$hide=mobile

[Trần Nam Dũng] Bài Tập Luyện Đội Tuyển Việt Nam Tham Dự IMO 2018

  1. Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} +\dfrac{1}{c} = 1$. Chứng minh rằng $$(a^2-3a+3)(b^2-3b+3)(c^2-3c+3) \ge a^2 + b^2 + c^2.$$
  2. Cho tam giác nhọn $ABC$. Đường tròn nội tiếp tam giác tâm $I$ tiếp xúc với các cạnh $AB$ và $AC$ lần lượt tại $K$ và $L$. $BI$ và $CI$ cắt đường cao $AH$ lần lượt tại $P$ và $Q$. Chứng minh rằng trục đẳng phương của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $BKP$ và $CQL$ đi qua trung điểm của đường cao $AH$.
  3. Gọi $T$ là tập hợp tất cả những bộ ba số nguyên $ (x, y, z) $ có tính thứ tự thỏa mãn $ 0 \le x, y, z \le 9 $. Hai bạn $A$ và $B$ chơi một trò chơi như sau: $A$ chọn một bộ $(x, y, z) $ trong $T$ và $B$ phải đoán được ra chính xác bộ $A$ đã chọn với một số ít lần hỏi nhất có thể. Mỗi lần hỏi, $B$ có thể chọn một bộ $(a,b,c)$ thuộc $T$ và gửi cho $A$ rồi $A$ sẽ cho $B$ biết giá trị của biểu thức $$E= |x+y-a-b| + |y+z-b-c| + |z+x-c-a| .$$ Tìm số lần ít nhất $B$ cần hỏi để tìm ra luôn tìm ra được câu trả lời.
  4. Cho $x,y,z$ là các số thực khác $0$ thỏa mãn điều kiện $$x^2 - xy + yz = y^2 - yz + zx = z^2 - zx + xy .$$ Chứng minh rằng $${\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)^2} = 3\left( {{x^3}y + {y^3}z + {z^3}x} \right).$$ Tìm tất cả các giá trị có thể có của $T = \dfrac{(x+y+z)^3}{xyz}.$
  5. Cho $100$ điểm nằm trong hình vuông đơn vị. Chứng minh rằng có thể nối chúng bằng một đường gấp khúc có độ dài không vượt quá $20$.
  6. Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên dương $m$ và $n$ sao cho $$(2018^m-1)(2019^n-1)$$ là một số chính phương.
  7. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp. Các điểm $M$, $N$ lần lượt di chuyển trên các cạnh $AD$ và $BC$ sao cho $\dfrac{MA}{MD} = \dfrac{NB}{NC}$. Chứng minh rằng đường tròn đi qua giao điểm của các đường thẳng $AB$, $CD$ và $MN$ luôn đi qua hai điểm cố định khi $M$, $N$ thay đổi.
  8. Có $n$ $(n \ge 3)$ đội bóng chuyền thi đấu vòng tròn một lượt. Một bộ ba đội bóng được gọi là cân bằng nếu ba đội này thắng vòng tròn lẫn nhau. Tổng số tất cả các bộ ba cân bằng gọi là $B$. Tìm tất cả các giá trị có thể có của $B$.
  9. Cho hàm số $f: \mathbb R \to\mathbb R$ thỏa mãn điều kiện $f(x)$ nguyên với mọi $x$ nguyên. Với mỗi số nguyên tố $p$, tồn tại đa thức $Q_p(x)$ có bậc nhỏ hơn $2018$, với hệ số nguyên sao cho $f(n) - Q_p(n)$ chia hết cho $p$ với mọi số nguyên dương $n$. Chứng minh rằng tồn tại đa thức $g(x)$ với hệ số thực sao cho với mọi $n$ nguyên dương ta có $f(n) = g(n)$.
  10. Tồn tại hay không số nguyên dương $a$ sao cho với mọi $ m, n\in\mathbb Z^{+}$, $m, n> a$ thì luôn chia được các hình chữ nhật $m\times n$ thành các hình chữ nhật $ 4\times 6 $ và $ 5\times 7 $.
  11. Tìm tất cả các hàm số $f$ xác định trên tập hợp các số hữu tỷ dương và nhận giá trị trên tập hợp đó thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau $$f(x) + f\left(\dfrac{1}{x}\right) = 1,\,f(2x+1) = \dfrac{1}{2}f(x),\,\forall x\in \mathbb Q^{+}.$$
  12. Tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp đường tròn $(\omega)$. Gọi $I$ và $J$ là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $ABC$ và $ADC$. Ta dựng được hai đường tròn cùng đi qua $A$ và $C$ và tiếp xúc với $(\omega)$. Gọi các tiếp điểm lần lượt là $K$ và $L$. Chứng minh rằng bốn điểm $I$, $J$, $K$, $L$ cùng nằm trên một đường tròn.
  13. Cho đa giác đều $2017$ cạnh. Ta tô màu các đỉnh bởi ba màu xanh, đỏ, vàng, với số lượng tương ứng là $a, b, c$ trong đó $a, b, c$ là các số tự nhiên lẻ. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác cân có đỉnh là đỉnh của đa giác chứa đủ ba màu xanh, đỏ, vàng.
  14. Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $BE$, $CF$ là hai đường cao và $H$ là trực tâm. Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $H$ và song song với $BC$. Các đường thẳng đối xứng với $BE, CF$ qua $d$ cắt $AB$, $AC$ lần lượt tại $N$, $M$. $FM$ cắt $BE$ tại $X$, $EN$ cắt $CF$ tại $Y$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $HXY$ tiếp xúc với $(O)$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$.
  15. Cho trước số nguyên dương $m>1$, chứng minh rằng tồn tại một đa thức hệ số nguyên $P(x)$ bất khả quy trên $\mathbb Z [x]$, có bậc $2018$ và có một nghiệm thực là $r$ thỏa mãn $m\mid \left( {1 + \left\lfloor {{r^n}} \right\rfloor } \right)$ với mọi số nguyên dương $n$.
  16. Trên mặt phẳng cho một số hữu hạn các đường thẳng tô màu xanh hoặc đỏ và không song song. Biết rằng giao điểm của hai đường thẳng cùng màu sẽ nằm trên đường thẳng khác màu hai đường thẳng này. Chứng minh rằng tất cả các đường thẳng này đồng quy.
  17. Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $p$, $q$ sao cho $a^{3pq} \equiv a \bmod{3pq} $ với mọi số nguyên dương $a$.
  18. Cho số nguyên $n \ge 2$. Dãy số dương $\left\{a_k\right\}_{k=1}^n$ được gọi là siêu tăng nếu thỏa mãn điều kiện $$ a_k \ge a_{k-1} +... + a_1 \quad\forall 2 \le k \le n.$$ Tìm giá trị lớn nhất của tổng $\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\dfrac{{{a_k}}}{{{a_{k + 1}}}}} $ với $\left\{a_k\right\}_{k=1}^n$ là một dãy siêu tăng.
  19. Cho tam giác $ABC$ nhọn có đường cao $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $BC$, $AM$. Đoạn thẳng $AM$ cắt đường tròn $(BHC)$ tại $K$ và cắt đoạn $EF$ tại $P$. Đường tròn đường kính $AK$ cắt đường tròn $(BHC)$ tại $L$ khác $K$ và $J$ là tâm đường tròn $(APL)$. Chứng minh rằng $JN\parallel BC$.
  20. Cho tam giác $ABC$ nhọn có đường cao $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $BC$, $AM$. Đoạn thẳng $AM$ cắt đường tròn $(BHC)$ tại $K$ và cắt đoạn $EF$ tại $P$. Đường tròn đường kính $AK$ cắt đường tròn $(BHC)$ tại $L$ khác $K$ và $J$ là tâm đường tròn $(APL)$. Chứng minh rằng $JN\parallel BC$. 
  21. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại đa thức $P(x)$ bậc $n$ với hệ số nguyên và hệ số cao nhất dương và đa thức $Q(x)$ với hệ số nguyên thỏa mãn điều kiện $$xP^2(x) + P(x) = \left(x^3 - x\right)Q^2(x),\,\forall\,x\in\mathbb R.$$
  22. Có $40$ đội bóng đã thi đấu với nhau $80$ trận. Hai đội bất kỳ thi đấu với nhau không quá một trận. Tìm số $n$ lớn nhất sao cho dù các trận đấu đã diễn ra giữa những đội bóng nào, luôn tìm được $n$ đội bóng đôi một chưa thi đấu với nhau.
  23. Cho dãy số Fibonacci xác định bởi $$F_1 = F_2 = 1,\quad F_{n+1} = F_n + F_{n-1},\,\forall n \ge 2.$$ Chứng minh rằng với mọi số $n$ nguyên dương $\dfrac{F_{5n}}{5F_n}$ là một số nguyên dương tận cùng bằng $1$.
  24. Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a + b + c = 3$. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức $$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} + ab + bc + ca \ge 2(a^2+b^2+c^2) $$
  25. Tìm số thực $a$ lớn nhất sao cho với mọi đa giác lồi $P$ với diện tích $1$ và với mọi đường thẳng $l$ đều tồn tại một tam giác $T$ có đỉnh nằm trên chu vi của $P$ và có một cạnh song song với $l$ với diện tích lớn hơn hay bằng $a$.
  26. Tìm số thực dương $a$ nhỏ nhất có tính chất sau: nếu có hữu hạn các hòn đá có khối lượng mỗi hòn không vượt quá $a$ (kg) và có tổng khối lượng là $1.000$ (kg) thì ta có thể phân các hòn đá đó thành không quá $50$ đống, mỗi đống có tổng khối lượng không quá $a$ (kg).
  27. Cho tam giác $ABC$ có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp và $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp. Giả sử đường thẳng $OI$ cắt $BC$, $CA$, $AB$ lần lượt tại $D$, $E$, $F$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $OAD$, $OBE$, $OCF$ nằm trên một đường thẳng.
  28. Tìm tất cả các cặp đa thức $P(x)$, $Q(x)$ với hệ số thực sao cho tồn tại vô số số nguyên dương $n$ thỏa mãn điều kiện $$P(1)P(2)...P(n) = Q(n!).$$
  29. Chứng minh rằng phương trình $x^3 - 3 = 2y^2$ không có nghiệm nguyên dương.
  30. Cho đa thức $P(x)$ bậc $n \ge 2 $ có $n$ nghiệm thực âm. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức $$P(1).P'(0) \ge 2n^2P(0).$$
  31. Một tập hợp các đường tròn trên mặt phẳng được gọi là "đẹp" nếu chúng đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau
    • Hai đường tròn bất kỳ giao nhau tại không quá một điểm.
    • Với điểm $A$ bất kỳ trong mặt phẳng, có không quá hai đường tròn đi qua $A$.
    • Một đường tròn bất kỳ trong tập hợp tiếp xúc với đúng $5$ đường tròn khác trong tập hợp.
    Hỏi có tồn tại hay không một tập hợp đẹp các đường tròn gồm
    a) 2017 đường tròn?.
    b) 2018 đường tròn?.
  32. Cho $X$ là một tập hợp có $10$ phần tử. Gọi $A_1, A_2,\ldots, A_{100}$ là các tập con của $X$. Chứng minh rằng tồn tại các chỉ số $i$, $j$ phân biệt sao cho hiệu đối xứng của $A_i$ và $A_j$ có không quá $2$ phần tử.
  33. Với mỗi đa thức $P(x)$ với hệ số thực, ký hiệu $S(P)$ là tổng bình phương các hệ số của $P(x)$. Hai đa thức được gọi là "liên kết" với nhau nếu $S(P^n) = S(Q^n)$ với mọi $n$ nguyên dương. a) Cho hai tam thức bậc hai $P(x), \,Q(x)$ có hệ số cao nhất bằng $1$, chứng minh rằng \[S(PQ) \ge P^2(0) + Q^2(0).\] b) Chứng minh rằng tồn tại đa thức có hệ số nguyên dương $P(x)$ thỏa $P(0) = 1$ và liên kết với đa thức $3x^2 + 7x + 2$.
  34. Cho tứ giác lồi $ABCD$. Giả sử $P$ và $Q$ là giao điểm của các tia $BA$ và $CD, \,BC$ và $AD$ tương ứng. $H$ là hình chiếu của $D$ lên $PQ$. Chứng minh rằng $ABCD$ là tứ giác ngoại tiếp khi và chỉ khi đường tròn nội tiếp các tam giác $ADP$ và $CDQ$ được nhìn từ điểm $H$ dưới các góc bằng nhau.
  35. Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb Z \to\mathbb Z$ thỏa mãn điều kiện$$ f(x-f(y)) = f(f(x)) - f(y) - 1\quad\forall\,x,\,y\in\mathbb Z .$$
  36. Tìm tất cả các đa thức $P(x)\in\mathbb Z[x]$ và $m\in\mathbb Z^+$, sao cho $m+2^nP(n)$ là số chính phương với mọi số nguyên dương $n$.
  37. Cho $O$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Đường thẳng $CO$ cắt đường cao kẻ từ $A$ tại điểm $K$. Gọi $P, M$ là trung điểm của $AK$, $AC$ tương ứng. Nếu $PO$ cắt $BC$ tại $Y$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCM$ cắt $AB$ tại $X$, chứng minh rằng tứ giác $BXOY$ nội tiếp.
  38. Trường Phù thủy và Pháp sư Hogwarts có $n$ học sinh. Các học sinh của trường rất hiếu động và tham gia vào nhiều câu lạc bộ khác nhau. Cả trường có tất cả $m$ câu lạc bộ. Theo quy định của trường mà thầy hiệu trưởng Albus Dumbledore công bố thì mỗi câu lạc bộ phải có ít nhất $2$ thành viên. Nghiên cứu danh sách các câu lạc bộ của trường, Harry Potter nhận thấy một điều thú vị sau đây: Nếu $2$ câu lạc bộ nào đó có ít nhất $2$ thành viên chung thì hai câu lạc bộ đó sẽ có số thành viên khác nhau. Chứng minh rằng $m \le (n-1)^2 $.
  39. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$. $K$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $AOC$ và nằm trong tứ giác. Đường tròn $(K,KA)$ lần lượt cắt $ AB$, $AD$ tại $M$, $N$ khác $A$. $(K)$ cắt $(O)$ tại $G$ khác $A$. $MN$ theo thứ tự cắt $CB$, $CD$ tại $ P$, $Q$. $KG$ cắt $ MN $tại $ J$. Chứng minh rằng $MP:NQ=JM:JN$.
  40. Với dãy Fibonacci xác định bởi công thức $$F_1 = 1, F_2 = 2, \quad F_{n+1} = F_n + F_{n-1}.$$ Xét hàm số $f(x) = (x-F_1)(x-F_2)...(x-F_{3030})$. Giả sử trên $(F_1,F_{3030})$, hàm số $f$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=x_0$. Chứng minh rằng $x_0 > 2^{2018}$ .
  41. Ban đầu trên bảng có ghi số nguyên dương $N$. Mỗi bước thực hiện, ta có thể chọn một số $a > 1$ trên bảng, xóa nó đi và ghi ra tất cả các ước số nguyên dương của $a$, trừ chính $a$ (trên bảng có thể xuất hiện các số bằng nhau). Chứng minh rằng quá trình này không thể thực hiện mãi (tức là trên bảng còn toàn số $1$) và khi trên bảng còn toàn số $1$ thì số số $1$ không quá $N^2$.
  42. Trên các cạnh của lục giác lồi $ABCDEF$ về phía ngoài dựng các tam giác đều $ABC_1$, $BCD_1$, $CDE_1$, $DEF_1$, $EFA_1$ và $FAB_1$. Biết rằng tam giác $B_1D_1F_1$ đều. Chứng minh rằng tam giác $A_1C_1E_1$ cũng đều.
  43. Với mỗi bộ số $x = (x_1, x_2, …, x_n)$ các tổng đối xứng sơ cấp được định nghĩa như sau $$(t+x_1)(t+x_2)…(t+x_n) = t^n + s_1(x)t^{n-1} + s_2(x)t^{n-2} + … + s_n(x).$$ Cho $x = (x_1, …, x_n)$, $y = (y_1, …, y_n)$ là hai bộ số thực dương. Chứng minh rằng với mọi $r = 2, …, n$ ta có bất đẳng thức $$\frac{s_r(x+y)}{s_{r-1}(x+y)} \ge \frac{s_r(x)}{s_{r-1}(x)}+ \frac{s_r(y)}{s_{r-1}(y)}.$$

    Post a Comment


    $hide=mobile

    $hide=mobile

    $hide=mobile

    $show=post$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

    Kỷ Yếu$cl=violet$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0$hide=mobile

    Journals$cl=green$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0$hide=mobile

    Name

    Ả-rập Xê-út,1,Abel,5,Albania,2,AMM,3,Amsterdam,5,Ấn Độ,2,An Giang,23,Andrew Wiles,1,Anh,2,Áo,1,APMO,19,Ba Đình,2,Ba Lan,1,Bà Rịa Vũng Tàu,52,Bắc Giang,50,Bắc Kạn,1,Bạc Liêu,9,Bắc Ninh,48,Bắc Trung Bộ,7,Bài Toán Hay,5,Balkan,38,Baltic Way,30,BAMO,1,Bất Đẳng Thức,66,Bến Tre,46,Benelux,14,Bình Định,45,Bình Dương,23,Bình Phước,38,Bình Thuận,34,Birch,1,Booklet,11,Bosnia Herzegovina,3,BoxMath,3,Brazil,2,Bùi Đắc Hiên,1,Bùi Thị Thiện Mỹ,1,Bùi Văn Tuyên,1,Bùi Xuân Diệu,1,Bulgaria,6,Buôn Ma Thuột,1,BxMO,13,Cà Mau,14,Cần Thơ,14,Canada,40,Cao Bằng,7,Cao Quang Minh,1,Câu Chuyện Toán Học,36,Caucasus,2,CGMO,10,China,10,Chọn Đội Tuyển,353,Chu Tuấn Anh,1,Chuyên Đề,124,Chuyên Sư Phạm,31,Chuyên Trần Hưng Đạo,3,Collection,8,College Mathematic,1,Concours,1,Cono Sur,1,Contest,618,Correspondence,1,Cosmin Poahata,1,Crux,2,Czech-Polish-Slovak,26,Đà Nẵng,39,Đa Thức,2,Đại Số,20,Đắk Lắk,56,Đắk Nông,7,Đan Phượng,1,Danube,7,Đào Thái Hiệp,1,ĐBSCL,2,Đề Thi,1,Đề Thi HSG,1770,Đề Thi JMO,1,Điện Biên,8,Định Lý,1,Định Lý Beaty,1,Đỗ Hữu Đức Thịnh,1,Do Thái,3,Doãn Quang Tiến,4,Đoàn Quỳnh,1,Đoàn Văn Trung,1,Đống Đa,4,Đồng Nai,49,Đồng Tháp,52,Du Hiền Vinh,1,Đức,1,Duyên Hải Bắc Bộ,25,E-Book,33,EGMO,17,ELMO,19,EMC,9,Epsilon,1,Estonian,5,Euler,1,Evan Chen,1,Fermat,3,Finland,4,Forum Of Geometry,2,Furstenberg,1,G. Polya,3,Gặp Gỡ Toán Học,26,Gauss,1,GDTX,3,Geometry,12,Gia Lai,26,Gia Viễn,2,Giải Tích Hàm,1,Giảng Võ,1,Giới hạn,2,Goldbach,1,Hà Giang,2,Hà Lan,1,Hà Nam,29,Hà Nội,232,Hà Tĩnh,73,Hà Trung Kiên,1,Hải Dương,50,Hải Phòng,42,Hàn Quốc,5,Hậu Giang,4,Hậu Lộc,1,Hilbert,1,Hình Học,33,HKUST,7,Hòa Bình,13,Hoài Nhơn,1,Hoàng Bá Minh,1,Hoàng Minh Quân,1,Hodge,1,Hojoo Lee,2,HOMC,5,HongKong,8,HSG 10,101,HSG 11,91,HSG 12,587,HSG 9,425,HSG Cấp Trường,78,HSG Quốc Gia,106,HSG Quốc Tế,16,Hứa Lâm Phong,1,Hứa Thuần Phỏng,1,Hùng Vương,2,Hưng Yên,33,Hương Sơn,2,Huỳnh Kim Linh,1,Hy Lạp,1,IMC,26,IMO,56,IMT,1,India,45,Inequality,13,InMC,1,International,315,Iran,11,Jakob,1,JBMO,41,Jewish,1,Journal,20,Junior,38,K2pi,1,Kazakhstan,1,Khánh Hòa,17,KHTN,54,Kiên Giang,64,Kim Liên,1,Kon Tum,18,Korea,5,Kvant,2,Kỷ Yếu,42,Lai Châu,4,Lâm Đồng,33,Lạng Sơn,21,Langlands,1,Lào Cai,17,Lê Hải Châu,1,Lê Hải Khôi,1,Lê Hoành Phò,4,Lê Khánh Sỹ,3,Lê Minh Cường,1,Lê Phúc Lữ,1,Lê Phương,1,Lê Quý Đôn,1,Lê Viết Hải,1,Lê Việt Hưng,1,Leibniz,1,Long An,42,Lớp 10,10,Lớp 10 Chuyên,455,Lớp 10 Không Chuyên,229,Lớp 11,1,Lục Ngạn,1,Lượng giác,1,Lương Tài,1,Lưu Giang Nam,2,Lý Thánh Tông,1,Macedonian,1,Malaysia,1,Margulis,2,Mark Levi,1,Mathematical Excalibur,1,Mathematical Reflections,1,Mathematics Magazine,1,Mathematics Today,1,Mathley,1,MathLinks,1,MathProblems Journal,1,Mathscope,8,MathsVN,5,MathVN,1,MEMO,11,Metropolises,4,Mexico,1,MIC,1,Michael Guillen,1,Mochizuki,1,Moldova,1,Moscow,1,Mỹ,10,MYM,227,MYTS,4,Nam Định,33,Nam Phi,1,Nam Trung Bộ,1,National,249,Nesbitt,1,Newton,4,Nghệ An,52,Ngô Bảo Châu,2,Ngô Việt Hải,1,Ngọc Huyền,2,Nguyễn Anh Tuyến,1,Nguyễn Bá Đang,1,Nguyễn Đình Thi,1,Nguyễn Đức Tấn,1,Nguyễn Đức Thắng,1,Nguyễn Duy Khương,1,Nguyễn Duy Tùng,1,Nguyễn Hữu Điển,3,Nguyễn Mình Hà,1,Nguyễn Minh Tuấn,8,Nguyễn Phan Tài Vương,1,Nguyễn Phú Khánh,1,Nguyễn Phúc Tăng,1,Nguyễn Quản Bá Hồng,1,Nguyễn Quang Sơn,1,Nguyễn Tài Chung,5,Nguyễn Tăng Vũ,1,Nguyễn Tất Thu,1,Nguyễn Thúc Vũ Hoàng,1,Nguyễn Trung Tuấn,8,Nguyễn Tuấn Anh,2,Nguyễn Văn Huyện,3,Nguyễn Văn Mậu,25,Nguyễn Văn Nho,1,Nguyễn Văn Quý,2,Nguyễn Văn Thông,1,Nguyễn Việt Anh,1,Nguyễn Vũ Lương,2,Nhật Bản,4,Nhóm $\LaTeX$,4,Nhóm Toán,1,Ninh Bình,43,Ninh Thuận,15,Nội Suy Lagrange,2,Nội Suy Newton,1,Nordic,19,Olympiad Corner,1,Olympiad Preliminary,2,Olympic 10,99,Olympic 10/3,5,Olympic 11,92,Olympic 12,30,Olympic 24/3,7,Olympic 27/4,20,Olympic 30/4,69,Olympic KHTN,6,Olympic Sinh Viên,73,Olympic Tháng 4,12,Olympic Toán,304,Olympic Toán Sơ Cấp,3,PAMO,1,Phạm Đình Đồng,1,Phạm Đức Tài,1,Phạm Huy Hoàng,1,Pham Kim Hung,3,Phạm Quốc Sang,2,Phan Huy Khải,1,Phan Thành Nam,1,Pháp,2,Philippines,8,Phú Thọ,30,Phú Yên,29,Phùng Hồ Hải,1,Phương Trình Hàm,11,Phương Trình Pythagoras,1,Pi,1,Polish,32,Problems,1,PT-HPT,14,PTNK,45,Putnam,25,Quảng Bình,44,Quảng Nam,32,Quảng Ngãi,34,Quảng Ninh,43,Quảng Trị,27,Quỹ Tích,1,Riemann,1,RMM,12,RMO,24,Romania,36,Romanian Mathematical,1,Russia,1,Sách Thường Thức Toán,7,Sách Toán,69,Sách Toán Cao Học,1,Sách Toán THCS,7,Saudi Arabia,7,Scholze,1,Serbia,17,Sharygin,24,Shortlists,56,Simon Singh,1,Singapore,1,Số Học - Tổ Hợp,27,Sóc Trăng,28,Sơn La,12,Spain,8,Star Education,5,Stars of Mathematics,11,Swinnerton-Dyer,1,Talent Search,1,Tăng Hải Tuân,2,Tạp Chí,14,Tập San,6,Tây Ban Nha,1,Tây Ninh,29,Thạch Hà,1,Thái Bình,39,Thái Nguyên,49,Thái Vân,2,Thanh Hóa,62,THCS,2,Thổ Nhĩ Kỳ,5,Thomas J. Mildorf,1,THPT Chuyên Lê Quý Đôn,1,THPTQG,15,THTT,7,Thừa Thiên Huế,36,Tiền Giang,19,Tin Tức Toán Học,1,Titu Andreescu,2,Toán 12,7,Toán Cao Cấp,3,Toán Chuyên,2,Toán Rời Rạc,5,Toán Tuổi Thơ,3,Tôn Ngọc Minh Quân,2,TOT,1,TPHCM,126,Trà Vinh,6,Trắc Nghiệm,1,Trắc Nghiệm Toán,2,Trại Hè,34,Trại Hè Hùng Vương,25,Trại Hè Phương Nam,5,Trần Đăng Phúc,1,Trần Minh Hiền,2,Trần Nam Dũng,9,Trần Phương,1,Trần Quang Hùng,1,Trần Quốc Anh,2,Trần Quốc Luật,1,Trần Quốc Nghĩa,1,Trần Tiến Tự,1,Trịnh Đào Chiến,2,Trung Quốc,14,Trường Đông,19,Trường Hè,7,Trường Thu,1,Trường Xuân,2,TST,56,Tuyên Quang,6,Tuyển Sinh,3,Tuyển Sinh 10,680,Tuyển Tập,44,Tuymaada,4,Undergraduate,67,USA,44,USAJMO,10,USATST,7,Uzbekistan,1,Vasile Cîrtoaje,4,Vật Lý,1,Viện Toán Học,2,Vietnam,4,Viktor Prasolov,1,VIMF,1,Vinh,27,Vĩnh Long,21,Vĩnh Phúc,64,Virginia Tech,1,VLTT,1,VMEO,4,VMF,12,VMO,47,VNTST,22,Võ Anh Khoa,1,Võ Quốc Bá Cẩn,26,Võ Thành Văn,1,Vojtěch Jarník,6,Vũ Hữu Bình,7,Vương Trung Dũng,1,WFNMC Journal,1,Wiles,1,Yên Bái,20,Yên Định,1,Yên Thành,1,Zhautykov,11,Zhou Yuan Zhe,1,
    ltr
    item
    MOlympiad: [Trần Nam Dũng] Bài Tập Luyện Đội Tuyển Việt Nam Tham Dự IMO 2018
    [Trần Nam Dũng] Bài Tập Luyện Đội Tuyển Việt Nam Tham Dự IMO 2018
    MOlympiad
    https://www.molympiad.net/2018/10/bai-tap-luyen-thi-chon-doi-tuyen-viet-nam-2018.html
    https://www.molympiad.net/
    https://www.molympiad.net/
    https://www.molympiad.net/2018/10/bai-tap-luyen-thi-chon-doi-tuyen-viet-nam-2018.html
    true
    2506595080985176441
    UTF-8
    Loaded All Posts Not found any posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU LABEL ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow THIS PREMIUM CONTENT IS LOCKED Please share to unlock Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy