Đề Thi Chọn Đội Tuyển PTNK TP HCM Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2018-2019

1. Cho số nguyên $a >1$. Tìm giá trị lớn nhất của số thực $d$ sao cho tồn tại một cấp số cộng có công sai $d$, số hạng đầu tiên là $a$ và có đúng hai trong các số $a^2$, $a^3$, $a^4$, $a^5$ là những số hạng của cấp số cộng đó.
2. Cho $n$ số thực $x_1,x_2,...,x_n$. Với mỗi $i\in \{1,2,...,n\}$ gọi $a_i$ là số các chỉ số $j$ mà $\vert x_1-x_j \vert \leq 1$ và $b_i$ là số các chỉ số $j$ mà $\vert x_1-x_j \vert \leq 2$ ($i$ có thể bằng $j$).
   a) Chứng minh rằng tồn tại $i$ mà $b_i \leq 3a_i$.
   b) Gọi $A$ là số cặp $(i,j)$ có thứ tự mà $\vert x_1-x_j \vert \leq 1$ và $B$ là số cặp $(i,j)$ có thứ tự mà $\vert x_1-x_j \vert \leq 2$ ($i$ có thể bàng $j$). Chứng minh rằng $B\leq 3A$.
3. Cho số tự nhiên $p$. Xét phương trình nghiệm nguyên $$x^3+x+p=y^2.$$ a) Tìm số nguyên tố $p=4k+1$ nhỏ nhất sao cho phương trình có nghiệm.
   b) Chứng minh rằng nếu $p$ là số chính phương thì phương trình luôn có nghiệm
4. Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ với $B$, $C$ cố định và $A$ di chuyển trên $(O)$; $D$ là trung điểm $BC$. Trên $AB$ lấy $M$, $P$ và trên $AC$ lấy $N$, $Q$ sao cho $DA=DP=DQ$, $DM \perp AC$, $DN \perp AB$.
   a) Chứng minh $M$, $N$, $P$, $Q$ cùng thuộc đường tròn $(C)$ và $(C)$ luôn đi qua $1$ điểm cố định.
   b) Chứng minh tâm của $(C)$ luôn thuộc $1$ đường tròn cố định.
5. Cho số thực $a$ khác $0$ và dãy $(u_n)$ thỏa $$u_1=0,\quad u_{n+1}(u_n+a)=a+1,\,\forall n\in\mathbb N^*.$$ Tìm giới hạn của dãy $(u_n)$.
6. Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R^+} \to \mathbb{R^+}$ thỏa $$f(xf(y^2)-yf(x^2))=(y-x)(f(xy),\, \forall x,y \in \mathbb{R^+}$$
7. Cho $n=2018.2019$. Gọi $A$ là tập hợp các bộ $(a_1;a_2;...;a_n)$ có thứ tự thỏa $$a_i \in [0;1],\,\forall i \in \{1;2;3;..;n\},\quad \sum_{i=1}^k a_i \leq \frac{k}{2},\, \sum_{i=n-k+1}^n a_i \leq \frac{k}{2},\, \forall k \in \{1;2;3;..;n\}$$
8. Đường tròn $(C)$ (tâm $I$) nội tiếp tam giác $ABC$ và tiếp xúc với các cạnh $AB$, $AC$ tại $E$, $F$. $AM$, $AN$ là các phân giác trong, phân giác ngoài của $\widehat{BAC}$ $(M,N \in BC)$. Gọi $d_M$, $d_N$ ($d_M$, $d_N$ khác $BC$) lần lượt là các tiếp tuyến của $(C)$ qua $M$, $N$.
   a) Chứng minh $d_M$, $d_N$, $EF$ đồng quy (tại điểm $D$).
   b) Trên $AB$, $AC$ lấy các điểm $P$, $Q$ thỏa $DP || AC$, $DQ || AB$. Gọi $R$, $S$ là trung điểm $DE$, $DF$. Chứng minh $I$ thuộc đường thẳng qua các trực tâm của ha tam giác $DPS$ và $DQR$.