- a) Cho dãy số $(x_n)_{n>=1}$ được xác định như sau $$x_1=1,\quad x_{n+1}= 1 + \frac{n}{x_n} ,\,\forall n \in \mathbb{N}*.$$ Đặt $y_n = \dfrac{x_n}{\sqrt{n}}$, $n \in \mathbb{N}^*$. Chứng minh dãy $(y_n)_{n\geq 1}$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.
b) Cho dãy số thực dương $(a_n)_{n>=1}$ có $a_1=1$, $a_2=2$ và với mọi số nguyên dương $m$, $n$ đều thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau $$a_{mn} = a_ma_n,\quad a_n\leq 2018n,\quad a_{m+n} \leq 2019(a_m+a_n).$$ Chứng minh $a_n=n$ với mọi số nguyên dương $n$. - Cho hai đường tròn có bán kính khác nhau $(O_1)$, $(O_2)$ cắt nhau tại $X$, $Y$ sao cho $\angle O_1XO_2 = 90^\circ$. Gọi $AB$ là tiếp tuyến chung ngoài của $(O_1)$, $(O_2)$ với $A \in(O_1)$, $B \in (O_2)$. Đường thẳng $O_2A$ cắt $(O_1)$ lần thứ hai tại $C$, đường thẳng $O_1B$ cắt $(O_2)$ lần thứ hai tại $D$, $AC \cap BD = E$, $AD \cap BC = F$. Tiếp tuyến tại $C$ của $(O_1)$ cắt $AB$ tại $M$.
a) Chứng minh $M$ là trung điểm đoạn $AB$.
b) Chứng minh tồn tại một đường tròn $(J)$ tiếp xúc $(O_1)$, $(O_2)$ lần lượt tại $C$, $D$ và bán kính của $(J)$ bằng $\dfrac{1}{3}$ khoảng cách từ $J$ đến đường thẳng $AB$. - a) Cho $P(x)$ là đa thức hệ số thực, bậc $n$ $(n\geq 2)$. Giả sử $P(x)$ có hệ số của bậc cao nhất bằng $1$, có $n$ nghiệm thực phân biệt là $x_1,x_2, ... ,x_n$ và đồng thời đạo hàm $P'(x)$ có $n-1$ nghiệm thực phân biệt $y_1, y_2, ..., y_{n-1}$. Chứng minh rằng $$\frac{x_1^2+...+x_n^2}{n}>\frac{y_1^2+...+y_{n-1}^2}{n-1}.$$ b) Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn điều kiện $$f(x+y)f(x-y)=(f(x)f(y))^2,\,\forall x,y\in\mathbb R.$$
- Cho hai dãy ghế được xếp đối diện nhau, mỗi dãy có $10$ ghế, mỗi ghế trong một dãy đối diện với một ghế của dãy còn lại. Có $19$ học sinh tham gia một trò chơi. Ban đầu mỗi học sinh ngồi một ghế và còn một ghế để trống. Cứ sau $10$ giây, một học sinh nào đó ngồi ở dãy không có ghế trống chuyển sang ngồi ghế trống của dãy đối diện. Hỏi có tồn tại hay không một thời điểm mà toàn bộ các học sinh đều được chuyển dãy và các cặp học sinh đối diện nhau không thay đổi so với ban đầu?.
- Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn $(O)$ và có trực tâm $H$. a) Tia $OA$ cắt lại đường tròn $(BOC)$ tại điểm thứ hai khác $O$ là $A_1$. Gọi $A_2$ là điểm đối xứng của $A$ qua đường thẳng $BC$. Chứng minh ba đường thẳng $A_2O$, $HA_1$, $BC$ đồng quy.
b) Tia $BO$ cắt lại đường tròn $(COA)$ tại $B_1$, tia $CO$ cắt lại đường tròn $(BOA)$ tại $C_1$. Chứng minh ba đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AHA_1$, $BHB_1$, $CHC_1$ có một điểm chung thứ hai khác $H$. - Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ, số nguyên dương $n$ được gọi là "tốt" nếu tồn tại đa thức $P(x)$ với hệ số nguyên, có bậc bằng $p$ và hệ số bậc cao nhất bằng $1$ sao cho $n$ là ước số của $P(k)$ với mọi số nguyên $k$. Một số nguyên dương mà không phải là số tốt được gọi là số "xấu". Chứng minh rằng
a) $p$ là số tốt.
b) $p^2$ là số xấu. - Dãy $(a_n)_{n \in \mathbb{Z}}$ được gọi là một "cấp số cộng hai phía" nếu với mọi số nguyên $n$ thì $a_{n+1}-a_n = d$ là hằng số ($d$ được gọi là công sai của dãy). Kí hiệu $M$ là tập tất cả các cấp số cộng hai phía với các số hạng nguyên và công sai lớn hơn $1$.
a) Chứng minh rằng tồn tại $5$ cấp số cộng thuộc $M$ có công sai đôi một khác nhau sao cho mỗi số nguyên bất kì đều là phần tử của một trong các cấp số cộng đó.
b) Cho $m$ $(m \in \mathbb{N}, m\geq 2)$ cấp số cộng thuộc $M$ sao cho các công sai của chúng đôi một nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên không phải là phần tử của bất kì cấp số cộng nào trong $m$ cấp số cộng đó.
[Đáp Án] Đề Thi Chọn Đội Tuyển TP Đà Nẵng Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2018-2019
# Chọn Đội Tuyển
# Contest
# Đề Thi HSG
# Duyên Hải Bắc Bộ
# Gặp Gỡ Toán Học
# HSG 10
# HSG 11
# HSG 12
# HSG 9
# IMO
# International
# Journal
# National
# Kỷ Yếu
# Olympic 10
# Olympic 11
# Olympic 12
# Olympic KHTN
# Olympic Sinh Viên
# Tạp Chí
# Trường Đông
# Trường Hè
# Trường Thu
# Trường Xuân
# Trại Hè Hùng Vương
# Trại Hè Phương Nam
# TST
# Tuyển Sinh 10
# VMO
# VNTST
Chọn Đội Tuyển
Đà Nẵng
Đề Thi HSG
TST 2018-2019
TST Đà Nẵng
MOlympiad.NET là dự án thu thập và phát hành các đề thi tuyển sinh và học sinh giỏi toán. Quý bạn đọc muốn giúp chúng tôi chỉnh sửa bài viết này, xin hãy để lại bình luận facebook (có thể đính kèm hình ảnh) hoặc google (có thể sử dụng $\LaTeX$) bên dưới. BBT rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc liên hệ Chúng tôi nhận tất cả các định dạng của tài liệu: $\TeX$, PDF, WORD, IMG,... | |
- Đề Thi Chọn Đội Tuyển Tỉnh Bình Phước Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2021-2022
- Toán Học Tuổi Trẻ
- [Phạm Văn Thuận, Lê Vĩ] Bất Đẳng Thức Suy Luận Và Khám Phá
- [Trần Phương] Những Viên Kim Cương Trong Bất Đẳng Thức Toán Học
- [Nguyễn Nhất Huy, Nguyễn Minh Tuấn, Phan Quang Đạt, Dương Quỳnh Châu, Lăng Hồng Nguyệt Anh, Doãn Quang Tiến] Số Học Hướng Tới Kì Thi Chuyên Toán
- [Nguyễn Song Thiên Long] Tổng Hợp Các Bài Toán Hay Luyện Thi Olympic Toán
- [Nguyễn Tài Chung] Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Phương Trình Hàm
- Đề Thi Tuyển Sinh Lớp 10 THPT Chuyên TP Hải Phòng 2022-2023 (Toán Chung)
- Ứng Dụng Nguyên Lý Dirichlet Trong Chứng Minh Bất Đẳng Thức
- [Kỷ Yếu] Chuyên Đề Hội Thảo Các Trường THPT Chuyên Khu Vực Duyên Hải - Đồng Bằng Bắc Bộ 2020