# [Solutions] India Regional Mathematical Olympiad 2005

1. Let $ABCD$ be a convex quadrilateral; $P,Q, R,S$ are the midpoints of $AB, BC, CD, DA$ respectively such that triangles $AQR, CSP$ are equilateral. Prove that $ABCD$ is a rhombus. Find its angles.
2. If $x,y$ are integers and $17$ divides both $x^2 -2xy + y^2 -5x + 7y$ and $x^2 - 3xy + 2y^2 + x - y$, then prove that $17$ divides $xy - 12x + 15y$.
3. If $a,b,c$ are positive three real numbers such that $| a-b | \geq c$, $| b-c | \geq a$, $| c-a | \geq b$. Prove that one of $a,b,c$ is equal to the sum of the other two.
4. Find the number of 5-digit numbers that each contains the block '15' and is divisible by 15.
5. In a triangle $ABC$, $D$ is midpoint of $BC$. If $\angle ADB = 45 ^{\circ}$ and $\angle ACD = 30^{\circ}$, determine $\angle BAD.$
6. Determine all triples of positive integers $(a,b,c)$ such that $a \leq b \leq c$ and $$a +b + c + ab+ bc +ca = abc +1.$$
7. Let $a,b,c$ be three positive real numbers such that $a+ b +c =1$. Let $$\lambda = \min \{ a^3 + a^2bc , b^3 + b^2 ac , c^3 + ab c^2 \}.$$ Prove that the roots of $x^2 + x + 4 \lambda = 0$ are real.
 MOlympiad.NET là dự án thu thập và phát hành các đề thi tuyển sinh và học sinh giỏi toán. Quý bạn đọc muốn giúp chúng tôi chỉnh sửa đề thi này, xin hãy để lại bình luận facebook (có thể đính kèm hình ảnh) hoặc google (có thể sử dụng $\LaTeX$) bên dưới. BBT rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc liên hệbbt.molympiad@gmail.comChúng tôi nhận tất cả các định dạng của tài liệu: $\TeX$, PDF, WORD, IMG,...