Chương trình đào tạo và bồi học sinh năng khiếu toán bậc phổ thông đã qua chặng gần nửa thế kỷ. Nhìn lại chặng đường dài và đầy khó khăn thách thức đó, ta thấy hiện rõ lên một chu trình của chương trình đào tạo đặc biệt gắn với sự khởi đầu, trưởng thành và ngày càng hoàn thiện xuất phát từ một mô hình trường chuyên, lớp chọn về năng khiếu Tóan học tại Đại học Tổng hợp Hà Nội trước đây và Đại học Khoa học Tự nhiên ngày nay. Với mục tiêu của hướng đào tạo mũi nhọn này là mang tính đột phá cao, đào tạo ra các thế hệ học sinh có năng khiếu trong lĩnh vực toán học, tin học và khoa học tự nhiên, nhiều thế hệ học sinh đã ra trường và trưởng thành, đóng vai trò nòng cốt trong nhiều lĩnh vực của đời sống kinh tế xã hội hiện đại. Trong điều kiện thiếu thốn về vật chất kéo dài qua nhiều thập kỷ và trải qua nhiều thách thức, chúng ta đã tìm ra hướng đi phù hợp, đã đi lên vững chắc và ổn định, đã tìm tòi, tích luỹ kinh nghiệm và có nhiều sáng tạo đáng ghi nhận. Các thế hệ Thầy và Trò đã định hình và tiếp cận với thế giới văn minh tiên tiến và khoa học hiện đại, cập nhật thông tin, sáng tạo phương pháp và tập dượt nghiên cứu. Gắn với việc tích cực đổi mới phương pháp dạy và học, chương trình đào tạo chuyên Toán đang hướng tới xây dựng hệ thống chuyên đề, đang nỗ lực và đã tổ chức thành công Kỳ thi Olympic Toán quốc tế lần thứ 48, năm 2007 tại Việt Nam, được bạn bè quốc tế ca ngợi. Sau gần nửa thế kỷ hình thành và phát triển, có thể nói, giáo dục mũi nhọn phổ thông (giáo dục năng khiếu) đã thu được những thành tựu rực rỡ, được Nhà nước đầu tư có hiệu quả, được xã hội thừa nhận và bạn bè quốc tế khâm phục. Các đội tuyển quốc gia tham dự các kỳ thi Olympic quốc tế có bề dày thành tích mang tính ổn định và có tính kế thừa. Đặc biệt, năm nay, các Đội tuyển Toán và Tin quốc gia tham dự thi Olympic quốc tế đã đạt được thành tích nổi bật. Đội tuyển Toán Việt Nam đã vươn lên đứng thứ ba (theo sự sắp xếp không chính thức) trong số 95 đội tuyển các nước tham dự IMO 48.
Đặc biệt, năm nay, năm 2008, lần đầu tiên nước ta đã tham gia vào kỳ thi Olympic Toán sinh viên quốc tế. Đội tuyển gồm 4 sinh viên của Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN, đã đoạt 1 huy chương vàng, 1 huy chương bạc và 2 huy chương đồng. Kết quả này đã đánh dấu một giai đoạn mới trong quá trình hội nhập quốc tế, hội nhập ở bậc đại học và sau đại học. Các sinh viên tự trình bày bài giải bằng tiếng Anh trong 2 ngày (mỗi ngày 5 tiếng) về các dạng toán hiện đại của giải tích thực và phức, của đại số và đại số tuyến tính, của toán rời rạc và lý thuyết trò chơi. Từ nhiều năm nay, các hệ năng khiếu Toán học và các Trường THPT Chuyên thường sử dụng song song các sách giáo khoa đại trà kết hợp với sách giáo khoa chuyên biệt và sách chuyên đề cho các Hệ THPT Chuyên. Học sinh các lớp năng khiếu đã tiếp thu tốt các kiến thức cơ bản theo thời lượng hiện hành do Bộ GD và ĐT ban hành.
Cuốn sách này nhằm cung cấp một số kiến thức chuyên đề ở mức độ khó về tóan rời rạc, đại số, số học, giải tích và hình học. Đây cũng là chuyên đề và bài giảng mà các tác giả đã giảng dạy cho học sinh các đội tuyển thi Olympíc Toán học quốc gia và quốc tế.
