Đề Thi Chọn Đội Tuyển Tỉnh Nam Định Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2018-2019

1. Giài hệ phương trình $$\begin{cases}8 x^{3}-y^{3}+6 y^{2}-6 x-9 y+2 &=0 \\ 4 x^{2}+\sqrt{1-4 x^{2}}-3 \sqrt{(y-1)(3-y)}+1 &=0\end{cases}$$
2. Kí hiệu $\alpha=1+\sqrt{3}$.
   a) Tim tất cả các đa thức $P(x) \neq 0$ có các hệ số nguyên và có bậc bé nhất sao cho $P(\alpha)=0$.
   b) Giả sử $Q(x)=x^{2018}+a_{2017} x^{2017}+\cdots+a_{1} x+a_{0}$ là đa thức có các hệ sổ nguyên thỏa mãn $Q(\alpha)=0$. Chứng minh rằng đa thức $Q(x)$ chia hết cho đa thức $(x^{2}-2 x-2)$ và có $$a_{0}+a_{1}+\cdots+a_{2017} \equiv 2 \pmod 3.$$
3. Cho tam giác $A B C$ nhọn với $A B < A C$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $D$ là hình chiểu của $A$ trên $B C$. Đường thẳng qua $D$ vuông góc với $A B$ cắt $A C$ tại $E$. Đường thằng qua $D$ vuông góc với $A C$ cắt $A B$ tại $F$. Tiếp tuyến cùa đường tròn $(O)$ tại $A$ cắt các đường thẳng $E F$, $B C$ lần lượt tại $G$, $S$. Gọi $M$, $R$ lần lượt là trung điểm của $B C$, $A D$.
   a) Chứng minh rằng $G R \perp A M$.
   b) Gọi $I$, $J$ turong ứng là giao điểm của các đường thẳng $D E$, $D F$ với đường thẳng $G R$. $K$, $L$ lần lượt là trung điểm của $J E$, $I F$. Chứng minh rằng $R$ là trung điểm của đoạn $I J$ và $O S$ song song với $K L$.
4. Tìm tất cà các hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thóa mãn điều kiện $$f(f(x)+f(y))=f\left(x^{2}\right)+2 x^{2} f(y)+(f(y))^{2},\, \forall x, y \in \mathbb{R}$$
5. a) Cho số nguyên dương $n$. Đặt $S_{n}$ là tập các số có $n$ chữ số được lấy từ $S=\{0,1,2,3,4\}$ ờ đây các chữ số đầu có thể là $0$. (Ví dụ số $001243$ được coi là số có $6$ chữ số.) Hỏi tập $S_{n}$ có bao nhiêu số không vượt quá $10^{2018}$ và tồng các chữ số của số đó là chẵn.
   b) Cho dãy $\underbrace{a a \ldots a b}_{100}$ (chứa $99$ kí tự $a$ và $1$ kí tự $b$). Mỗi bước có thề thực hiện một trong các phép toán: chuyển $a b a$ thành $b$ hoặc ngược lại, hoặc có thể chuyển $b b a$ thành $a$ hoặc ngurợc lại. Hỏi sau hữu hạn bước có thể chuyển về dãy $\underbrace{a a \ldots a}_{50}b\underbrace{a a \ldots a}_{49}$ được hay không?
6. Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $$\frac{1}{4a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+4b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+b^2+4c^2}\leq \frac{1}{2}.$$
7. Xét $a$, $b$ là các số thực dương thòa mãn phương trình $$x^{3}-3 x^{2}+a x-b=0$$ có ba nghiệm thực (không nhất thiết phân biệt), gọi các nghiệm này là $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$. Đặt $$u_{n}=\frac{x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+x_{3}^{n}}{x_{1}^{n+1}+x_{2}^{n+1}+x_{3}^{n+1}},\,\forall n \in \mathbb{N}^{*}.$$ a) Xét tính đơn điệu của dãy số $\left(u_{n}\right)$ khi $a \in(0 ;+\infty) \backslash\{3\}$.
   b) Tim các số dương $a$, $b$ để $$\frac{1}{u_{1}}+\frac{1}{u_{2}}+\frac{1}{u_{3}}+\cdots+\frac{1}{u_{n}}<\sqrt{n^{2}+2018},\, \forall n \in \mathbb{N}^{*}.$$
8. Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ và ngoại tiếp đường tròn tâm $I$. Đường tròn $(I)$ tiếp xúc với các cạnh $B C$, $C A$, $A B$ lần lượt tại $D$, $E$, $F$. Gọi $H$, $K$ lần lượt là trực tâm của tam giác $A B C$ và tam giác $D E F$.
   a) Chứng minh rằng $I$, $O$, $K$ thẳng hàng.
   b) Gọi $S$, $T$ lần lượt là trung điểm của các doạn thẳng $A H$, $B H$. Các điểm $M$, $N$ tương ứng là điểm đối xứng của $S$, $T$ qua $E F$, $D F$. Chứng minh rằng đường thẳng $M N$ đi qua trực tâm tam giác $D E F$.
9. Có tồn tại hay không $2019$ số nguyên tố phân biệt $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{2019}$ và số nguyên durong $n$ thỏa mãn $$\sum_{i=1}^{2019} \frac{1}{p_{i}^{2}+1}=\frac{1}{n^{2}}.$$
10. Giả sử có một bàn cờ vua với số lượng ô vuông con đủ lớn, một quân mã dịch chuyền trên bàn cờ theo quy tắc: ở mỗi nước đi, nó dịch chuyển qua $p$ ô liên tiếp theo hàng ngang rồi qua tiếp $q$ ô liên tiếp theo hàng dọc; hoặc là dịch chuyền qua $q$ ô liên tiếp theo hàng dọc rồi qua $p$ ô liên tiếp theo hàng ngang. Biết rằng sau đúng $n$ nức đi thi quân mã quay về ô vuông ban đầu, chứng minh rằng $n$ là số chẵn.