# [Solutions] India Regional Mathematical Olympiad 2007

1. Let $ABC$ be an acute-angled triangle; $AD$ be the bisector of $\angle BAC$ with $D$ on $BC$; and $BE$ be the altitude from $B$ on $AC$. Show that $\angle CED > 45^\circ .$
2. Let $a, b, c$ be three natural numbers such that $a < b < c$ and $\gcd (c - a, c - b) = 1$. Suppose there exists an integer $d$ such that $a + d, b + d, c + d$ form the sides of a right-angled triangle. Prove that there exist integers $l,m$ such that $c + d = l^{2} + m^{2} .$
3. Find all pairs $(a, b)$ of real numbers such that whenever $\alpha$ is a root of $x^{2} + ax + b = 0$, $\alpha^{2} - 2$ is also a root of the equation.
4. How many 6-digit numbers are there such that
a) The digits of each number are all from the set $\{1,2,3,4,5\}$,
b) any digit that appears in the number appears at least twice ?
(Example: $225252$ is valid while $222133$ is not)
5. A trapezium $ABCD$, in which $AB$ is parallel to $CD$, is inscribed in a circle with centre $O$. Suppose the diagonals $AC$ and $BD$ of the trapezium intersect at $M$, and $OM = 2$.
a) If $\angle AMB$ is $60^\circ ,$ find, with proof, the difference between the lengths of the parallel sides.
b) If $\angle AMD$ is $60^\circ ,$ find, with proof, the difference between the lengths of the parallel sides.
6. Prove that
a) $5<\sqrt {5}+\sqrt [3]{5}+\sqrt [4]{5}$,
b) $8>\sqrt {8}+\sqrt [3]{8}+\sqrt [4]{8}$,
c) $n>\sqrt {n}+\sqrt [3]{n}+\sqrt [4]{n}$ for all integers $n\geq 9 .$
 MOlympiad.NET là dự án thu thập và phát hành các đề thi tuyển sinh và học sinh giỏi toán. Quý bạn đọc muốn giúp chúng tôi chỉnh sửa đề thi này, xin hãy để lại bình luận facebook (có thể đính kèm hình ảnh) hoặc google (có thể sử dụng $\LaTeX$) bên dưới. BBT rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc liên hệbbt.molympiad@gmail.comChúng tôi nhận tất cả các định dạng của tài liệu: $\TeX$, PDF, WORD, IMG,...