Tàu] Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn \[f\left( {f\left( x \right) + {x^2} + y} \right) = {x^2} + f\left( x \right) + f\left( y \right),\,\forall x,y\in\mathbb R.\]
15. [Bà Rịa-Vũng Tàu] Có bao nhiêu hàm số $f:\mathbb N^*\longrightarrow\mathbb N^*$ thoả mãn $$f(1)=1,\quad f(n)f(n+2)=1+f^2(n+1),\,\forall n\in\mathbb N^*.$$
16. [Đồng Nai] Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn \[f\left( {xf\left( y \right) - yf\left( x \right)} \right) = f\left( {xy} \right) - xy,\,\forall ,x,y\in\mathbb R.\]
17. [Đồng Tháp] Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng \[\frac{{a\left( {b + c} \right)}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{b\left( {c + a} \right)}}{{{c^2} + ca + {a^2}}} + \frac{{c\left( {a + b} \right)}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} \ge 2.\]
18. [Đồng Tháp] Tìm các đa thức $P(x)$ có bậc không vượt quá 3 và thoả mãn \[P\left( {6{x^2} - x - 1} \right) + P\left( {1 - 6{x^2} - x} \right) = 1 + {P^2}\left( {2x} \right),\,\forall x\in\mathbb R.\]
19. [Đắk Lắk] Cho các số thực dương $a,b$ với $a>b$ và bất phương trình \[x^2-(a+b)x+ab\le 0.\] Giả sử $x_1,x_2,\ldots,x_n$ là các nghiệm của bất phương trình trên. Chứng minh rằng \[\frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2} + \ldots + {x_n}} \right)}^2}}}{{n\left( {x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2} \right)}} \ge \frac{{4ab}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\]
20. [Đắk Lắk] Tìm các đa thức $P(x)\in\mathbb R[x]$ thoả mãn \[\left( {{x^2} + 2x} \right)P\left( {x + 1} \right) = \left( {{x^2} + 4x + 3} \right)P\left( x \right) + 2{x^2} + 2x,\,\forall x\in\mathbb R.\]
21. [Đắk Lắk] Giải hệ phương trình \[\begin{cases}\dfrac{x}{{\sqrt {{y^2} + 1} }} + \dfrac{y}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} - \dfrac{{x + y}}{{\sqrt {1 + xy} }}&=0\\ \sqrt {\left( {2x - 2} \right)\left( {y + 5} \right)} + \sqrt {\left( {2y - 2} \right)\left( {x + 2} \right)} &= 3 + 3\left( {\sqrt {x + 2} + \sqrt {y + 5} } \right)\end{cases}\]
22. [Đắk Lắk] Cho hàm số $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn \[f\left( {xf\left( {x + y} \right)} \right) = {x^2} + f\left( {yf\left( x \right)} \right),\,\forall x,y\in\mathbb R.\] a) Chứng minh $f(x)$ là đơn ánh. b) Tìm hàm $f(x)$.
23. [Tây Ninh] Cho các số thực dương $x,y,z$ thoả $xyz=1$. Chứng minh rằng \[\frac{1}{{\sqrt[4]{{{x^3} + 2{y^3} + 6}}}} + \frac{1}{{\sqrt[4]{{{y^3} + 2{z^3} + 6}}}} + \frac{1}{{\sqrt[4]{{{z^3} + 2{x^3} + 6}}}} \le \sqrt 3 \]
24. [Tây Ninh] Tìm các hàm số $f:\, \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thoả mãn \[f\left( {f\left( n \right)} \right) + 2f\left( n \right) = 3n + 2\quad\forall\,n\in\mathbb N.\]
25. [Đà Nẵng] Với mỗi số thực $t$, gọi $g(t)$ là số các hàm số $f:\, \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn \[f\left( {xy + f\left( y \right)} \right) = t + yf\left( x \right)\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\] Tìm hàm số $g(t)$.
26. [Hà Tĩnh] Cho các số thực không âm $a,b,c$ thoả mãn $a^2+b^2+c^2\le 3$. Chứng minh rằng \[\left( {a + b + c} \right)\left( {a + b + c - abc} \right) \ge 2\left( {{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a} \right)\]
27. [Hà Tĩnh] Cho hai đa thức bậc ba \[P(x)=x^3+2x^2-7x-16,\quad Q(x)=x^3+3x^2+8x-4.\] a) Chứng minh rằng mỗi đa thức đều có một nghiệm dương duy nhất. b) Gọi các nghiệm dương của $P(x)$, $Q(x)$ lần lượt là $p$, $q$. Chứng minh rằng \[\sqrt{p}-\sqrt{q}=1.\]
28. [Hoà Bình] Tìm các đa thức hệ số thực $P(x)$ thoả mãn \[xP\left( {x - 1} \right) = \left( {x - 3} \right)P\left( x \right),\,\forall x\in\mathbb R.\]
29. [Hoà Bình] Tìm các đa thức hệ số thực $P(x)$ thoả mãn \[{P^2}\left( x \right) = 2P\left( {2{x^2} - 1} \right) + 3,\,\forall x\in\mathbb R.\]
30. [Hoà Bình] Tìm các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn \[f\left( {{x^2}} \right) = f\left( {x + y} \right)f\left( {x - y} \right) + {y^2},\,\forall x,y\in\mathbb R.\]
31. [Hoà Bình] Tìm các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn \[f\left( x \right) + f\left( y \right) + f\left( {xy} \right) = f\left( {x + y} \right) + f\left( x \right)f\left( y \right),\,\forall x,y\in\mathbb R.\]
32. [Đắk Nông] Tìm các hàm số $f: \left(0;\,+\infty\right)\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn \[\frac{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }}{{1 + \sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }} = {x^2}f\left( x \right),\,\forall\,x\in\mathbb R.\]
33. [Đắk Nông] Trong tập hợp $[-1;\,1]$, lấy bất kì các giá trị $x,y,z$ thoả mãn có tổng bằng $0$ và tổng bình phương bằng $4$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P=x^{2018}+y^{2018}+z^{2018}.\]
34. [Đắk Nông] Biết rằng $x,y,z$ là các số thực dương thoả mãn $x^2+y^2+z^2+xyz=4$. Chứng minh rằng \[x+y+z \geqslant \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}.\] Dấu "=" xảy ra khi nào?.
35. [Hà Nội] Cho hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn \[f(\tan x)=\dfrac{1}{2}\sin 2x-\cos 2x,\, \forall x\in \left ( -\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2} \right ).\] Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \[f\left(\sin^2x \right)f\left(\cos^2x\right);\quad (x\in \mathbb{R})\]
36. [Hà Nội] Tìm tất cả các đa thức $P(x$) với hệ số thực sao cho \[P^2(x)^2=2P(x^2-3)+1,\,\forall x \in \mathbb{R}.\]
37. [Thanh Hoá] Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn \[f\left( {{n^2}} \right) = f\left( {n + m} \right)f\left( {n - m} \right) + {m^2},\, \forall m,n \in \mathbb{R}.\]
38. [Thanh Hoá] Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ có các hệ số nguyên thoả mãn $P(2017)=1$, và $3^{n}-1$ chia hết cho $P(n)$ với mọi số nguyên dương $n$.
39. [Thanh Hoá] Cho dãy số $a_{0},a_{1};\,a_{2},...$ thoả mãn \[a_{m+n}+a_{m-n}=\dfrac{1}{2}(a_{2m}+a_{2n}),\,\forall m,n \in \mathbb N, m\geqslant n.\] Hãy xác định $a_{2017}$ nếu $a_{1}=1$.
40. [Huế] Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn \[f\left( {{x^3}} \right) + f\left( {{y^3}} \right) = (x + y)\left( {f\left( {{x^2}} \right) + f\left( {{y^2}} \right)} - f\left( {xy} \right)\right) ,\, \forall x,y \in \mathbb{R}\]
41. [Huế] Cho $a_0>a_1>a_2>...>a_n$ là các số nguyên dương sao cho $$a_0-a_n<a_1+a_2+...+a_n.$$ Chứng minh tồn tại $i$ với $1 \le i \le n$ sao cho \[0 \le a_0-(a_1+a_2+...+a_i)<a_i.\]
42. [Chuyên KHTN Hà Nội] Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số nguyên không âm thoả mãn $P\left(\sqrt [3]{3}\right)=2017$ và $P(1)$ nhận giá trị nhỏ nhất có thể.
43. [Chuyên KHTN Hà Nội] Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a) \ne 0$. Chứng minh rằng \[\dfrac {(a^2-b^2)(a^2-c^2)}{(b+c)^2} + \dfrac {(b^2-c^2)(b^2-a^2)}{(c+a)^2} + \dfrac {(c^2-a^2)(c^2-b^2)}{(a+b)^2} \geqslant 0.\]
44. [Chuyên KHTN Hà Nội] Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn \[f\left( {\left( {x - y} \right)f\left( x \right) - f\left( y \right)} \right) + \left( {x + 1} \right)f\left( {y - x} \right) + x = 0\quad\forall\,x;\,y\in\mathbb R.\]
45. [Chuyên KHTN Hà Nội] Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng \[\frac{{{a^3}}}{{{b^2} - bc + {c^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{c^2} - ca + {a^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{a^2} - ab + {b^2}}} + \frac{9}{{2(ab + bc + ca)}} \ge \frac{9}{2}.\]
46. [Lâm Đồng] Giải hệ phương trình \[\begin{cases}x\sqrt {{y^2} + 3y + 4} + y\sqrt {{x^2} - x + 1} &= x + y\\ \left( {{x^2} - x} \right)\sqrt {x - y + 1} - y - 3 &= 2{x^2} - 3x \end{cases}\]
47. [Lâm Đồng] Cho các số thực dương $x,y,z$ thoả mãn điều kiện $x^3+y^2+z=1+2\sqrt 3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của \[P = \frac{1}{x} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^3}}}\] 
48. [Lâm Đồng]Tìm các đa thức $P(x)$ hệ số thực thoả mãn \[P\left( x \right)P\left( {x + 1} \right) = P\left( {2{x^2} + 8x + 6} \right)\]

Hình Học

1. [THPT Chuyên KHTN] Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ với $M,N$ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng $AB,AD.$ $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên $CB,CD.$ $P,Q$ theo thứ tự là trung điểm của $CH,CK.$ $S$ thuộc $AH$ và $T$ thuộc $AK$ sao cho $PS\perp PM$ và $QT\perp QN.$ $AP,AQ$ theo thứ tự cắt $(O)$ tại $E,F$ khác $A.$ Chứng minh rằng hai đường thẳng $SE$ và $TF$ cắt nhau trên đường tròn $(O).$
2. [THPT Chuyên KHTN] Cho hai đường tròn $(O)$ và $(K)$ cắt nhau tại $A,B$ với $K$ thuộc $(O).$ Tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt $(K)$ tại $P$ khác $A.$ $PB$ cắt $(O)$ tại $C$ khác $B.$ Một đường thẳng đi qua $P$ cắt $(O)$ tại $M,N.$ Trung trực $AM,AN$ lần lượt cắt $PA$ tại $Q$, $R$. Chứng minh rằng bốn điểm $R$, $Q$, $K$, $C$ cùng thuộc một đường tròn.
3. [THPT Chuyên KHTN] Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ thuộc cạnh $BC.$ Các đường đối trung qua $M$ của tam giác $MAB$, $MAC$ cắt các đường tròn $(MAB),$ $(MAC)$ lần lượt tại $Q,$ $R$ khác $M.$ $P$ thuộc đường thẳng $BC$ sao cho $AP\perp AM.$ Gọi tiếp tuyến chung ngoài gần $A$ hơn của các đường tròn $(MAB)$, $(MAC)$ là $\ell$. Giả sử $\ell$ song song $BC$. Chứng minh rằng $\ell$ tiếp xúc với đường tròn $(PQR)$. (Đường tròn $(XYZ)$ chỉ đường tròn ngoại tiếp tam giác $XYZ$).
4. [THPT Chuyên KHTN] Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O).$ $M$, $N$ thuộc $(O)$ sao cho $MN$ song song $BC$ và tia $AM$ nằm giữa tia $AB,AN.$ $P,Q$ lần lượt là hình chiếu của $M$, $N$ lên $BC.$ $E$, $F$ lần lượt thuộc $CA$, $AB$ sao cho $QE\parallel AB$ và $PF\parallel AC.$ Đường thẳng qua $E$ vuông góc $CA$ cắt $AN$ tại $L.$ Đường thẳng qua $F$ vuông góc $AB$ cắt $AM$ tại $K.$ Chứng minh rằng $OK=OL.$
5. [THPT Chuyên SP] Cho tam giác $ABC,$ $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. $S$ là giao điểm của các tiếp tuyến với $(O)$ tại $B$ và $C.$ $E,$ $F$ theo thứ tự là hình chiếu của $I$ trên $AC,$ $AB.$ $M,$ $N$ là các giao điểm của $EF$ và $(O).$ $X,$ $Y$ theo thứ tự là giao điểm thứ hai của $MI,$ $NI$ và $(O).$ Chứng minh rằng $IS\perp XY.$
6. [THPT Chuyên SP] Cho tam giác nhọn $ABC,$ $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp, $BE,$ $CF$ là các đường cao. $M,$ $N$ theo thứ tự là trung điểm của $BF,$ $CE.$ $S$ là giao điểm của đường thẳng qua $M$ song song với $BO$ và đường thẳng qua $N$ song song với $CO.$ $P,$ $Q$ theo thứ tự là giao điểm thứ hai của $AB,$ $AC$ và đường tròn tâm $S$ bán kính $SA.$ Chứng minh rằng a) $SB=SC.$ b) Trung điểm của $BE,$ $CF,$ $MN,$ $PQ$ thẳng hàng.
7. [Hà Nội] Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A.$ $M$ là trung điểm $AB.$ $N$ thuộc cạnh $BC$ sao cho $BN=BA.$ Đường tròn đường kính $AB$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $(ANC)$ tại $P$ khác $A.$ $E$ là giao điểm của $AP$ với đường thẳng qua $B$ vuông góc $MP.$ $F$ là giao điểm của $PN$ và đường thẳng qua $B$ song song $MP.$ Chứng minh rằng $PC$ chia đôi $EF.$ 

Số Học

1. [Hà Nội] Cho $x,y,z$ là các số hữu tỉ sao cho $x+y^{2}+z^{2}$, $y+z^{2}+x^{2}$ và $z+x^{2}+y^{2}$ đều là các số nguyên. Chứng minh rằng $2x$ là số nguyên.
2. [Hà Nội] Với mọi $n\in \left \{ 1;\,2;\,3 \right \}$, ta gọi số tự nhiên $k$ là một số tự nhiên kiểu $n$ nếu $k=0$ hoặc $k$ là một số hạng của dãy $1;\,n+2;\,(n+2)^{2};\,(n+2)^{3};\,...$ hoặc $k$ là tổng của một số số hạng của dãy trên. Chứng minh rằng bất kì số nguyên dương nào cũng biểu diễn được dưới dạng tổng của một số kiểu 1 với một số kiểu 2 và một số kiểu 3.
3. [Bà Rịa Vũng Tàu] Có bao nhiêu hàm số $f:\mathbb N^*\longrightarrow\mathbb N^*$ thoả mãn $f(1)=1$ và \[f(n)f(n+2)=1+f^2(n+1),\,\forall n\in\mathbb N^*\]
4. [Đắk Lắk] Tìm số nguyên dương $n$ sao cho $\left(n^2+11n-4\right)n!+33.13^n+4$ là một số chính phương.
5. [Đắk Lắk] Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ. Tìm số các tập con $X$ của $S=\{1;\,2;\,\ldots;\,2p\}$ biết $X$ có đúng $p$ phần tử và tổng các phần tử của $X$ là bội của $p$.
6. [Đắk Lắk] Tìm tất cả các bộ số nguyên $(a;\,b;\,c;\,d)$ thoả \[{a^2} + 35 = {5^b}{6^c}{7^d}\]
7. [Hoà Bình] Cho $a,b,c$ là 3 số nguyên thỏa mãn $$a+b+c=a^2(c-b)+b^2(a-c)+c^2(b-a).$$ Chứng minh rằng $a+b+c$ chia hết cho 27.
8. [Hoà Bình] Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a;\,b)$ sao cho $\left(a^2+b\right)\left(a+b^2\right)$ là một luỹ thừa của $2$.
9. [Nghệ An] Số nguyên dương $m$ gọi là số hoàn hảo nếu tổng các ước nguyên dương của nó là $2m$. Tìm các số nguyên dương $n$ sao cho $1+n^n$ là số hoàn hảo.
10. [Đồng Tháp] Có tồn tại hay không số nguyên dương $n$ sao cho $\dfrac{(n+1)(6n+1)}{2017}$ là số chính phương?
11. [Đồng Tháp] Xét tập hợp $S=\{1;\,2;\,\ldots;\,2017\}$. Ta tô màu mỗi phần tử của $S$ bởi một trong năm màu là Xanh, Đỏ, Tím, Vàng và Nâu. Chứng minh rằng tồn tại ba phần tử phân biệt $a,b,c$ của $S$ có cùng màu và thoả mãn $a\mid b$ và $b\mid c$.
12. [Đồng Nai] Cho hai đa thức sau \[\begin{align*}P(x)=&x^5+5x^4+5x^3+5x^2+1\\ Q(x)=&x^5+5x^4+3x^3-5x^2-1\end{align*}.\] Tìm số nguyên tố $p$ sao cho tồn tại số tự nhiên $a$ với $a<p$ thoả mãn $p$ là ước chung của $P(a)$ và $Q(a)$. Với $p$ tìm được, hãy tìm tất cả các số tự nhiên $a$ thoả mãn điều đó.
13. [Đắc Nông] Tìm các số nguyên dương $a,b,c,d$ thoả mãn $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ và ${a^{2018}} + {b^{2018}} + {c^{2018}} + {d^{2018}} $ là số nguyên tố.
14. [Đắc Nông] Tìm các số nguyên $a$, $b$ thoả mãn $2^na+b$ là số chính phương với mọi số nguyên dương $n$.
15. [Hà Nam] Tìm các bộ số nguyên dương $(a;\,b;\,c;\,d)$ thoả mãn \[a^2+2^{b+1}=3^c\]
16. [Chuyên KHTN Hà Nội] Cho dãy số $\left(a_n\right)$ xác định bởi công thức sau \[a_0=1,\,a_1=4,\quad a_{n+2}=2a_{n+1}+3a_n,\,\forall n \in\mathbb N.\] Chứng minh rằng trong dãy số trên không có số nào là bội của $2017$.
17. [Chuyên KHTN Hà Nội] Cho $n$ là số nguyên dương. Giả sử phương trình $$\dfrac {1}{\sqrt [3]{x}} + \dfrac {5}{\sqrt [7]{y}} = \dfrac {1}{n}$$ có $m$ cặp nghiệm nguyên dương $(x;y)$ và $m-1$ là số chính phương. Chứng minh rằng $n$ là số chính phương.
18. [Chuyên KHTN Hà Nội] Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thỏa mãn với mọi $k$ nguyên dương, tồn tại $m$ nguyên dương sao cho $n$ là ước của $m^4+m^3+m^2+k$.
19. [Thanh Hoá] Tìm tất cả các đa thức hệ số nguyên $P(x)$ sao cho $P(n)$ là ước của $3^n-1$ với mọi số nguyên dương $n$ và $P(2017=1)$.
20. [Thanh Hoá] Cho $a$ và $b$ là các số nguyên dương, thỏa mãn các điều kiện $$a|{{b}^{2}},\,\,\,\,{{b}^{3}}|{{a}^{4}},\,\,\,\, {{a}^{5}}|{{b}^{6}},\,\,\,\,{{b}^{7}}|{{a}^{8}},\, \,...$$ Chứng minh rằng $a=b$.
21. [Hà Tĩnh] Tìm tất cả các cặp số nguyên $\,(a;b)$ sao cho với mọi số nguyên dương $n$, ta có $n$ chia hết cho $a^n+b^{n+1}$.
22. [Lào Cai] Tìm ước nguyên tố nhỏ nhất của $12^{2^{15}}+1$.
23. [Quảng Ninh] Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $\dfrac{3^{p-1}-1}{p}$ là một số chính phương.

Tổ Hợp

1. [Phú Thọ] Cho một bảng vuông cỡ $2n\times 2n$ (với $n$ là số nguyên dương). Ta gọi một đường đi chéo là một ô vuông hoặc một tập hợp các ô vuông phân biệt ${{C}_{1}},\ {{C}_{2}},...,\ {{C}_{k}}$ (với $k$ là số nguyên dương) sao cho hai ô ${{C}_{i}},\ {{C}_{i+1}}$ có đúng một đỉnh chung $(i=\overline{1;k-1}).$ Hai đường đi chéo được gọi là rời nhau nếu chúng không có ô vuông chung. Hỏi bảng vuông đã cho có thể phân hoạch thành ít nhất bao nhiêu đường đi chéo rời nhau?
2. [Phú Thọ] Với các tập hợp $X,Y,$ ta định nghĩa phép toán $\Delta $ như sau $$X\Delta Y=(X\backslash Y)\cup (Y\backslash X).$$ Với $A$, $B$, $C$ là ba tập hợp bất kì, chứng minh $A\Delta A=\varnothing$, $A\Delta \varnothing =A$, $A\Delta B=B\Delta A$, $(A\Delta B)\Delta C=A\Delta (B\Delta C).$  (Khi đó thay vì viết $(A\Delta B)\Delta C$ ta có thể viết $A\Delta B\Delta C$). b) Cho $S=\left\{ 1,2,3,\ldots ,n \right\}.$ Chứng minh rằng trong $n+1$ tập con khác rỗng bất kì của $S,$ ta luôn có thể chọn ra một số tập hợp ${{X}_{1}},{{X}_{2}},\ldots ,{{X}_{k}}\,\,\,(2\le k\le n+1)$ sao cho $${{X}_{1}}\Delta {{X}_{2}}\Delta \cdots \Delta {{X}_{k}}=\varnothing .$$
3. [Phú Thọ] Cho $a$ là số nguyên dương, không là số chính phương. Kí hiệu $A$ là tập tất cả các số nguyên dương $k$ thỏa mãn $k=\dfrac{{{x}^{2}}-a}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}$ với $x$, $y$ là các số nguyên và $x>\sqrt{a}.$ Kí hiệu $B$ là tập tất cả các số nguyên dương $k$ thỏa mãn phương trình với $x$, $y$ là các số nguyên thỏa mãn $0\le x<\sqrt{a}.$ Chứng minh $A=B.$ 
4. [Hà Nội] Với mọi $n\in \left \{ 1;\,2;\,3 \right \}$, ta gọi số tự nhiên $k$ là một số tự nhiên kiểu $n$ nếu $k=0$ hoặc $k$ là một số hạng của dãy $$1;\,n+2;\,(n+2)^{2};\,(n+2)^{3};\,...$$ hoặc $k$ là tổng của một số số hạng của dãy trên. Chứng minh rằng bất kì số nguyên dương nào cũng biểu diễn được dưới dạng tổng của một số kiểu 1 với một số kiểu 2 và một số kiểu 3.
5. [Tiền Giang] Trên mặt phẳng cho $n$ đường thẳng ($n\in\mathbb Z^+$), trong đó không có hai đường nào song song và ba đường nào đồng quy. Hãy tính số miền con rời nhau của mặt phẳng do các đường đó chia ra.
6. [Tiền Giang] Một cửa hàng kem có 4 loại kem; kem dâu, sôcôla, vani và kem sữa. Một đoàn khách có 289 người vào cửa hàng, mỗi người gọi một ly kem. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách gọi kem? (Hai cách gọi kem gọi là khác nhau nếu ít nhất một loại kem có số lượng khác nhau).
7. [Tiền Giang] Cho 2017 điểm trên mặt phẳng sao cho nếu vẽ một đường tròn bán kính đơn vị có tâm là một điểm tuỳ ý trong 2017 điểm đã cho thì hình tròn này sẽ chứa nhiều hơn một nửa các điểm còn lại. Hỏi hình tròn có bán kính nhỏ nhất là bao nhiêu có thể chứa tất cả các điểm đã cho (hình tròn này không nhất thiết phải có tâm là một trong 2017 điểm kể trên)?
8. [PTNK] Cho số tự nhiên $n;\,n\ge 2$ và $X=\{1;\,2;\,\ldots;\,n\}$ với mỗi song ánh $f:\,X\longrightarrow X$ gọi $${A_f} = \left\{ {\left( {i;j} \right): i < j;\;f\left( i \right) > f\left( j \right)} \right\}.$$ a) Có bao nhiêu song ánh $f$ thoả $\left| A_f \right|=1$?. b) Giả sử $f$ là một song ánh thoả $\left| A_f \right|=k>0$. Chứng minh rằng tồn tại song ánh $g$ sao cho $\left| A_g \right|=k-1$ và \[\sum\limits_{k = 1}^n {\left| {f\left( k \right) - k} \right|} \ge \sum\limits_{k = 1}^n {\left| {g\left( k \right) - k} \right|} .\]
9. [PTNK] Với số tự nhiên $n$, ta ký hiệu $a_n=\left| T\left( {n + 1;{\mkern 1mu} n + 3;{\mkern 1mu} n + 4} \right) \right|$ và \[T\left( {n + 1;{\mkern 1mu} n + 3;{\mkern 1mu} n + 4} \right) = \left\{ {\left( {a,b,c} \right): 1 \le a \le n + 1;{\mkern 1mu} a + 1 \le b \le n + 3;\;b + 1 \le c \le n + 4} \right\}.\] a) Tính $a_4$. b) Tìm các số tự nhiên $n$ thoả $3\mid a_n$.
10. [PTNK] An và Bình luân phiên đánh dấu các ô vuông của hình vuôn kích cỡ $101\times 101$ ô, với An là người bắt đầu. Một ô sẽ không được đánh dấu nếu trên cùng hàng với nó hoặc cùng cột với nó đã có ít nhất 2 ô bị đánh dấu. Ai không đánh dấu được tiếp là người thua. Hãy xác định người có chiến thuật thắng.
11. [Đắk Lắk] Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ. Tìm số các tập con $X$ của $S=\{1;\,2;\,\ldots;\,2p\}$ biết $X$ có đúng $p$ phần tử và tổng các phần tử của $X$ là bội của $p$.
12. [Hoà Bình] Cho tập $M$ gồm 2017 số dương $a_1;\,a_2;\,...;\,a_{2017}$ . Xét tất cả các tập con $T_i$ khác rỗng của $M$. Gọi $s_i$ là tổng các số thuộc tập $T_i$ nói trên . Chứng minh rằng có thể chia tập hợp tất cả các số $s_i$ được thành lập như vậy thành 2017 tập hợp con khác rỗng không giao nhau sao cho tỷ số của 2 số bất kì thuộc còng một tập hợp con vừa được thân chia không quá $2$.
13. [Hoà Bình] Xếp 10 học sinh quanh một bàn tròn. Ngân hàng đề thi có tất cả 5 loại đề thi khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách phát đề cho học sinh, sao cho không có hai học sinh nào ngồi cạnh nhau có cùng đề thi?
14. [Lào Cai] Trong mặt phẳng, cho đa giác lồi có 17 đỉnh ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}...{{A}_{17}},$ với mỗi cặp đỉnh ${{A}_{i}},{{A}_{j}}$ $\left( 1\le i<j\le 17 \right)$ bất kỳ trong số các đỉnh của đa giác, ta sẽ vẽ đúng một trong hai vectơ $\overrightarrow{{{A}_{i}}{{A}_{j}}}$ hoặc $\overrightarrow{{{A}_{j}}{{A}_{i}}}$. Sau khi thực hiện với mọi cặp đỉnh, gọi n là số tam giác có tổng các vectơ đặt trên 3 cạnh bằng $\overrightarrow{0}$. Chứng minh rằng $n\leq 204$.
15. [Quảng Bình] Cho tập hợp\[S\,=\,\left\{ {{a}_{i}}\in \,{{\mathbb{N}}^{*}},\,i\,=\,1,...,2017;\,{{a}_{i} }\,\ne {{a}_{j}}\;\text{khi}\;i\,\ne \,j\, \right\}\] Biết rằng không thể chọn được từ S một tập con 13 số phân biệt sắp xếp theo thứ tự tăng dần mà số đứng sau chia hết cho số đứng trước nó. Chứng minh rằng có thể chọn được tập con A của S gồm 169 số phân biệt để trong A không có số nào chia hết cho một trong các số còn lại của A.
16. [Quảng Bình] Cho một bảng hình chữ nhật kích thước $2017 \times 2019$ gồm $2017 \times 2019$ ô vuông. Biết rằng tồn tại cách tô màu tất cả các ô vuông của bảng bởi một trong hai màu trắng hoặc đen sao cho bất kì hình chữ nhật kích thước $2 \times 3$ của bảng đều có đúng hai ô đen. a) Tính số ô đen. b) Hãy chỉ ra một cách tô màu thỏa mãn điều kiện của bài toán.
17. [Ninh Bình] Gọi $S$ là tập con của tập $\left\{ 1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6;\,7;\,8;\,9 \right\}$ sao cho tổng của hai phần tử khác nhau bất kì trong $S$ luôn khác nhau. Ví dụ, tập $\left\{ 1;\,2;\,3;\,5 \right\}$ thỏa mãn tính chất này, nhưng tập $\left\{ 1;\,2;\,3;\,4;\,5 \right\}$ thì không, do các cặp $\left( 1;\,4 \right)$ và $\left( 2;\,3 \right)$ cùng có tổng bằng 5. Hỏi $S$ có thể chứa nhiều nhất bao nhiêu phần tử?
18. [Ninh Bình] Cho bàn cờ $9\times 9$ như hình vẽ ở dưới. Có bao nhiêu cách xếp 8 quân xe vào bàn cờ sao cho cả 8 quân xe đều nằm trên các ô cùng màu và không có hai quân xe nào nằm cùng hàng hoặc cùng cột.
19. [Bắc Giang] Cho bảng hình vuông gồm $m\times m$ ô vuông đơn vị. Trong mỗi ô vuông đơn vị chứa một số nguyên không âm. Giả sử nếu một hàng và một cột bất kì có giao là một ô vuông chứa số 0 thì tổng các số trên hàng đó cộng với tổng các số trên cột đó không bé hơn $m$. Chứng minh rằng tổng các số trên bảng ô vuông đó không nhỏ hơn $\dfrac{{{m}^{2}}}{2}$.
20. [Quảng Ninh] Trong một cuộc thi Toán gồm có 2 phần thi (phần thi đầu và phần thi sau) và có tất cả 28 câu hỏi ở cả 2 phần thi. Mỗi người giải chính xác 7 câu hỏi. Mỗi cặp câu hỏi được giải chỉ bởi 2 người chơi. a) Tìm số người chơi trong cuộc thi. b) Chứng minh rằng tồn tại một người chơi không giải được câu nào hoặc ít nhất 4 câu hỏi ở phần thi đầu.
21. [Đồng Tháp] Xét tập hợp $S=\{1;\,2;\,\ldots;\,2017\}$. Ta tô màu mỗi phần tử của $S$ bởi một trong năm màu là Xanh, Đỏ, Tím, Vàng và Nâu. Chứng minh rằng tồn tại ba phần tử phân biệt $a;\,b;\,c$ của $S$ có cùng màu và thoả mãn $a\mid b$ và $b\mid c$. 
22. [Bà Rịa Vũng Tàu] Tính số các hoán vị $\left( f(1);\,f(2);\,\ldots;\,f(2018)\}\right)$ của $(1;\,2;\,\ldots;\,2018)$ sao cho $\sum\limits_{k = 1}^{2018} {kf\left( k \right)} $ là một số nguyên lẻ.
23. [Bà Rịa Vũng Tàu] Trong cuộc thi vấn đáp gồm có $m$ thí sinh và $n$ giám khảo, trong đó $m>1$ và $n>3$ đồng thời $3\nmid n$. Mỗi giám khảo sẽ đánh giá từng thí sinh theo ba loại $A$, $B$, $C$. Biết rằng tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho hai giám khảo bất kỳ có đánh giá giống nhau ứng với $k$ thí sinh. Chứng minh rằng \[k \ge \frac{{m\left( {n - 2} \right)}}{{3n}}.\]
24. [Hà Nam] Trong mặt phẳng toạ độ, một điểm gọi là điểm nguyên nếu nó có toạ độ là các số nguyên, một đa giác gọi là đa giác nguyên nếu các đỉnh của nó đều là điểm nguyên. Chứng minh rằng, nếu $P$ là một đa giác nguyên nội tiếp một đường tròn có tâm là điểm nguyên thì sẽ tồn tại một đa giác nguyên đồng dạng với $P$ và có diện tích nhỏ hơn diện tích của $P$.
25. [Chuyên KHTN Hà Nội] Cho 2017 số 0 nằm trên hàng ngang. Mỗi lần ta lấy 10 số liên tiếp và tăng những số đó lên 1 đơn vị. Hỏi sau một số hữu hạn bước, trên hàng ngang có nhiều nhất bao nhiêu số bằng nhau? 
26. [Chuyên KHTN Hà Nội] Cho $n \geq 2$ là số nguyên dương. Ta xét đa giác đều $2n$ đỉnh. Ta điền các số $0;\, 1$ vào các đỉnh thỏa mãn số số $0$ bằng số số $1$. Ta gọi tập $2k$ đỉnh là cân nếu trong $2k$ đỉnh đó, số số $0$ bằng số số $1$, với $k$ nguyên dương. a) Chứng minh rằng với mỗi $1 \leq k \leq n$, luôn luôn tồn tại một tập cân có độ dài $2k$. b) Chứng minh rằng nếu $k \leq \sqrt {2n+2} - 2$, luôn luôn tồn tại hai tập cân $2k$ không có đỉnh chung.
27. [Thanh Hoá] Cho bảng ô vuông gồm $13\times 13$ ô vuông. Người ta tô màu đỏ $S$ ô vuông của bảng sao cho không có $4$ ô đỏ nào nằm ở $4$ góc của một hình chữ nhật. Hỏi giá trị lớn nhất của $S$ có thể là bao nhiêu? 
28. [Thanh Hoá] Chứng minh rằng $$\sum\limits_{k = 0}^n {2^kC_{n}^{k}C_{n-k}^{\lfloor\frac{n-k}{2} \rfloor}} =C_{2n+1}^{n}$$
29. [Hà Tĩnh] Cho số nguyên $n$ thỏa mãn $n > 2$. Chứng minh rằng tồn tại hai tập $A,\,B\subset \mathbb{N}^*$ thoả mãn đồng thời các điều kiện $\left| A \right| = \left| B \right| = n$, $A \cap B = \emptyset$, $\sum\limits_{a \in A} a = \sum\limits_{b \in B} b$ và $\sum\limits_{a \in A} a^2 = \sum\limits_{b \in B} b^2$.
30. [Hà Tĩnh] Một lớp chuyên Toán có 35 học sinh, thầy giáo chủ nhiệm muốn tổ chức một chương trình trải nghiệm gồm 4 chuyến đi, thoả mãn đồng thời các yêu cầu sau: Mỗi học sinh trong lớp phải tham gia ít nhất một chuyến đi; Với mỗi $k\in\{2;\,3;\,4\}$, thì chuyến đi thứ $k$ phải có ít nhất một học sinh đã tham gia chuyến đi thứ $k-1$ cùng đi. Tính số cách thầy giáo chủ nhiệm thực hiện chương trình trải nghiệm đó. 
31. [Huế] Một dãy $(a_1,\,a_2,\,..,\,a_k)$ các ô phân biệt của bàn cờ $n\times n$ được gọi là chu trình nếu $k \ge 4$ và các ô $a_i,\,a_{i+1}$ có cùng cạnh với mọi $i=1,\,2,..,\,k$ ở đây $a_{k+1}=a_1$. Tập hợp $X$ gồm các ô của bàn cờ được gọi là đẹp nếu mỗi chu trình đều chứa ít nhất một ô của $X$. Xác định tất cả các số thực $C$ sao cho với mỗi số nguyên $n\ge 2$ ,trên bàn cờ $n\times n$ có một tập con đẹp chứa không quá $Cn^2$ ô vuông vuông
32. [Đồng Nai] Cho $P=\left\{ {{P}_{1}},{{P}_{2}},...,{{P}_{2017}} \right\}$ là tập hợp gồm 2017 điểm phân biệt nằm trong hình tròn tâm ${{P}_{1}}$ bán kính bằng 1. Với mỗi $k=1,2,...,2017$ đặt ${{x}_{k}}$ là khoảng cách nhỏ nhất từ ${{P}_{k}}$ đến một điểm của P (khác ${{P}_{k}}$). Chứng minh rằng $$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{2017}^{2}\le 9$$
33. [Tây Ninh] Tìm số các số tự nhiên, chia hết cho 3, mỗi số gồm 2017 chữ số lấy từ tập $$\{1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6;\,7;\,8;\,9\}.$$