[Đáp Án] Đề Thi Chọn Đội Tuyển TP Đà Nẵng Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2018-2019

1. a) Cho dãy số $(x_n)_{n>=1}$ được xác định như sau $$x_1=1,\quad x_{n+1}= 1 + \frac{n}{x_n} ,\,\forall n \in \mathbb{N}*.$$ Đặt $y_n = \dfrac{x_n}{\sqrt{n}}$, $n \in \mathbb{N}^*$. Chứng minh dãy $(y_n)_{n\geq 1}$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.
   b) Cho dãy số thực dương $(a_n)_{n>=1}$ có $a_1=1$, $a_2=2$ và với mọi số nguyên dương $m$, $n$ đều thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau $$a_{mn} = a_ma_n,\quad a_n\leq 2018n,\quad a_{m+n} \leq 2019(a_m+a_n).$$ Chứng minh $a_n=n$ với mọi số nguyên dương $n$.
2. Cho hai đường tròn có bán kính khác nhau $(O_1)$, $(O_2)$ cắt nhau tại $X$, $Y$ sao cho $\angle O_1XO_2 = 90^\circ$. Gọi $AB$ là tiếp tuyến chung ngoài của $(O_1)$, $(O_2)$ với $A \in(O_1)$, $B \in (O_2)$. Đường thẳng $O_2A$ cắt $(O_1)$ lần thứ hai tại $C$, đường thẳng $O_1B$ cắt $(O_2)$ lần thứ hai tại $D$, $AC \cap BD = E$, $AD \cap BC = F$. Tiếp tuyến tại $C$ của $(O_1)$ cắt $AB$ tại $M$.
   a) Chứng minh $M$ là trung điểm đoạn $AB$.
   b) Chứng minh tồn tại một đường tròn $(J)$ tiếp xúc $(O_1)$, $(O_2)$ lần lượt tại $C$, $D$ và bán kính của $(J)$ bằng $\dfrac{1}{3}$ khoảng cách từ $J$ đến đường thẳng $AB$.
3. a) Cho $P(x)$ là đa thức hệ số thực, bậc $n$ $(n\geq 2)$. Giả sử $P(x)$ có hệ số của bậc cao nhất bằng $1$, có $n$ nghiệm thực phân biệt là $x_1,x_2, ... ,x_n$ và đồng thời đạo hàm $P'(x)$ có $n-1$ nghiệm thực phân biệt $y_1, y_2, ..., y_{n-1}$. Chứng minh rằng $$\frac{x_1^2+...+x_n^2}{n}>\frac{y_1^2+...+y_{n-1}^2}{n-1}.$$ b) Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn điều kiện $$f(x+y)f(x-y)=(f(x)f(y))^2,\,\forall x,y\in\mathbb R.$$
4. Cho hai dãy ghế được xếp đối diện nhau, mỗi dãy có $10$ ghế, mỗi ghế trong một dãy đối diện với một ghế của dãy còn lại. Có $19$ học sinh tham gia một trò chơi. Ban đầu mỗi học sinh ngồi một ghế và còn một ghế để trống. Cứ sau $10$ giây, một học sinh nào đó ngồi ở dãy không có ghế trống chuyển sang ngồi ghế trống của dãy đối diện. Hỏi có tồn tại hay không một thời điểm mà toàn bộ các học sinh đều được chuyển dãy và các cặp học sinh đối diện nhau không thay đổi so với ban đầu?.
5. Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn $(O)$ và có trực tâm $H$. a) Tia $OA$ cắt lại đường tròn $(BOC)$ tại điểm thứ hai khác $O$ là $A_1$. Gọi $A_2$ là điểm đối xứng của $A$ qua đường thẳng $BC$. Chứng minh ba đường thẳng $A_2O$, $HA_1$, $BC$ đồng quy.
   b) Tia $BO$ cắt lại đường tròn $(COA)$ tại $B_1$, tia $CO$ cắt lại đường tròn $(BOA)$ tại $C_1$. Chứng minh ba đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AHA_1$, $BHB_1$, $CHC_1$ có một điểm chung thứ hai khác $H$.
6. Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ, số nguyên dương $n$ được gọi là "tốt" nếu tồn tại đa thức $P(x)$ với hệ số nguyên, có bậc bằng $p$ và hệ số bậc cao nhất bằng $1$ sao cho $n$ là ước số của $P(k)$ với mọi số nguyên $k$. Một số nguyên dương mà không phải là số tốt được gọi là số "xấu". Chứng minh rằng
   a) $p$ là số tốt.
   b) $p^2$ là số xấu.
7. Dãy $(a_n)_{n \in \mathbb{Z}}$ được gọi là một "cấp số cộng hai phía" nếu với mọi số nguyên $n$ thì $a_{n+1}-a_n = d$ là hằng số ($d$ được gọi là công sai của dãy). Kí hiệu $M$ là tập tất cả các cấp số cộng hai phía với các số hạng nguyên và công sai lớn hơn $1$.
   a) Chứng minh rằng tồn tại $5$ cấp số cộng thuộc $M$ có công sai đôi một khác nhau sao cho mỗi số nguyên bất kì đều là phần tử của một trong các cấp số cộng đó.
   b) Cho $m$ $(m \in \mathbb{N}, m\geq 2)$ cấp số cộng thuộc $M$ sao cho các công sai của chúng đôi một nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên không phải là phần tử của bất kì cấp số cộng nào trong $m$ cấp số cộng đó.