Đề Thi Chọn Đội Tuyển Toán Trung Quốc Tham Dự IMO 2019

1. Cho $ABCDE$ là ngũ giác nội tiếp đường tròn tâm $O$ và có $AB=AE=CD$. Gọi $I$ là trung điểm của $BC$, $J$ là trung điểm của $DE$, $F$ là trực tâm của tam giác $ABE$, và $G$ là trọng tâm của tam giác $AIJ$. $CE$ cắt $BD$ tại $H$, $OG$ cắt $FH$ tại $M$. Chứng minh $AM\perp CD$
2. Cho số nguyên $n\geq 3$. Liệu có vô hạn tập $$S=\lbrace a_1,a_2,\ldots, a_n,b_1,b_2,\ldots,b_n\rbrace$$ gồm các số nguyên dương sao cho $(a_1,a_2,\ldots, a_n,b_1,b_2,\ldots,b_n)=1$, $\lbrace a_i\rbrace _{i=1}^n$ và $\lbrace b_i\rbrace _{i=1}^n$ là các cấp số cộng, đồng thời $\displaystyle\prod_{i=1}^n a_i = \prod_{i=1}^n b_i$?.
3. Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho có $n$ điểm $P_1,P_2,\ldots,P_n$ trên đường tròn đơn vị để $\displaystyle\sum_{i=1}^n MP_i^k$ là hằng số khi $M$ thuộc đường tròn đó với
   a) $k=2018$.
   b) $k=2019$.
4. Dãy số nguyên dương $\{a_n\}_{n\geq 1}$ được gọi là tốt nếu với mỗi số nguyên dương $m$, $n$ khác nhau ta có $(m,n) \mid a_m^2 + a_n^2$ và $(a_m,a_n) \mid m^2 + n^2$. Số nguyên dương $a$ được gọi là $k$-tốt nếu tồn tại dãy tốt $\{a_n\}$ sao cho $a_k = a$. Tồn tại hay không số nguyên dương $k$ sao cho có đúng $2019$ số nguyên dương $k$-tốt?.
5. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ sao cho $$f(2xy + \frac{1}{2}) + f(x-y) = 4f(x)f(y) + \frac{1}{2},\quad\forall x,y\in\mathbb{Q}.$$
6. Cho số thực dương $k$. Hai người $A$ và $B$ chơi một trò chơi như sau: Lúc bắt đầu, có $80$ số $0$ đặt trên một đường tròn. Ở mỗi lượt chơi, $A$ tăng một vài số trong $80$ số sao cho tổng các số mới tăng $1$. Sau đó, $B$ chọn $10$ số liên tiếp có tổng lớn nhất và giảm tất cả xuống $0$. $A$ thắng nếu sau hữu hạn bước $A$ thu được ít nhất một số không bé hơn $k$. Tìm tất cả $k$ để $A$ có thể thắng.
7. $AB$ và $AC$ là các tiếp tuyến của một đường $\omega$ với tâm $O$ tại $B$, $C$. Điểm $P$ di động trên cung nhỏ $BC$ của đường tròn. Tiếp tuyến tại $P$ của $\omega$ cắt $AB$, $AC$ lần lượt tại $D$, $E$. $AO$ cắt $BP$, $CP$ lần lượt tại $U$, $V$. Đường thẳng qua $P$ vuông góc với $AB$ cắt $DV$ tại $M$, đường thẳng qua $P$ vuông góc với $AC$ cắt $EU$ tại $N$. Chứng minh $MN$ đi qua một điểm cố định.
8. Gọi $S$ là tập tất cả các bộ $10$ số tự nhiên có tổng bằng $2019$. Với mỗi phần tử của $S$, nếu một thành phần của nó không bé hơn $9$, thì ta có thể thực hiện phép toán: trừ thành phần đó đi $9$ và cộng các thành phần còn lại thêm $1$. Với mỗi $A,B\in S$, ký hiệu $A\rightarrow B$ nếu ta có thể thu được $B$ từ $A$ sau hữu hạn lần thực hiện phép toán.
   a) Tìm số nguyên $k$ bé nhất có tính chất: nếu cả hai thành phần nhỏ nhất trong $A,B\in S$ không bé hơn $k$, thì $A\rightarrow B$ kéo theo $B\rightarrow A$.
   b) Với số $k$ tìm được trong phần trên, có thể chọn nhiều nhất bao nhiêu phần tử của $S$ sao cho với mỗi $A$, $B$ khác nhau được chọn, $A\not\rightarrow B$?.
9. Cho số nguyên dương chẵn $n$. Xét các số thực không âm $a_1,a_2,\cdots,a_n$ có tổng bằng $1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$\sum_{1\le i<j\le n}\min\{(i-j)^2,(n+i-j)^2\}a_ia_j.$$
10. Tồn tại hay không hai tập $A$ và $B$ các số nguyên dương thỏa mãn các điều kiện: $A$ là tập hữu hạn có ít nhất hai phần tử, $B$ là tập vô hạn; hai phần tử bất kỳ trong tập $A+B:=\{a+b|a\in A,\, b\in B\}$ nguyên tố cùng nhau; với mỗi hai số nguyên dương $m$, $n$ nguyên tố cùng nhau, có $x\in A+B$ để $x\equiv n \pmod m$?.
11. Cho $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ của tam giác $ABC$. Đường tròn đường kính $BC$, ký hiệu $\omega$, cắt $AB$, $AC$ lần hai tại $D$, $E$ tương ứng. $P$ nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $\angle PBA=\angle PAC$, $\angle PCA=\angle PAB$ và $2PM\cdot DE=BC^2$. Điểm $X$ nằm ngoài $\omega$ sao cho $XM\parallel AP$ và $\displaystyle\frac{XB}{XC}=\frac{AB}{AC}$. Chứng minh rằng $$\angle BXC +\angle BAC=90^{\circ}.$$
12. Với hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau $p,q>1$, ta gọi mỗi số nguyên dương không có dạng $px+qy$ $(x,y\in\mathbb{N})$ là xấu, và ký hiệu $S(p,q)$ là tổng của tất cả các số xấu là lũy thừa của $2019$. Chứng minh tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho $(p-1)(q-1)$ chia hết $nS(p,q)$ với mọi $p$, $q$.
13. Cho các số phức $x,y,z$ thỏa mãn $|x|^2+|y|^2+|z|^2=1$. Chứng minh rằng $$|x^3+y^3+z^3-3xyz| \le 1.$$
14. Cho $S$ là tập các số nguyên dương sao cho với mỗi số nguyên dương $n$, $n \in S$ khi và chỉ khi $\displaystyle\sum_{d|n,d<n,d \in S} d \le n$. Tìm tất cả các số nguyên dương $n=2^k \cdot p$ ($k\in\mathbb{N}$, $p$ là số nguyên tố lẻ) sao cho $$\sum_{d|n,d<n,d \in S} d = n.$$
15. Tồn tại hay không song ánh $f:\mathbb{N}^{*} \rightarrow \mathbb{N}^{*}$ và số nguyên dương $k$ có tính chất: có thể tô mỗi số nguyên dương bởi một trong $k$ màu cho trước sao cho với mỗi hai số nguyên dương phân biệt $x$ và $y$, $f(x)+y$ và $f(y)+x$ không cùng màu?. 
16. Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời:
    
    • $f(0,x)$ không giảm trên $\mathbb{R}$;
    • $f(x,y)=f(y,x)$, $\forall x,y \in \mathbb{R}$;
    • $(f(x,y)-f(y,z))(f(y,z)-f(z,x))(f(z,x)-f(x,y))=0$, $\forall x,y,z \in \mathbb{R}$;
    • $f(x+a,y+a)=f(x,y)+a$, $\forall x,y,a \in \mathbb{R}$.
17. Cho tam giác $ABC$ với đường cao $AD$. Gọi $E$, $F$ là các điểm nằm trên đường thẳng $AB$ sao cho $BD=BE=BF$. Gọi $I$, $J$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn bàng tiếp đỉnh $A$ của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm $P$, $Q$ trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ thỏa mãn $PB=QC$ và $\Delta PEI \sim \Delta QFJ$.
18. Cho các số nguyên dương $d \ge 3$, $r>2$, $l$ thỏa mãn $2d \le l <rd$. Mỗi đỉnh của graph $G(V,E)$ được gán một số nguyên dương trong $\{1,2,\cdots,l\}$ sao cho với mỗi hai đỉnh kề nhau của $G$, hai số tương ứng lệch nhau không dưới $d$ và không quá $l-d$. Một cách tô màu các đỉnh của graph được gọi là phù hợp nếu hai đỉnh kề nhau có màu khác nhau. Biết rằng tồn tại tập con thực sự $A$ của $V$ sao cho với mọi cách tô màu phù hợp $G$ bằng $r$ màu, và với mọi màu $C$, hoặc tất cả các số có màu $C$ nằm trong $A$, hoặc không có số mang màu $C$ nằm trong $A$. Chứng minh rằng có cách tô màu phù hợp $G$ bằng $r-1$ màu.
19. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các điểm $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $CD$. Các điểm $E$, $F$ lần lượt nằm trên $AB$, $AD$ sao cho $EF$ đi qua $O$ và $EO=OF$. Đường thẳng $EN$ cắt $FM$ tại $P$. Gọi $S$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $PEF$. Đường thẳng $PO$ cắt $AD$ và $BA$ lần lượt tại $Q$ và $R$. Chứng minh rằng nếu $OSPC$ là một hình bình hành thì $AQ=AR$.
20. Xét các graph $G(V,E)$ thỏa mãn: $G$ không chứa tam giác nhưng khi bổ sung một cạnh bất kỳ sẽ chứa ít nhất một tam giác, $|V|=2019$ và $|E|>2018$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $|E|$.
21. Cho $60$ điểm nằm trong mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng có thể chia các điểm này thành $20$ nhóm, mỗi nhóm $3$ điểm sao cho giao của các phần trong của các tam giác có ba đỉnh thuộc cùng một nhóm khác rỗng.
22. Cho số nguyên dương $n$. Chứng minh rằng có tập con $A$ của $\{1,2,\cdots,2^n\}$ sao cho $A$ có $n$ phần tử và với mỗi hai tập con phân biệt khác rỗng của $A$, tổng các phần tử của một tập không chia hết cho tổng các phần tử của tập còn lại.
23. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ có tính chất: với mỗi sáu số thực dương $a,b,c,x,y,z$ thỏa mãn $\max(a,b,c,x,y,z)=a$, $a+b+c=x+y+z$ và $abc=xyz$, ta đều có $$a^n+b^n+c^n \ge x^n+y^n+z^n.$$
24. Cho hai số nguyên dương $n$, $k$ thỏa mãn $2 \le n <2^k$. Chứng minh rằng tồn tại tập con $A$ của $\{0,1,\cdots,n\}$ sao cho với mỗi hai phần tử $x$, $y$ khác nhau của $A$, ${y\choose x}$ là số nguyên chẵn và $$|A| \ge \frac{{k\choose \lfloor \frac{k}{2} \rfloor}}{2^k} \cdot (n+1).$$