Đề Thi Chọn Đội Tuyển Toán Mỹ Tham Dự IMO 2019

1. Cho tam giác $ABC$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$. Gọi $X$ là điểm sao cho $AX$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Ký hiệu $\omega_B$ là đường tròn qua $M$, $B$ và tiếp xúc với $MX$, $\omega_C$ là đường tròn qua $N$, $C$ và tiếp xúc với $NX$. Chứng minh rằng $\omega_B$ và $\omega_C$ cắt nhau trên $BC$.
2. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại một song ánh $g: \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ để $101$ hàm $$g(x), \quad g(x) + x, \quad g(x) + 2x, \quad \dots, \quad g(x) + 100x$$ là song ánh trên $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.
3. Một con rắn độ dài $k$ là một động vật nằm ở bộ $(s_1, \dots, s_k)$ gồm $k$ ô vuông con của bảng $n \times n$ các ô vuông con, các ô vuông con này đôi một khác nhau, đồng thời $s_i$ và $s_{i+1}$ có chung cạnh với mọi $i = 1, \dots, k-1$. Nếu con rắn nằm ở $(s_1, \dots, s_k)$ và $s$ là một ô vuông con không thuộc bộ đó và có chung cạnh với $s_1$, thì nó có thể di chuyển đến $(s, s_1, \dots, s_{k-1})$. Con rắn được gọi là quay lại nếu lúc đầu nó ở vị trí $(s_1, s_2, \dots, s_k)$ và sau một số hữu hạn lần di chuyển nó ở vị trí $(s_k, s_{k-1}, \dots, s_1)$. Tồn tại hay không số nguyên $n > 1$ có tính chất: có thể đặt một con rắn độ dài $0.9n^2$ trong một bảng $n \times n$ sao cho nó có thể quay đầu.
4. Ta nói $f: \mathbb{Z}_{\ge 0} \times \mathbb{Z}_{\ge 0} \to \mathbb{Z}$ là lớn nếu với mỗi số tự nhiên $m$ và $n$, $$f(m + 1, n + 1) f(m, n) - f(m + 1, n) f(m, n + 1) = 1.$$ Nếu $A = (a_0, a_1, \dots)$ và $B = (b_0, b_1, \dots)$ là hai dãy các số nguyên, ta viết $A \sim B$ nếu tồn tại hàm lớn $f$ thỏa mãn $f(n, 0) = a_n$ và $f(0, n) = b_n$ với mỗi số tự nhiên $n$. Chứng minh rằng nếu $A$, $B$, $C$, và $D$ là bốn dãy thỏa mãn $A \sim B$, $B \sim C$, và $C \sim D$, thì $D \sim A$.
5. Cho $n$ là một số nguyên dương. Tasty và Stacy được tặng một cái vòng với $3n$ viên sapphire và $3n$ viên lam ngọc sao cho không có ba viên liên tiếp cùng màu. Họ cùng nhau chơi một trò chơi lần lượt loại đi ba viên liên tiếp, theo các điều kiện sau
   
   • Tasty phải loại ba viên liên tiếp theo thứ tự lam ngọc, sapphire, lam ngọc ở mỗi lần chơi của mình.
   • Stacy phải loại ba viên liên tiếp theo thứ tự sapphire, lam ngọc, sapphire ở mỗi lần chơi của mình. Họ thắng nếu loại bỏ được tất cả các viên đá sau $2n$ lượt chơi.
   Chứng minh rằng nếu họ có thể thắng khi Tasty đi trước thì họ cũng có thể thắng khi Stacy đi trước.
6. Cho tam giác $ABC$ với tâm nội tiếp $I$, và $D$ là điểm trên đường thẳng $BC$ thỏa mãn $\angle AID=90^{\circ}$. Đường tròn bàng tiếp đỉnh $A$ của tam giác $ABC$ tiếp xúc với $BC$ tại $A_1$. Xác định các điểm $B_1$, $C_1$ tương tự. Chứng minh rằng nếu $AB_1A_1C_1$ nội tiếp thì $AD$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp của tam giác $DB_1C_1$.