Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 12 TP Cần Thơ 2013-2014

1. Giải hệ phương trình $$\begin{cases}\sqrt[4]{x}\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{2\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x+y}\right)&=2 \\ \sqrt[4]{y}\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{2\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x+y}\right)&=1 \end{cases}$$
2. Chứng minh rằng với mọi $\alpha$ ta có $$\sqrt{17}\leq \sqrt{\cos^2 \alpha+4\cos \alpha+6}+ +\sqrt{\cos^2 \alpha-2\cos \alpha+3} \leq \sqrt{2}+\sqrt{11}$$
3. Cho $A$, $D$ lần lượt là trung điểm của các đoạn $A'B$, $AB$ $(A'B=2R)$. Dựng về một phía đối với đường thẳng hai nửa đường tròn $(C)$ và $(C')$ có các đường kính lần lượt là $AB$ và $A'B$. Gọi $I$ là điểm thoả mãn điều kiện $\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AI}$. Kẻ một đường thẳng bất kỳ qua $I$ cắt $(C)$ và $(C')$ lần lượt tại $M$, $M'$ ($M$ không trùng với $A$). Chứng minh rằng
   a) $DA^2=DI\cdot DA'$.
   b) $AM$, $BM$ lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài của góc $\angle IMA'$.
   c) $A$, $A'$, $M$, $M'$ cùng thuộc một đường tròn.
4. Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x,y)$ thoả mãn $$x^{2002}+y^{2002}=2003^{2011}(x^4+y^4)$$
5. Cho dãy số $(x_n)$ được xác định bởi $$x_1=a,\quad x_{n+1}=\dfrac{2011}{3}\ln(x_n^2+2011^2)-2011^2,\,\forall n\in\mathbb N^*.$$ Chứng minh rằng dãy số $(x_n)$ có giới hạn. 
6. Giải hệ phương trình sau $$\begin{cases} x^3+3xy^2&=25 \\x^2+6xy+y^2&=10x+6y-1\end{cases}\quad (x,y\in\mathbb{R})$$
7. Cho tam giác $ABC$ có ba góc đều nhọn, $AB<AC$, $AH$ là đường cao và $AD$ là đường phân giác trong. Gọi $E$, $F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $D$ trêm các cạnh $AC$ và $AB$, $M$ là giao điểm của $BE$ và $CF$.
   a) Chứng minh ba điểm $A$, $M$, $H$ thẳng hàng.
   b) Gọi $K$ là giao điểm của $EF$ và $BC$. Chứng minh $\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{KB}{KC}$.
   c) Gọi $N$ là giao điểm của $BC$ với đường kính qua $A$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh $\dfrac{HB}{HC}\cdot\dfrac{NB}{NC}<1$.
8. Cho $a, b, c$ là ba số nguyên khác không và thỏa mãn $$a^2b+b^2c+c^2a=3abc.$$ a) Hãy chỉ ra một bộ số nguyên $a, b, c$ đôi một khác nhau thỏa điều kiện trên.
   b) Chứng minh $abc$ là lập phương của một số nguyên.
9. Cho các đa thức $P(x)$, $Q(x)$ với hệ số thức thỏa mãn điều kiện $$P(x)=Q(x)+Q(1-x),\forall x\in\mathbb{R}.$$ Biết $P(0)=0$ và các hệ số của $P(x)$ đều không âm. Tính $P(P(2013))$.
10. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z}\mapsto \mathbb{Z}$ thỏa mãn các điều kiện $$f(0)=1,\quad f \left ( f(m+n) +m\right )=n \ \forall m, n\in\mathbb{Z}.$$
11. Một bảng ô vuông không giới hạn số dòng, số cột và trên đó mới chỉ ghi hai số $1$ và $3$ vào hai ô khác nhau. Ta thực hiện trò chơi viết thêm số vào các ô vuông như sau: nếu trên bảng có hai số tự nhiên $a$ và $b$ thì được phép viết thêm số $c=a+b+ab$ vào ô vuông còn trống trên bảng. Hỏi bằng cách đó trên bảng có thể xuất hiện được các số $2509$ và $20132014$ hay không? Giải thích tại sao?.