[Đáp Án] Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 9 TP Hà Nội 2017-2018

1. a) Cho các số thực $a,b,c$ sao cho $$a+b+c=2018,\quad \dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}=\dfrac{2017}{2018}.$$ Tính giá trị của biểu thức $$P= \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}.$$ b) Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x,y)$ sao cho $$\frac{x-y}{x^{2}+xy+y^{2}}=\frac{7}{13}$$
2. a) Giải phương trình $$6x^{2}+2x+1=3x\sqrt{6x+3}.$$ b) Giải hệ phương trình $$\begin{cases}x^{3}+x+2&=y^{3}-3y^{2}+4y \\ 2\sqrt{x+2}=&y+2\end{cases}$$
3. a) Cho $p$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng không tồn tại cặp số nguyên dương $(m,n)$ sao cho $$m^{2019}+n^{2019}=p^{2018}.$$ b) Xét ba số không âm $x,y,z$ sao cho $x+y+z=3$ và $x\leq y\leq z$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $$P=\frac{x}{y^{3}+16}+\frac{y}{z^{3}+16}+\frac{z}{x^{3}+16}$$
4. Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn $(AB<AC<BC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$, $M$ là trung điểm của $AC$ và $P$ là điểm tay đổi trên đoạn thẳng $MH$ ($P$ khác $M$, $P$ khác $H$).
   a) Chứng minh $\widehat{BAO}=\widehat{HAC}$.
   b) Chứng minh $B$, $P$, $O$ thẳng hàng khi $\widehat{APB}= 90^0$.
   c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMP$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $BHP$ cắt nhau tại $Q$ ($Q$ khác $P$). Chứng minh đường thẳng $PQ$ luôn đi qua một điểm cố định khi $P$ thay đổi.
5. Cho đa giác đều $2n$ đỉnh nội tiếp $(O)$, chia $2n$ đỉnh này thành $n$ cặp điểm, mỗi cặp điểm này tạo thành một đoạn thẳng (hai đoạn thẳng bất ki trong số $n$ đoạn thẳng được tạo ra không có đầu mút chung).
   a) Khi $n=4$, hãy chỉ một cách chia sao cho trong $4$ đoạn thẳng được tạo ra không có $2$ đoạn thẳng nào bằng nhau.
   b) Khi $n=10$, chứng minh trong $10$ đoạn thẳng được tạo ra luôn tồn tại hai đoạn thẳng bằng nhau

[DOWNLOAD ĐÁP ÁN ##download##]