$hide=mobile

[Đáp Án] Đề Thi Olympic Toán Sinh Viên Học Sinh 2018 (THPT)

TỔ HỢP

Người ta nhận thấy rằng giữa hai con gà $G_{1}$, $G_{2}$ khác nhau trong một đàn gà bất kì luôn có một quan hệ thẳng-thua xác định: hoặc là $G_{1}$ thắng $G_{2}$, hoặc là $G_{2}$ thắng $G_{1}$ (chỉ một trong hai khả năng). Một con gà $K$ trong đàn được gọi là vua nếu, với mọi con gà $G$ khác của đàn, hoặc là $K$ thẳng $\dot{G}$, hoặc là $K$ thua $\boldsymbol{G}$ nhưng có một con gà $\boldsymbol{G}^{\prime}$ trong đàn sao cho $\boldsymbol{K}$ thắng $G^{\prime}$ và $G^{\prime}$ thắng $G$. Một con gà được gọi là hoàng đế nếu nó thắng mọi con gà khác trong đàn. Các bài toán sau đây quan tâm đến số vua có thể có trong một đàn gà.
  1. a) Chứng minh rằng không có đàn gà nào có nhiều hơn một hoàng đế.
    b) Nêu ví dụ về một đàn gà có một hoàng đế.
    c) Nêu ví dụ về một đàn gà không có hoàng đế.
  2. Xét một đàn gà bất kì và một con gà $G$ của nó.
    a) Giả sử $G$ thắng nhiều con gà nhất trong đàn. Chứng minh rằng $G$ là một vua của đàn. (Nói riêng mọi đàn gà không rỗng đều có ít nhất một vua.)
    b) Giả sử $G$ thua một con gà nào đó trong đàn. Chứng minh rằng $G$ thua một vua nào đó trong đàn.
  3. Chứng minh rằng nếu một đàn gà $(\geq 3$ con) không có hoàng đế thì phải có ít nhất ba vua.
  4. Chứng minh rằng không có đàn gà nào có đúng hai vua.
  5. Cho số nguyên dương $n$. Chứng minh rằng nếu tồn tại một đàn gà $n$ con mà tất cả đều là vua thì cũng tồn tại một đàn gà $n+2$ con mà tất cả đều là vua.
  6. Chứng minh rằng không có đàn gà 4 con nào mà tất cả đều là vua.
  7. Hãy đưa ra ví dụ về một đàn gà 6 con mà tất cả đều là vua.
  8. Cho các số nguyên dương $k \leq n$. Chứng minh rằng tồn tại một đàn gà $n$ con, trong đó có đúng $k$ vua, trừ hai trường hợp: $\bar{k}=2, n \geq 2$ (bất kì) và $k=n=4$.
  9. Cho một đàn gà có $n \geq 2$ con. Chứng minh rằng có thể đánh số các con gà từ 1 đến $n$ sao cho với mọi $\dot{k}=1,2, \ldots, n-1$ thì con số $k$ thắng con số $k+1$ và hơn nữa, nếu bỏ các con số $1,2, \ldots, k$ ra khỏi đàn gà thì con số $k+1$ là một vua trong đàn gà còn lại.

ĐẠI SỐ

Trong các bài toán sau đây, ta cho 2 dãy số thực: $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}(n \geq 1)$. Đặt $X_{k}=x_{1}+\cdots+x_{k}, Y_{k}=y_{1}+\cdots+y_{k}(1 \leq k \leq n)$
  1. Chứng minh rằng $$\sum_{k=1}^{n} x_{k} y_{k}=x_{n} Y_{n}-\left(\sum_{k=1}^{n-1}\left(x_{k+1}-x_{k}\right) Y_{k}\right)=X_{n} y_{n}-\left(\sum_{k=1}^{n-1}\left(y_{k+1}-y_{k}\right) X_{k}\right)$$ (Tổng trên một tập rỗng được quy ước là có giá trị bằng 0 , chẳng hạn khi $n=0$, biểu thức trong các dấu ngoặc trên đây bằng 0 .)
  2. Giả sử $x_{1} \geq x_{2} \geq \cdots \geq x_{n} \geq 0 .$ Đặt $m=\min _{1 \leq k \leq n} Y_{k}$ và $M=\max _{1 \leq k \leq n} Y_{k}$. Chứng minh rằng $$x_{1} m \leq \sum_{k=1}^{n} x_{k} y_{k} \leq x_{1} M$$
  3. Cho dãy số thực $y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}$. Kí hiệu $m, M$ như trong PT.2. Chứng minh rằng $$m \leq y_{1}+\frac{1}{2} y_{2}+\cdots+\frac{1}{n} y_{n} \leq M.$$ Đặt $H_{0}=0$ và với mỗi số nguyên dương $k$, đặt $H_{k}=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{k}$.
  4. Chứng minh rằng, với mọi số nguyên không âm $n$, ta có
    a) $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} H_{k}=(n+1) H_{n}-n$.
    b) $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} k H_{k}=\frac{n(n+1)}{2} H_{n}-\frac{n(n-1)}{4}$.
  5. Cho các số nguyên dương $n \geq m$. Đặt $T_{m, n}=\sum_{k=m}^{n}\left(\begin{array}{c}k \\ m\end{array}\right) H_{k}$; trong đó, $\left(\begin{array}{c}k \\ m\end{array}\right)$ là số tổ hợp chập $m$ của $k$ phần tử. Hãy tìm một công thức tính $\boldsymbol{T}_{m, n}$ theo và chỉ theo $m, n$ và $\boldsymbol{H}_{n}$.
  6. Cho dãy số thực $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ thoả mãn tính chất $$\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}}{k} \geq \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n},\,\forall 1 \leq k \leq n.$$ Chứng minh rằng với mọi dãy số thực $b_{1} \geq b_{2} \geq \cdots \geq b_{n}$ ta có $$n \sum_{k=1}^{n} a_{k} b_{k} \geq\left(\sum_{k=1}^{n} a_{k}\right)\left(\sum_{k=1}^{n} b_{k}\right)$$
  7. a) Giả sử $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ là các số thực dương sao cho $a_{1} a_{2} \ldots a_{n} \geq 1$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $p$ ta có $$\sum_{k=1}^{n} a_{k}^{p+1} \geq \sum_{k=1}^{n} a_{k}^{p}.$$ b) Chứng minh rằng với mọi số thực dương $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ ta có $$\sqrt{\frac{x_{2}^{3}}{x_{1}^{3}}}+\sqrt{\frac{x_{3}^{3}}{x_{2}^{3}}}+\cdots+\sqrt{\frac{x_{1}^{3}}{x_{n}^{3}}} \geq \frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{3}}{x_{2}}+\cdots+\frac{x_{1}}{x_{n}} .$$
  8. Xét các số thực dương $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ sao cho $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k} \leq\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^{2}$ với mọi $k=1,2, \ldots, n$. Tìm giá trị lớn nhất của $$\sqrt[3]{a_{1}}+\sqrt[3]{a_{2}}+\cdots+\sqrt[3]{a_{n}}.$$

Post a Comment


$hide=mobile

$hide=mobile

$hide=mobile

$show=post$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

Kỷ Yếu$cl=violet$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0$hide=mobile

Journals$cl=green$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0$hide=mobile

Name

Ả-rập Xê-út,1,Abel,5,Albania,2,AMM,3,Amsterdam,5,Ấn Độ,2,An Giang,23,Andrew Wiles,1,Anh,2,Áo,1,APMO,19,Ba Đình,2,Ba Lan,1,Bà Rịa Vũng Tàu,52,Bắc Giang,50,Bắc Kạn,1,Bạc Liêu,9,Bắc Ninh,48,Bắc Trung Bộ,7,Bài Toán Hay,5,Balkan,38,Baltic Way,30,BAMO,1,Bất Đẳng Thức,66,Bến Tre,46,Benelux,14,Bình Định,45,Bình Dương,23,Bình Phước,38,Bình Thuận,34,Birch,1,Booklet,11,Bosnia Herzegovina,3,BoxMath,3,Brazil,2,Bùi Đắc Hiên,1,Bùi Thị Thiện Mỹ,1,Bùi Văn Tuyên,1,Bùi Xuân Diệu,1,Bulgaria,6,Buôn Ma Thuột,1,BxMO,13,Cà Mau,14,Cần Thơ,14,Canada,40,Cao Bằng,7,Cao Quang Minh,1,Câu Chuyện Toán Học,36,Caucasus,2,CGMO,10,China,10,Chọn Đội Tuyển,353,Chu Tuấn Anh,1,Chuyên Đề,124,Chuyên Sư Phạm,31,Chuyên Trần Hưng Đạo,3,Collection,8,College Mathematic,1,Concours,1,Cono Sur,1,Contest,618,Correspondence,1,Cosmin Poahata,1,Crux,2,Czech-Polish-Slovak,26,Đà Nẵng,39,Đa Thức,2,Đại Số,20,Đắk Lắk,56,Đắk Nông,7,Đan Phượng,1,Danube,7,Đào Thái Hiệp,1,ĐBSCL,2,Đề Thi,1,Đề Thi HSG,1770,Đề Thi JMO,1,Điện Biên,8,Định Lý,1,Định Lý Beaty,1,Đỗ Hữu Đức Thịnh,1,Do Thái,3,Doãn Quang Tiến,4,Đoàn Quỳnh,1,Đoàn Văn Trung,1,Đống Đa,4,Đồng Nai,49,Đồng Tháp,52,Du Hiền Vinh,1,Đức,1,Duyên Hải Bắc Bộ,25,E-Book,33,EGMO,17,ELMO,19,EMC,9,Epsilon,1,Estonian,5,Euler,1,Evan Chen,1,Fermat,3,Finland,4,Forum Of Geometry,2,Furstenberg,1,G. Polya,3,Gặp Gỡ Toán Học,26,Gauss,1,GDTX,3,Geometry,12,Gia Lai,26,Gia Viễn,2,Giải Tích Hàm,1,Giảng Võ,1,Giới hạn,2,Goldbach,1,Hà Giang,2,Hà Lan,1,Hà Nam,29,Hà Nội,232,Hà Tĩnh,73,Hà Trung Kiên,1,Hải Dương,50,Hải Phòng,42,Hàn Quốc,5,Hậu Giang,4,Hậu Lộc,1,Hilbert,1,Hình Học,33,HKUST,7,Hòa Bình,13,Hoài Nhơn,1,Hoàng Bá Minh,1,Hoàng Minh Quân,1,Hodge,1,Hojoo Lee,2,HOMC,5,HongKong,8,HSG 10,101,HSG 11,91,HSG 12,587,HSG 9,425,HSG Cấp Trường,78,HSG Quốc Gia,106,HSG Quốc Tế,16,Hứa Lâm Phong,1,Hứa Thuần Phỏng,1,Hùng Vương,2,Hưng Yên,33,Hương Sơn,2,Huỳnh Kim Linh,1,Hy Lạp,1,IMC,26,IMO,56,IMT,1,India,45,Inequality,13,InMC,1,International,315,Iran,11,Jakob,1,JBMO,41,Jewish,1,Journal,20,Junior,38,K2pi,1,Kazakhstan,1,Khánh Hòa,17,KHTN,54,Kiên Giang,64,Kim Liên,1,Kon Tum,18,Korea,5,Kvant,2,Kỷ Yếu,42,Lai Châu,4,Lâm Đồng,33,Lạng Sơn,21,Langlands,1,Lào Cai,17,Lê Hải Châu,1,Lê Hải Khôi,1,Lê Hoành Phò,4,Lê Khánh Sỹ,3,Lê Minh Cường,1,Lê Phúc Lữ,1,Lê Phương,1,Lê Quý Đôn,1,Lê Viết Hải,1,Lê Việt Hưng,1,Leibniz,1,Long An,42,Lớp 10,10,Lớp 10 Chuyên,455,Lớp 10 Không Chuyên,229,Lớp 11,1,Lục Ngạn,1,Lượng giác,1,Lương Tài,1,Lưu Giang Nam,2,Lý Thánh Tông,1,Macedonian,1,Malaysia,1,Margulis,2,Mark Levi,1,Mathematical Excalibur,1,Mathematical Reflections,1,Mathematics Magazine,1,Mathematics Today,1,Mathley,1,MathLinks,1,MathProblems Journal,1,Mathscope,8,MathsVN,5,MathVN,1,MEMO,11,Metropolises,4,Mexico,1,MIC,1,Michael Guillen,1,Mochizuki,1,Moldova,1,Moscow,1,Mỹ,10,MYM,227,MYTS,4,Nam Định,33,Nam Phi,1,Nam Trung Bộ,1,National,249,Nesbitt,1,Newton,4,Nghệ An,52,Ngô Bảo Châu,2,Ngô Việt Hải,1,Ngọc Huyền,2,Nguyễn Anh Tuyến,1,Nguyễn Bá Đang,1,Nguyễn Đình Thi,1,Nguyễn Đức Tấn,1,Nguyễn Đức Thắng,1,Nguyễn Duy Khương,1,Nguyễn Duy Tùng,1,Nguyễn Hữu Điển,3,Nguyễn Mình Hà,1,Nguyễn Minh Tuấn,8,Nguyễn Phan Tài Vương,1,Nguyễn Phú Khánh,1,Nguyễn Phúc Tăng,1,Nguyễn Quản Bá Hồng,1,Nguyễn Quang Sơn,1,Nguyễn Tài Chung,5,Nguyễn Tăng Vũ,1,Nguyễn Tất Thu,1,Nguyễn Thúc Vũ Hoàng,1,Nguyễn Trung Tuấn,8,Nguyễn Tuấn Anh,2,Nguyễn Văn Huyện,3,Nguyễn Văn Mậu,25,Nguyễn Văn Nho,1,Nguyễn Văn Quý,2,Nguyễn Văn Thông,1,Nguyễn Việt Anh,1,Nguyễn Vũ Lương,2,Nhật Bản,4,Nhóm $\LaTeX$,4,Nhóm Toán,1,Ninh Bình,43,Ninh Thuận,15,Nội Suy Lagrange,2,Nội Suy Newton,1,Nordic,19,Olympiad Corner,1,Olympiad Preliminary,2,Olympic 10,99,Olympic 10/3,5,Olympic 11,92,Olympic 12,30,Olympic 24/3,7,Olympic 27/4,20,Olympic 30/4,69,Olympic KHTN,6,Olympic Sinh Viên,73,Olympic Tháng 4,12,Olympic Toán,304,Olympic Toán Sơ Cấp,3,PAMO,1,Phạm Đình Đồng,1,Phạm Đức Tài,1,Phạm Huy Hoàng,1,Pham Kim Hung,3,Phạm Quốc Sang,2,Phan Huy Khải,1,Phan Thành Nam,1,Pháp,2,Philippines,8,Phú Thọ,30,Phú Yên,29,Phùng Hồ Hải,1,Phương Trình Hàm,11,Phương Trình Pythagoras,1,Pi,1,Polish,32,Problems,1,PT-HPT,14,PTNK,45,Putnam,25,Quảng Bình,44,Quảng Nam,32,Quảng Ngãi,34,Quảng Ninh,43,Quảng Trị,27,Quỹ Tích,1,Riemann,1,RMM,12,RMO,24,Romania,36,Romanian Mathematical,1,Russia,1,Sách Thường Thức Toán,7,Sách Toán,69,Sách Toán Cao Học,1,Sách Toán THCS,7,Saudi Arabia,7,Scholze,1,Serbia,17,Sharygin,24,Shortlists,56,Simon Singh,1,Singapore,1,Số Học - Tổ Hợp,27,Sóc Trăng,28,Sơn La,12,Spain,8,Star Education,5,Stars of Mathematics,11,Swinnerton-Dyer,1,Talent Search,1,Tăng Hải Tuân,2,Tạp Chí,14,Tập San,6,Tây Ban Nha,1,Tây Ninh,29,Thạch Hà,1,Thái Bình,39,Thái Nguyên,49,Thái Vân,2,Thanh Hóa,62,THCS,2,Thổ Nhĩ Kỳ,5,Thomas J. Mildorf,1,THPT Chuyên Lê Quý Đôn,1,THPTQG,15,THTT,7,Thừa Thiên Huế,36,Tiền Giang,19,Tin Tức Toán Học,1,Titu Andreescu,2,Toán 12,7,Toán Cao Cấp,3,Toán Chuyên,2,Toán Rời Rạc,5,Toán Tuổi Thơ,3,Tôn Ngọc Minh Quân,2,TOT,1,TPHCM,126,Trà Vinh,6,Trắc Nghiệm,1,Trắc Nghiệm Toán,2,Trại Hè,34,Trại Hè Hùng Vương,25,Trại Hè Phương Nam,5,Trần Đăng Phúc,1,Trần Minh Hiền,2,Trần Nam Dũng,9,Trần Phương,1,Trần Quang Hùng,1,Trần Quốc Anh,2,Trần Quốc Luật,1,Trần Quốc Nghĩa,1,Trần Tiến Tự,1,Trịnh Đào Chiến,2,Trung Quốc,14,Trường Đông,19,Trường Hè,7,Trường Thu,1,Trường Xuân,2,TST,56,Tuyên Quang,6,Tuyển Sinh,3,Tuyển Sinh 10,680,Tuyển Tập,44,Tuymaada,4,Undergraduate,67,USA,44,USAJMO,10,USATST,7,Uzbekistan,1,Vasile Cîrtoaje,4,Vật Lý,1,Viện Toán Học,2,Vietnam,4,Viktor Prasolov,1,VIMF,1,Vinh,27,Vĩnh Long,21,Vĩnh Phúc,64,Virginia Tech,1,VLTT,1,VMEO,4,VMF,12,VMO,47,VNTST,22,Võ Anh Khoa,1,Võ Quốc Bá Cẩn,26,Võ Thành Văn,1,Vojtěch Jarník,6,Vũ Hữu Bình,7,Vương Trung Dũng,1,WFNMC Journal,1,Wiles,1,Yên Bái,20,Yên Định,1,Yên Thành,1,Zhautykov,11,Zhou Yuan Zhe,1,
ltr
item
MOlympiad: [Đáp Án] Đề Thi Olympic Toán Sinh Viên Học Sinh 2018 (THPT)
[Đáp Án] Đề Thi Olympic Toán Sinh Viên Học Sinh 2018 (THPT)
MOlympiad
https://www.molympiad.net/2018/04/de-thi-olympic-toan-sinh-vien-hoc-sinh-2018-thpt.html
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/2018/04/de-thi-olympic-toan-sinh-vien-hoc-sinh-2018-thpt.html
true
2506595080985176441
UTF-8
Loaded All Posts Not found any posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU LABEL ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow THIS PREMIUM CONTENT IS LOCKED Please share to unlock Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy