# [Solutions] Serbian Mathematical Olympiad 2017

1. Prove that for positive real numbers $a,b,c$ such that $a+b+c=1$ holds $$a\sqrt{2b+1}+b\sqrt{2c+1}+c\sqrt{2a+1}\le \sqrt{2-(a^2+b^2+c^2)}.$$
2. Let $ABCD$ be a convex and cyclic quadrilateral. Let $AD\cap BC=\{E\}$, and let $M,N$ be points on $AD$, $BC$ such that $AM:MD=BN:NC$. Circle around $\triangle EMN$ intersects circle around $ABCD$ at $X,Y$ prove that $AB$, $CD$ and $XY$ are either parallel or concurrent.
3. There are $2n-1$ lamps in a row. In the begging only the middle one is on($n$-th one), and the other ones are off. Allowed move is to tako two non neighbouring lamps which are turned off such that all lamps beetwen them are turned on and switch all of their states from on to off and vice versa. What is the maximal number of moves until the process terminates?
4. Let $a$ be a positive integer. Suppose that $\forall n$, $\exists d$, $d\not =1$, $d\equiv 1\pmod n$, $d\mid n^2a-1$. Prove that $a$ is a perfect square.
5. Find the maximum number of queens you could put on $2017 \times 2017$ chess table such that each queen attacks at most $1$ other queen.
6. Let $k$ be the circumcircle of $\triangle ABC$ and let $k_a$ be A-excircle .Let the two common tangents of $k$, $k_a$ cut $BC$ in $P$, $Q$. Prove that $\measuredangle PAB=\measuredangle CAQ$
 MOlympiad.NET là dự án thu thập và phát hành các đề thi tuyển sinh và học sinh giỏi toán. Quý bạn đọc muốn giúp chúng tôi chỉnh sửa bài viết này, xin hãy để lại bình luận facebook (có thể đính kèm hình ảnh) hoặc google (có thể sử dụng $\LaTeX$) bên dưới. BBT rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc liên hệ[email protected]Chúng tôi nhận tất cả các định dạng của tài liệu: $\TeX$, PDF, WORD, IMG,...