[Trần Nam Dũng] Bài Tập Luyện Đội Tuyển Việt Nam Tham Dự IMO 2018

1. Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} +\dfrac{1}{c} = 1$. Chứng minh rằng $$(a^2-3a+3)(b^2-3b+3)(c^2-3c+3) \ge a^2 + b^2 + c^2.$$
2. Cho tam giác nhọn $ABC$. Đường tròn nội tiếp tam giác tâm $I$ tiếp xúc với các cạnh $AB$ và $AC$ lần lượt tại $K$ và $L$. $BI$ và $CI$ cắt đường cao $AH$ lần lượt tại $P$ và $Q$. Chứng minh rằng trục đẳng phương của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $BKP$ và $CQL$ đi qua trung điểm của đường cao $AH$.
3. Gọi $T$ là tập hợp tất cả những bộ ba số nguyên $ (x, y, z) $ có tính thứ tự thỏa mãn $ 0 \le x, y, z \le 9 $. Hai bạn $A$ và $B$ chơi một trò chơi như sau: $A$ chọn một bộ $(x, y, z) $ trong $T$ và $B$ phải đoán được ra chính xác bộ $A$ đã chọn với một số ít lần hỏi nhất có thể. Mỗi lần hỏi, $B$ có thể chọn một bộ $(a,b,c)$ thuộc $T$ và gửi cho $A$ rồi $A$ sẽ cho $B$ biết giá trị của biểu thức $$E= |x+y-a-b| + |y+z-b-c| + |z+x-c-a| .$$ Tìm số lần ít nhất $B$ cần hỏi để tìm ra luôn tìm ra được câu trả lời.
4. Cho $x,y,z$ là các số thực khác $0$ thỏa mãn điều kiện $$x^2 - xy + yz = y^2 - yz + zx = z^2 - zx + xy .$$ Chứng minh rằng $${\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)^2} = 3\left( {{x^3}y + {y^3}z + {z^3}x} \right).$$ Tìm tất cả các giá trị có thể có của $T = \dfrac{(x+y+z)^3}{xyz}.$
5. Cho $100$ điểm nằm trong hình vuông đơn vị. Chứng minh rằng có thể nối chúng bằng một đường gấp khúc có độ dài không vượt quá $20$.
6. Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên dương $m$ và $n$ sao cho $$(2018^m-1)(2019^n-1)$$ là một số chính phương.
7. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp. Các điểm $M$, $N$ lần lượt di chuyển trên các cạnh $AD$ và $BC$ sao cho $\dfrac{MA}{MD} = \dfrac{NB}{NC}$. Chứng minh rằng đường tròn đi qua giao điểm của các đường thẳng $AB$, $CD$ và $MN$ luôn đi qua hai điểm cố định khi $M$, $N$ thay đổi.
8. Có $n$ $(n \ge 3)$ đội bóng chuyền thi đấu vòng tròn một lượt. Một bộ ba đội bóng được gọi là cân bằng nếu ba đội này thắng vòng tròn lẫn nhau. Tổng số tất cả các bộ ba cân bằng gọi là $B$. Tìm tất cả các giá trị có thể có của $B$.
9. Cho hàm số $f: \mathbb R \to\mathbb R$ thỏa mãn điều kiện $f(x)$ nguyên với mọi $x$ nguyên. Với mỗi số nguyên tố $p$, tồn tại đa thức $Q_p(x)$ có bậc nhỏ hơn $2018$, với hệ số nguyên sao cho $f(n) - Q_p(n)$ chia hết cho $p$ với mọi số nguyên dương $n$. Chứng minh rằng tồn tại đa thức $g(x)$ với hệ số thực sao cho với mọi $n$ nguyên dương ta có $f(n) = g(n)$.
10. Tồn tại hay không số nguyên dương $a$ sao cho với mọi $ m, n\in\mathbb Z^{+}$, $m, n> a$ thì luôn chia được các hình chữ nhật $m\times n$ thành các hình chữ nhật $ 4\times 6 $ và $ 5\times 7 $.
11. Tìm tất cả các hàm số $f$ xác định trên tập hợp các số hữu tỷ dương và nhận giá trị trên tập hợp đó thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau $$f(x) + f\left(\dfrac{1}{x}\right) = 1,\,f(2x+1) = \dfrac{1}{2}f(x),\,\forall x\in \mathbb Q^{+}.$$
12. Tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp đường tròn $(\omega)$. Gọi $I$ và $J$ là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $ABC$ và $ADC$. Ta dựng được hai đường tròn cùng đi qua $A$ và $C$ và tiếp xúc với $(\omega)$. Gọi các tiếp điểm lần lượt là $K$ và $L$. Chứng minh rằng bốn điểm $I$, $J$, $K$, $L$ cùng nằm trên một đường tròn.
13. Cho đa giác đều $2017$ cạnh. Ta tô màu các đỉnh bởi ba màu xanh, đỏ, vàng, với số lượng tương ứng là $a, b, c$ trong đó $a, b, c$ là các số tự nhiên lẻ. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác cân có đỉnh là đỉnh của đa giác chứa đủ ba màu xanh, đỏ, vàng.
14. Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $BE$, $CF$ là hai đường cao và $H$ là trực tâm. Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $H$ và song song với $BC$. Các đường thẳng đối xứng với $BE, CF$ qua $d$ cắt $AB$, $AC$ lần lượt tại $N$, $M$. $FM$ cắt $BE$ tại $X$, $EN$ cắt $CF$ tại $Y$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $HXY$ tiếp xúc với $(O)$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$.
15. Cho trước số nguyên dương $m>1$, chứng minh rằng tồn tại một đa thức hệ số nguyên $P(x)$ bất khả quy trên $\mathbb Z [x]$, có bậc $2018$ và có một nghiệm thực là $r$ thỏa mãn $m\mid \left( {1 + \left\lfloor {{r^n}} \right\rfloor } \right)$ với mọi số nguyên dương $n$.
16. Trên mặt phẳng cho một số hữu hạn các đường thẳng tô màu xanh hoặc đỏ và không song song. Biết rằng giao điểm của hai đường thẳng cùng màu sẽ nằm trên đường thẳng khác màu hai đường thẳng này. Chứng minh rằng tất cả các đường thẳng này đồng quy.
17. Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $p$, $q$ sao cho $a^{3pq} \equiv a \bmod{3pq} $ với mọi số nguyên dương $a$.
18. Cho số nguyên $n \ge 2$. Dãy số dương $\left\{a_k\right\}_{k=1}^n$ được gọi là siêu tăng nếu thỏa mãn điều kiện $$ a_k \ge a_{k-1} +... + a_1 \quad\forall 2 \le k \le n.$$ Tìm giá trị lớn nhất của tổng $\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\dfrac{{{a_k}}}{{{a_{k + 1}}}}} $ với $\left\{a_k\right\}_{k=1}^n$ là một dãy siêu tăng.
19. Cho tam giác $ABC$ nhọn có đường cao $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $BC$, $AM$. Đoạn thẳng $AM$ cắt đường tròn $(BHC)$ tại $K$ và cắt đoạn $EF$ tại $P$. Đường tròn đường kính $AK$ cắt đường tròn $(BHC)$ tại $L$ khác $K$ và $J$ là tâm đường tròn $(APL)$. Chứng minh rằng $JN\parallel BC$.
20. Cho tam giác $ABC$ nhọn có đường cao $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $BC$, $AM$. Đoạn thẳng $AM$ cắt đường tròn $(BHC)$ tại $K$ và cắt đoạn $EF$ tại $P$. Đường tròn đường kính $AK$ cắt đường tròn $(BHC)$ tại $L$ khác $K$ và $J$ là tâm đường tròn $(APL)$. Chứng minh rằng $JN\parallel BC$. 
21. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại đa thức $P(x)$ bậc $n$ với hệ số nguyên và hệ số cao nhất dương và đa thức $Q(x)$ với hệ số nguyên thỏa mãn điều kiện $$xP^2(x) + P(x) = \left(x^3 - x\right)Q^2(x),\,\forall\,x\in\mathbb R.$$
22. Có $40$ đội bóng đã thi đấu với nhau $80$ trận. Hai đội bất kỳ thi đấu với nhau không quá một trận. Tìm số $n$ lớn nhất sao cho dù các trận đấu đã diễn ra giữa những đội bóng nào, luôn tìm được $n$ đội bóng đôi một chưa thi đấu với nhau.
23. Cho dãy số Fibonacci xác định bởi $$F_1 = F_2 = 1,\quad F_{n+1} = F_n + F_{n-1},\,\forall n \ge 2.$$ Chứng minh rằng với mọi số $n$ nguyên dương $\dfrac{F_{5n}}{5F_n}$ là một số nguyên dương tận cùng bằng $1$.
24. Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a + b + c = 3$. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức $$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} + ab + bc + ca \ge 2(a^2+b^2+c^2) $$
25. Tìm số thực $a$ lớn nhất sao cho với mọi đa giác lồi $P$ với diện tích $1$ và với mọi đường thẳng $l$ đều tồn tại một tam giác $T$ có đỉnh nằm trên chu vi của $P$ và có một cạnh song song với $l$ với diện tích lớn hơn hay bằng $a$.
26. Tìm số thực dương $a$ nhỏ nhất có tính chất sau: nếu có hữu hạn các hòn đá có khối lượng mỗi hòn không vượt quá $a$ (kg) và có tổng khối lượng là $1.000$ (kg) thì ta có thể phân các hòn đá đó thành không quá $50$ đống, mỗi đống có tổng khối lượng không quá $a$ (kg).
27. Cho tam giác $ABC$ có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp và $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp. Giả sử đường thẳng $OI$ cắt $BC$, $CA$, $AB$ lần lượt tại $D$, $E$, $F$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $OAD$, $OBE$, $OCF$ nằm trên một đường thẳng.
28. Tìm tất cả các cặp đa thức $P(x)$, $Q(x)$ với hệ số thực sao cho tồn tại vô số số nguyên dương $n$ thỏa mãn điều kiện $$P(1)P(2)...P(n) = Q(n!).$$
29. Chứng minh rằng phương trình $x^3 - 3 = 2y^2$ không có nghiệm nguyên dương.
30. Cho đa thức $P(x)$ bậc $n \ge 2 $ có $n$ nghiệm thực âm. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức $$P(1).P'(0) \ge 2n^2P(0).$$
31. Một tập hợp các đường tròn trên mặt phẳng được gọi là "đẹp" nếu chúng đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau
    
    • Hai đường tròn bất kỳ giao nhau tại không quá một điểm.
    • Với điểm $A$ bất kỳ trong mặt phẳng, có không quá hai đường tròn đi qua $A$.
    • Một đường tròn bất kỳ trong tập hợp tiếp xúc với đúng $5$ đường tròn khác trong tập hợp.
    Hỏi có tồn tại hay không một tập hợp đẹp các đường tròn gồm
    a) 2017 đường tròn?.
    b) 2018 đường tròn?.
32. Cho $X$ là một tập hợp có $10$ phần tử. Gọi $A_1, A_2,\ldots, A_{100}$ là các tập con của $X$. Chứng minh rằng tồn tại các chỉ số $i$, $j$ phân biệt sao cho hiệu đối xứng của $A_i$ và $A_j$ có không quá $2$ phần tử.
33. Với mỗi đa thức $P(x)$ với hệ số thực, ký hiệu $S(P)$ là tổng bình phương các hệ số của $P(x)$. Hai đa thức được gọi là "liên kết" với nhau nếu $S(P^n) = S(Q^n)$ với mọi $n$ nguyên dương. a) Cho hai tam thức bậc hai $P(x), \,Q(x)$ có hệ số cao nhất bằng $1$, chứng minh rằng \[S(PQ) \ge P^2(0) + Q^2(0).\] b) Chứng minh rằng tồn tại đa thức có hệ số nguyên dương $P(x)$ thỏa $P(0) = 1$ và liên kết với đa thức $3x^2 + 7x + 2$.
34. Cho tứ giác lồi $ABCD$. Giả sử $P$ và $Q$ là giao điểm của các tia $BA$ và $CD, \,BC$ và $AD$ tương ứng. $H$ là hình chiếu của $D$ lên $PQ$. Chứng minh rằng $ABCD$ là tứ giác ngoại tiếp khi và chỉ khi đường tròn nội tiếp các tam giác $ADP$ và $CDQ$ được nhìn từ điểm $H$ dưới các góc bằng nhau.
35. Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb Z \to\mathbb Z$ thỏa mãn điều kiện$$ f(x-f(y)) = f(f(x)) - f(y) - 1\quad\forall\,x,\,y\in\mathbb Z .$$
36. Tìm tất cả các đa thức $P(x)\in\mathbb Z[x]$ và $m\in\mathbb Z^+$, sao cho $m+2^nP(n)$ là số chính phương với mọi số nguyên dương $n$.
37. Cho $O$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Đường thẳng $CO$ cắt đường cao kẻ từ $A$ tại điểm $K$. Gọi $P, M$ là trung điểm của $AK$, $AC$ tương ứng. Nếu $PO$ cắt $BC$ tại $Y$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCM$ cắt $AB$ tại $X$, chứng minh rằng tứ giác $BXOY$ nội tiếp.
38. Trường Phù thủy và Pháp sư Hogwarts có $n$ học sinh. Các học sinh của trường rất hiếu động và tham gia vào nhiều câu lạc bộ khác nhau. Cả trường có tất cả $m$ câu lạc bộ. Theo quy định của trường mà thầy hiệu trưởng Albus Dumbledore công bố thì mỗi câu lạc bộ phải có ít nhất $2$ thành viên. Nghiên cứu danh sách các câu lạc bộ của trường, Harry Potter nhận thấy một điều thú vị sau đây: Nếu $2$ câu lạc bộ nào đó có ít nhất $2$ thành viên chung thì hai câu lạc bộ đó sẽ có số thành viên khác nhau. Chứng minh rằng $m \le (n-1)^2 $.
39. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$. $K$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $AOC$ và nằm trong tứ giác. Đường tròn $(K,KA)$ lần lượt cắt $ AB$, $AD$ tại $M$, $N$ khác $A$. $(K)$ cắt $(O)$ tại $G$ khác $A$. $MN$ theo thứ tự cắt $CB$, $CD$ tại $ P$, $Q$. $KG$ cắt $ MN $tại $ J$. Chứng minh rằng $MP:NQ=JM:JN$.
40. Với dãy Fibonacci xác định bởi công thức $$F_1 = 1, F_2 = 2, \quad F_{n+1} = F_n + F_{n-1}.$$ Xét hàm số $f(x) = (x-F_1)(x-F_2)...(x-F_{3030})$. Giả sử trên $(F_1,F_{3030})$, hàm số $f$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=x_0$. Chứng minh rằng $x_0 > 2^{2018}$ .
41. Ban đầu trên bảng có ghi số nguyên dương $N$. Mỗi bước thực hiện, ta có thể chọn một số $a > 1$ trên bảng, xóa nó đi và ghi ra tất cả các ước số nguyên dương của $a$, trừ chính $a$ (trên bảng có thể xuất hiện các số bằng nhau). Chứng minh rằng quá trình này không thể thực hiện mãi (tức là trên bảng còn toàn số $1$) và khi trên bảng còn toàn số $1$ thì số số $1$ không quá $N^2$.
42. Trên các cạnh của lục giác lồi $ABCDEF$ về phía ngoài dựng các tam giác đều $ABC_1$, $BCD_1$, $CDE_1$, $DEF_1$, $EFA_1$ và $FAB_1$. Biết rằng tam giác $B_1D_1F_1$ đều. Chứng minh rằng tam giác $A_1C_1E_1$ cũng đều.
43. Với mỗi bộ số $x = (x_1, x_2, …, x_n)$ các tổng đối xứng sơ cấp được định nghĩa như sau $$(t+x_1)(t+x_2)…(t+x_n) = t^n + s_1(x)t^{n-1} + s_2(x)t^{n-2} + … + s_n(x).$$ Cho $x = (x_1, …, x_n)$, $y = (y_1, …, y_n)$ là hai bộ số thực dương. Chứng minh rằng với mọi $r = 2, …, n$ ta có bất đẳng thức $$\frac{s_r(x+y)}{s_{r-1}(x+y)} \ge \frac{s_r(x)}{s_{r-1}(x)}+ \frac{s_r(y)}{s_{r-1}(y)}.$$