Trong một bài báo cáo được đăng tải trong hôm nay ($20/9/2018$), Peter Scholze đến từ đại học Bonn và Jakob Stix từ đại học Goethe University Frankfurt đã nêu ra một lỗ hổng được coi là "nghiêm trọng, không thể sửa chữa được" trong bài chứng minh rất dài của Shinichi Mochizuki, ông là một nhà toán học của đại học Kyoto và nổi tiếng vì trí tuệ của mình. Bài viết của Mochizuki đăng lên mạng năm $2012$ được cho là đã chứng minh được giả thuyết abc - một trong những vấn đề "khó vậy" nhất của lý thuyết số.
Dù có nhiều cuộc thảo luận nhằm giải thích cách chứng minh của Mochizuki, các nhà lý thuyết số đã phải nỗ lực để hiểu các ý tưởng nền tảng của nó. Chuỗi các bài viết của Mochizuki gồm $500$ trang được trình bày theo lối viết rất khó hiểu, ngoài ra còn liên kết với các bài viết trước đó của ông, khiến nó trở thành một thứ được cho là "dãy hồi quy vô hạn" theo đánh giá của Brian Conrad từ đại học Stanford.
Khoảng $12$ đến $18$ nhà toán học nghiên cứu chuyên sâu chứng minh này đều tin rằng nó đúng, điều này được nhắc đến trong một bức thư điện tử gửi đến Ivan Fesenko của đại học Nottingham. Nhưng chỉ những nhà toán học trong "quỹ đạo của Mochizuki" mới xác nhận của tính chính xác trong bài chứng minh, Conrad đã bình luận như vậy trong một blog tranh luận vào cuối tháng $11$.
"Không có một ai có thể sẵn sàng nói ngay cả khi họ không tin rằng họ đã hoàn thành chứng minh."
Tuy nhiên, Frank Calegari từ đại học Chicago đã đăng tải bài viết lên blog vào tháng $11$, "các nhà toán học không muốn tuyên bố rằng có vấn đề trong cách chứng minh của Michozuki bởi vì họ không chỉ ra được lỗi cụ thể nào." Nhưng thời thế đã thay đổi, trong bản báo cáo của Scholze và Stix cho rằng dòng giải thích gần phần cuối của bài chứng minh của hệ quả $3.12$ trong phần ba về cơ bản là thiếu sót. Hệ quả này là trọng tâm của phần suy ra giả thuyết abc của Michozuki.
Tôi nghĩ giả thuyết abc vẫn còn để ngỏ." Scholze cho biết. "Mọi người giờ đây đều có cơ hội giải quyết nó.
Kết luận của Scholze và Stix không chỉ dựa vào bài nghiên cứu của họ mà còn nhờ chuyến thăm Mochizuki dài ngày và đồng nghiệp Yuichiro Hoshi ở đại học Kyoto vào tháng Ba để bàn về bài chứng minh. Chuyến thăm đó có ý nghĩa rất lớn trong việc hiểu rõ bản chất bài phản bác của Stix và Scholze . Cặp đôi "đã đi đến kết luận là không có bằng chứng thuyết phục", trong một bản báo cáo của họ.
 |
| Peter Scholze đã nhận giải Fields đầu tháng trước. |
Tuy nhiên cuộc gặp mặt đã đem lại một kết luận kỳ quặc và không thỏa mãn: Mochizuki không thể thuyết phục Scholze và Stix về độ đáng tin cậy của bài chứng minh, cũng như Scholze và Stix không thể chứng minh cho Mochizuki sự vô lý của nó. Hiện tại Mochizuki đã đăng tải bài viết cho Scholze và Stix lên trang web cá nhân, cùng với nhiều bài viết của ông nhằm bác bỏ nó. (Lưu ý: Mochizuki và Hoshi không phản hồi các yêu cầu bình luận trong bài viết). Trong bài phản bác, Mochizuki cho rằng bài phê bình của Scholze và Stix là kết quả của "sự hiểu sai cơ bản" về công trình của ông.Theo lời Mochizuki thì "cách nghĩ tiêu cực" của họ "hoàn toàn không chỉ ra được bất kỳ sai sót nào" trong lý thuyết của ông.
Cũng giống như sự uy tín của Mochizuki đã khiến các nhà toán học xem công trình của ông là một nỗ lực đáng khen ngợi cho giả thuyết abc, Scholze và Stix đảm bảo rằng họ sẽ phải bảo đảm những gì họ nói sẽ thu hút sự chú ý của các nhà Toán học khác. Mới 30 tuổi nhưng Scholze đã vươn lên đứng đầu trong lĩnh vực anh nghiên cứu. Anh được trao giải Fields vào tháng Tám, giải thưởng danh giá nhất trong Toán học. Trong khi đó, Stix là một chuyên gia trong lĩnh vực đặc biệt mà Mochizuki nghiên cứu, lĩnh vực được gọi là hình học anabelian.
"Peter và Jakob là những nhà toán học đặc biệt cẩn thẩn và chu đáo." Conrad chia sẻ. "Bất cứ vấn đề nào họ đang quan tâm... đều được giải quyết."
The Sticking Point
Giả thuyết abc, theo như lời Conrad thì là "một trong những giả thuyết nổi bật nhất của lý thuyết số", bắt đầu với một trong số những phương trình cơ bản nhất: $a+b=c$. Ba số $a,b,c$ là các số nguyên dương, đôi một nguyên tố cùng nhau - ví dụ xét các phương trình $8+9=17$, hoặc $5+16=21$ nhưng phương trình $6+9=15$ không thỏa mãn vì $6,9,15$ đều chia hết cho $3$.
Với mỗi phương trình như vậy, xét tất cả các ước nguyên tố của các ba số trên - ví dụ với phương trình $5+16=21$, các số nguyên tố là $5,2,3,7$. Nhân lại được $210$, con số lớn hơn bất kỳ số nào trong phương trình đã cho. Ngược lại, với phương trình $5+27=32$, các ước nguyên tố là $5,3,2$ kết quả mang lại là $30$ - con số nhỏ hơn số $32$ trong phương trình ban đầu. Kết quả nhỏ bởi vì $27$ và $32$ chỉ có các ước nguyên tố nhỏ (lần lượt là $3$ và $2$) được lũy thừa lên.
Nếu bạn bắt đầu trò chơi với bộ ba $abc$ khác, thì bạn sẽ thấy kịch bản thứ hai này còn hiếm gặp hơn. Ví dụ, trong $3044$ bộ khác nhau mà bạn có thể thực hiện với $a$ và $b$ từ $1$ đến $100$, chỉ có $7$ bộ có tích của các ước nguyên tố nhỏ hơn $c$. Giảt thuyết abc, lần đầu tiên được xây dựng vào những năm $1980$, khiến ta nhìn ngay đã biết rằng bộ kiểu này khó xảy ra.
Cụ thể hơn, quay lại ví dụ $5+27=32$, $32$ lớn hơn $30$ một chút (có $2$ đơn vị thôi). Nó nhỏ hơn $30^{2}$ hoặc $30^{1,5}$ hay thậm chí là $30^{1,02}$ $= 32.11$. Giả thuyết abc cho rằng nếu bạn chọn bất kỳ số mũ lớn hơn $1$, thì chỉ tồn tại hữu hạn nhiều bộ $abc$ trong đó $c$ lớn hơn tích các số nguyên tố nâng lên số mũ bạn đã chọn.
"Giả thuyết abc là một phát biểu rất cơ bản về phép nhân và phép cộng." Minhyong Kim của đại học Oxford cho biết. Kiểu khẳng định như vậy khiến bạn có suy nghĩ bạn đang tiết lộ cấu trúc cơ bản về hệ thống số nói chung mà bạn trước đây chưa từng thấy.
Và sự cơ bản của phương trình $a+b=c$ có nghĩa là một loạt các vấn đề khác nằm dưới ảnh hưởng của giả định $abc$. Ví dụ, định lý lớn Fecma về phương trình có dạng $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ và giả định của Catalan, giả định này cho rằng $8$ và $9$ là hai số lũy thừa hoàn hảo duy nhất $(8=2^{3},9=3^{2})$ đưa được về phương trình $x^{m}+1=y^{n}$. Giả thuyết abc (trong vài dạng cụ thể) đưa ra những cách chứng minh mới cho hai định lý này và giải quyết được nhiều bài toán mở liên quan. Theo lời của Dorian Goldfeld từ đại học Columbia thì giả thuyết "dường như luôn nằm trên ranh giới của những gì đã biết và những gì chưa biết."
 |
| Jakob là một chuyên gia trong hình học anabelian, cùng lĩnh vực với Mochizuki. |
Việc suy ra được rất nhiều hệ quả từ giả thuyết abcđã làm cho các nhà lý thuyết số tin rằng chứng minh giả thuyết abc rất khó. Vì vậy từ khi một phần của bài chứng minh của Michozuki được lan truyền năm $2012$, nhiều nhà lý thuyết số đã nhiệt tình tham gia nghiên cứu với ông - chỉ bị cản trở bởi sự không đồng ngôn ngữ và cách trình bày "lạ" của Mochizuki. Các định nghĩa được viết trong nhiều trang giấy, tiếp đó các định lý cũng được phát biểu rất dài nhưng phần chứng minh các định lý này chỉ viết "được suy ra trực tiếp từ các định nghĩa."
Calegari đã chia sẻ trên bài bài đăng của blog cá nhân rằng: "Mỗi lần tôi nghe một bài phân tích về các báo cáo của Mochizuki bởi một chuyên gia nào đó thì bài báo cáo đó luôn có mô-tip quen thuộc: lĩnh vực nghiên cứu thì đơn giản nhưng đưa ra được những kết quả to lớn."
Scholze là một trong những người đọc bài chứng minh giả thuyết abc sớm nhất. Do có thể tiếp thu các kiến thức toán học nhanh và chuyên sâu nên Scholze hiểu nhanh hơn nhiều nhà lý thuyết số khác, đã đọc xong bốn bài viết chính ngay khi chúng được xuất bản; tuy nhiên Scholze lại chưa hoàn toàn đồng tình với chúng. Scholze cảm thấy khó hiểu với những định lý dài lại có cách chứng minh ngắn, theo lời anh thì vẫn có thể xảy ra nhưng không đáng kể. Trong bài báo sau này anh viết thì "rất ít có thể xảy ra".
Sau đó Scholze đọc đến hệ quả $3.12$ trong bài viết thứ ba. Các nhà toán học thường dùng từ "hệ quả" để chỉ một định lý là kết quả suy ra từ định lý trước, mà nó lại quan trọng hơn định lý đầu. Nhưng trong trường hợp hệ quả $3.12$ của Mochizuki, các nhà toán học đã cùng đồng tình đó chính là cốt lõi của việc chứng minh giả thuyết abc. Nếu không có nó thì không chứng minh được theo lời Calegari. "Đó là một bước quan trọng."
Hệ quả này là một định lý nằm giữa bài chứng minh và có cách chứng minh được trình bày trong $9$ tờ (ngắn rồi đấy). Khi Scholze đọc đến đây, anh phát hiện ra một điểm mà anh không thể tài nào suy luận được.
Lúc đọc nó thì Scholze mới $24$ tuổi nhưng đã biết bài chứng minh không hoàn thiện. Nhưng anh chỉ thảo luận trên giấy tờ trừ khi được hỏi trực tiếp về cách anh suy nghĩ. Sau đó, anh nghĩ, các nhà khoa học khác đã tìm ra ý tưởng quan trong trên bài chứng minh nhưng anh chưa tìm ra hoặc họ cũng rút ra được kết luận như anh. Từ đó anh tin rằng giới toán học chắc chắn sẽ giải quyết được giả định ABC.
Escher's Staircase
Trong khi đó, các nhà toán học phải vật lộn để hiểu cách chứng minh giả định ABC. Họ hy vọng có một buổi gặp mặt nhằm giải thích công trình của Mochizuki vào cuối năm $2015$ ở đại học Oxford. Nhưng khi các cộng sự thân thiết của Mochizuki đã trình bày các ý tưởng chính của bài chứng minh, thì ngay sau buổi gặp Conrad đã viết một bài báo cáo ngắn khiến cho người tham gia buổi gặp cảm thấy "mông lung như một trò đùa". Conrad viết: "Những người hiểu được bài chứng minh cần phải học phần hình học số nhiều hơn."
Trong vòng vài ngày kể từ khi bài viết của Conrad đưa ra, ông nhận được các email từ ba nhà toán học khác nhau (trong đó có Scholze), tất cả đều có nội dung: Họ có thể hiểu được bài chứng minh cho đến khi đọc đến một phần cụ thể. "Trong số những người gửi email đến tôi thì bài chứng minh khiến họ không hiểu ở đoạn $3.12$" Conrad đã chia sẻ như vậy.
Kim cũng có cùng quan điểm về Corollary $3.12$ như các nhà toán học khác như Teruhisa Koshikawa (đang làm việc tại đại học Kyoto) và Stix đều cùng thắc mắc ở một chỗ. Dần dần, nhiều nhà lý thuyết số nhận ra rằng hệ quả này vẫn chưa được làm sáng tỏ, nhưng mọi người vẫn chưa chắc chắn liệu phần chứng minh có lỗ hổng hay Mochizuki chưa giải thích rõ phần lập luận của ông.
Sau đó cuối năm $2017$, một tin đồn lan truyền rằng bài nghiên cứu của Mochizuki được chấp nhận xuất bản, chê bài các nhà lý thuyết số đã phản bác ông. Bản thân Mochizuki là tổng biên tập của tạp chí vừa đề cập trên, có tên gọi Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences, đã nhận xét Calegari có "cái nhìn thiển cận". Nhưng việc các nhà lý thuyết số quan ngại hơn là bài chứng minh vẫn rất khó đọc như họ lo ngại.
"Không có chuyên gia nào khẳng định họ hiểu bài chứng minh, có thể giải thích cho những người khác hiểu bài chứng minh được." Matthew Emerton đến từ đại học Chicago cho biết.
Calegari đã đăng tải một bài viết lên blog và chỉ trích bài viết như "một thảm họa", kêu gọi hưởng ứng các các nhà lý thuyết số nổi tiếng khác. "Hiện tại chúng tôi đang có một tình huống vô lý khi ở Kyoto thì abc đã được chứng minh còn ở những nơi khác nó vẫn là một giả thuyết." Calegari viết.
PRIMS nhanh chóng trả lời với các câu hỏi của báo chí rằng trên thực tế bài chứng minh vẫn chưa được chấp nhận. Tuy nhiên trước đó, Scholze đã giải quyết công khai những gì anh đã nói riêng với các nhà lý thuyết số. Toàn bộ phần tranh luận xung quanh bài chứng minh theo lời Scholze thì quá "mang tính xã hội học". "Mọi người chỉ nói về cách họ cảm giác bài chứng minh chưa thuyết phục chứ không ai có thể phát biểu rằng, 'Thực ra có điểm này mà không ai hiểu được cách chứng minh nó' ".
Vì vậy, trong mục bình luận phía dưới bài đăng blog của Calegari, Scholze đã viết rằng anh hoàn toàn không hiểu cách lập luận từ hình $3.8$ đến phần chứng minh của hệ quả $3.12$. Anh còn cho biết thêm các nhà toán học khẳng định họ hiểu bài chứng minh đều không sẵn sàng thừa nhận rằng phần chứng minh cần bổ sung thêm.
Shigefumi Mori, đồng nghiệp của Mochizuki ở đại học Kyoto và chủ nhận của giải Fields, đã viết thư cho Scholze đề nghị tạo điều kiện cho một cuộc gặp gỡ giữa anh và Mochizuki. Scholze đến gặp Stix trước sau đó vào tháng Ba cả hai đến Kyoto để bàn về phần chứng minh chưa hoàn thiện với Mochizuki và Hoshi.
Hướng tiếp cận của Mochizuki với giả thuyết abc chuyển vấn đề thành câu hỏi về các đường cong elliptic, một dạng đặc biệt của phương trình bậc ba gồm hai biến $x$ và $y$. Các đường cong này đã nổi tiếng trước khi Mochizuki cho ra đời bài chứng minh và rất đơn giản - bạn kết hợp từng phương trình $abc$ với đường cong elip có độ thị đi qua $x$ - axis tại $a$,$b$ và gốc tọa độ - tuy vậy nó cho phép các nhà toán học khám phá cấu trúc rộng rãi của đường cong elip (kiến thức gồm cả lý thuyết số và hình học,tính toán,....) Ngoài ra trọng tâm phần chứng minh định lý Fecma lớn của Andrew Wiles hoàn tất năm 1994 cũng sử dụng kiến thức này.
Giả thuyết ABC chính là kết quả chính của của việc chứng minh bất đẳng thức giữa hai đại lượng liên kết với đường cong elip. Công trình của Mochizuki đã đưa bất đẳng thức này sang hình thức khác, mà theo lời Stix thì có thể coi là so sánh thể tích của hai tập hợp. Trong phần hệ quả $3.12$, Mochizuki đã trình bày cách chứng minh bất đẳng thức mới này, nếu bất đẳng thức này đúng thì giả thuyết abc được chứng minh.
Cách chứng minh, như lời Scholze và Stix miêu tả, thì gồm xem thể tích của hai tập hợp tồn tại trong các bản sao khác nhau của tập số thực, các bản sao này là một phần của vòng tròn gồm $6$ bản sao khác nhau của tập số thực, và ánh xạ giải thích mỗi bản sao có mối liên hệ như thế nào với các bản sao khác trong vòng tròn. Để theo dõi thể tích của các tập hợp liên hệ với nhau như thế nào, cần phải hiểu cách đo thể tích của một bản sao so với cách đo các bản sao khác, Stix cho biết.
"Nếu bạn có bất đẳng thức giữa hai số mà trong thước đo có một phần bạn không chứng minh được, thì bất đẳng thức đó vẫn bị bỏ ngỏ." Stix nói.
Scholze và Stix tin rằng đây chính là phần quan trọng trong bài chứng minh khiến nó bị sai. Trong phần ánh xạ của Mochizuki, các thước đo đều liên kết với nhau. Nhưng trong vòng tròn tồn tại một thước đo có cách nhìn khác với các thước đo còn lại. Tình huống này như lời Stix nói giống như cầu thang quanh co nổi tiếng của Escher, leo lên bằng cách nào đó nhưng cuối cùng dừng lại ở vị trí sau chỗ xuất phát.
Sự không tương thích này trong phép đo thể tích cho thấy rằng bất đẳng thức được suy ra so sánh hai đại lượng sai, Scholze và Stix khẳng định. Và nếu như bạn điều chỉnh để các phép đo thể tích tương ứng lẫn nhau, thì bất đẳng thức trở nên vô lý, họ cho biết.
Scholze và Stix đã "chỉ ra được tại sao cách chứng minh đó không hiệu quả", Kiran Kedlaya cho biết, ông là một nhà toán học đến từ đại học California, San Diego. Ông đã nghiên cứu chuyên sâu các bài viết của Mochizuki . "Vì vậy nếu bài chứng minh này chính xác, nó sẽ phải chứng minh những thứ hoàn toàn khác và tinh tế hơn nhiều" so với cái Scholze và Stix đã nêu ra.
Mochizuki tin rằng bài chứng minh đã có những phép lập luận tinh tế. Ông cho rằng Scholze và Stix đã mắc lỗi trong việc xác định hai đại lượng toán học tùy ý nhưng lại khác nhau hoàn toàn. Khi Mochizuki kể cho các đồng nghiệp nghe về sự phản bác ý kiến của Scholze và Stix, ông đã viết "ông được phản hồi bởi nhiều người rằng họ rất bất ngờ hay thậm chí không tin (đôi khi kèm theo tiếng cười) về việc bài chứng minh của ông lại mắc những lỗi sai cơ bản như vậy."
Hiện tại các nhà toán học rất hào hứng với với phần phản biện của Scholze và Stix và sự phản hồi lại của Mochizuki. Nhưng Scholze hy vọng rằng, trái ngược với khi phản bác các bài viết gốc của Mochizuki, quá trình này sẽ không kéo dài, vì ý chính của bài phản bác không mang tính kỹ thuật cao. Anh cho biết "Các nhà toán học khác hoàn toàn có thể theo dõi các cuộc thảo luận với Mochizuki của chúng tôi trong tuần này".
Mochizuki lại nhìn mọi việc theo cách khác. Quan điểm của ông thì cách chỉ trích của Scholze và Stix bắt nguồn từ "sự thiếu thời gian nghiên cứu kỹ vấn đề" có lẽ cùng với "cảm giác không thoải mái, không quen với cách nhìn mới về các dạng toán quen thuộc".
Theo Kim, những nhà toán học nghi ngờ cách chứng minh abc của Mochizuki có thể đọc bài viết của Scholze và Stix. Còn những người khác có thể tự nghiên cứu chứng minh như cách Kim đang làm. "Tôi nghĩ rằng tôi nên kiểm tra cẩn thận trước khi quyết đinh." ông đã viết như vậy trong một email.
Trong vài năm qua, nhiều nhà lý thuyết số đã bỏ cuộc trong việc hiểu hết bài chứng minh của Mochizuki. Nhưng nếu Mochizuki và những người đồng tình với cách chứng minh đó có thể đưa ra cách giải thích đầy đủ và mạch lạc về lý do tại sao cách nhìn của Scholze và Stix quá đơn giản (giả sử là như vậy), "sẽ là một quá trình dài để giảm bớt sự khó hiểu và khiến mọi người sẵn lòng để tiếp tục nghiên cứu vấn đề này" Kedlaya chia sẻ.
Trong khi chờ đợi, Scholze nói: "Tôi không nghĩ đây không được coi là một bài chứng minh cho đến khi Mochizuki kiểm tra lại và giải thích cách làm cụ thể hơn." Theo quan điểm của anh thì "Tôi không thể tìm ra ý tưởng nào có chứng minh giả thuyết abc."
Theo Kim thì bất kể kết quả cuối cùng của cuộc thảo luận này thế nào, việc cụ thể hóa một phần cụ thể trong bài phản biện lại cách chứng minh của Mochizuki đều khiến giả thuyết abc rõ ràng hơn. "Những gì Jakob và Peter đã làm đều có ích với cộng đồng." ông chia sẻ. "Bất cứ điều gì xảy ra, tôi khá tự tin rằng các bài báo cáo sẽ đạt được một tiến bộ nhất định."
Người dịch: Hoàng Thị Lê Trà, THPT chuyên Phan Bội Châu
Dịch từ: quantamagazine.org
Dịch từ: quantamagazine.org