$hide=mobile

[Nguyễn Trung Tuấn] Bài Tập Luyện Đội Tuyển Việt Nam Tham Dự IMO 2017

  1. Cho $n$-giác đều $P$. Chứng minh rằng nếu $3$ trong các đỉnh của $P$ là điểm nguyên và hai trong chúng là kề nhau thì $P$ là hình vuông.
  2. Có một con cào cào đậu ở điểm $(1,1)$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Từ điểm đó nó sẽ nhảy đến điểm nguyên khác theo quy tắc: nhảy được từ $A$ đến $B$ khi và chỉ khi diện tích của tam giác $AOB$ bằng $1/2$.
    a) Tìm tất cả các điểm nguyên dương $(m,n)$ sao cho con cào cào có thể đến đó sau hữu hạn lần nhảy, bắt đầu từ $(1,1)$.
    b) Nếu $(m,n)$ thỏa mãn điều kiện trên. Chứng minh rằng con cào cào có thể đến $(m,n)$ từ $(1,1)$ sau nhiều nhất $|m-n|$ lần nhảy.
  3. Cho số nguyên $n \ge 5$. Xét các số nguyên $a_i$, $b_i$ ($i = 1,2, \cdots ,n$) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
    • Các cặp $(a_i,b_i)$ với $i = 1,2,\cdots,n$ đôi một khác nhau;
    • $|a_1b_2-a_2b_1| = |a_2b_3-a_3b_2| = \cdots = |a_nb_1-a_1b_n| = 1$.
    Chứng minh rằng tồn tại các chỉ số $i,j$ sao cho $1<|i-j|<n-1$ và $|a_ib_j-a_jb_i|=1$.
  4. Trong mặt phẳng tọa độ, tô màu các điểm nguyên với hoành độ và tung độ chẵn bởi màu đen và các điểm nguyên còn lại bởi màu trắng. Cho $P$ là một đa giác lồi có các đỉnh là các điểm nguyên màu đen. Chứng minh rằng mỗi điểm nguyên trắng nằm bên trong hoặc trên biên của $P$ sẽ nằm giữa hai điểm nguyên đen nằm trong hay trên biên của $P$.
  5. Gọi $P$ và $Q$ là hai tập hợp gồm tất cả các điểm nằm trong hay trên biên của hai đa giác lồi với các đỉnh có tọa độ nguyên. Chứng minh rằng nếu $P\cap Q\ne\emptyset$ và không chứa điểm có tọa độ nguyên thì nó là một hình tứ giác lồi không suy biến.
  6. Xét các số thực dương $S$ có tính chất: với mọi cách tô các điểm nguyên bởi một trong ba màu cho trước, tồn tại tam giác ABC có ba đỉnh cùng màu sao cho $S_{\triangle ABC}=S$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $S$.
  7. Cho số nguyên dương $n>1$ và dãy số Fibonacci xác định như sau $$f_1=f_2=1,\quad f_{k+2}=f_{k+1}+f_k,\,\forall k\in\mathbb{N}^*.$$ Chứng minh rằng nếu $a$ và $b$ là các số nguyên dương sao cho $\dfrac{a}{b}$ nằm giữa hai phân số $\dfrac{f_n}{f_{n-1}}$ và $\dfrac{f_{n+1}}{f_{n}}$ thì $b\geq f_{n+1}$.
  8. Cho trước một số số tự nhiên được viết trên một đường thẳng. Ta thực hiện các bước điền số lên đường thẳng như sau: tại mỗi bước, trước tiên xác định tất cả các cặp số kề nhau hiện có trên đường thẳng theo thứ tự từ trái qua phải, sau đó điền vào giữa mỗi cặp một số bằng tổng của hai số thuộc cặp đó. Hỏi sau $2013$ bước, số $2013$ xuất hiện bao nhiêu lần trên đường thẳng trong các trường hợp sau
    a) Các số cho trước là $1$ và $1000$?.
    b) Các số cho trước là $1,2,...,1000$ và được xếp theo thức tự tăng dần từ trái qua phải?.
  9. Dãy hữu hạn các số nguyên $a_1, a_2, \dots, a_n$ được gọi là chính quy nếu tồn tại số thực $x$ thỏa mãn $\left\lfloor kx \right\rfloor = a_k$ với mọi $k=1, 2,\cdots, n$. Cho dãy chính quy $a_1, a_2, \dots, a_n$, với $1 \le k \le n$ ta nói $a_k$ là số hạng bắt buộc nếu dãy $a_1, a_2, \dots, a_{k-1}, b$ chính quy khi và chỉ khi $b = a_k$. Tìm số lớn nhất các số hạng bắt buộc của một dãy chính quy dài \displaystyle $1000$.
  10. Cho $\nu$ là một số vô tỷ dương, và $m$ là một số nguyên dương. Một cặp $(a,b)$ các số nguyên dương được gọi là tốt nếu $a \left \lceil b\nu \right \rceil - b \left \lfloor a \nu \right \rfloor = m$. Một cặp tốt $(a,b)$ được gọi là rất tốt nếu không cặp nào trong hai cặp $(a-b,b)$, $(a,b-a)$ là tốt. Chứng minh rằng số cặp rất tốt bằng tổng các ước dương của $m$.
  11. Cho $m,n$ là các số nguyên dương thỏa mãn $m \ge n$. Gọi $S$ là tập tất cả các cặp $(a,b)$ các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau thỏa mãn $a,b \le m$ và $a+b > m$. Với mỗi $(a,b)\in S$, xét nghiệm tự nhiên $(u,v)$ của phương trình $au - bv = n$ sao cho $v$ nhỏ nhất, và gọi $I(a,b)$ là khoảng $(v/a, u/b)$. Chứng minh rằng $I(a,b) \subset (0,1)$ với mọi $(a,b)\in S$ và mỗi số vô tỷ $\alpha\in(0,1)$ thuộc $I(a,b)$ với đúng $n$ cặp phân biệt $(a,b)\in S$.
  12. Một số nguyên dương $q$ được gọi là mẫu phù hợp của số thực $\alpha$ nếu $$|\alpha - \dfrac{p}{q}|<\dfrac{1}{10q}$$ với số nguyên $p$ nào đó. Chứng minh nếu hai số vô tỷ $\alpha$ và $\beta$ có cùng tập các mẫu phù hợp thì $\alpha+\beta$ hoặc $\alpha- \beta$ là một số nguyên.
  13. Cho số nguyên dương $k$. Xét dãy $a_0,a_1,...,a_n$ ($n>0$) các số nguyên dương thỏa mãn đồng thời các điều kiện
    • $a_0=a_n=1$;
    • $2\leq a_i\leq k\,\forall i=1,2,...,n-1$;
    • với mỗi $j=2,3,...,k$, số $j$ xuất hiện $\varphi(j)$ lần trong $a_0,a_1,...,a_n$;
    • $\gcd(a_i,a_{i+1})=1\,\forall i=\overline{0,n-1}$ và $a_i|a_{i-1}+a_{i+1}\,\forall i=\overline{0,n-1}$.
    Giả sử $b_0,b_1,...,b_n$ là dãy các số nguyên sao cho $$\dfrac{b_{i+1}}{a_{i+1}}>\dfrac{b_i}{a_i}\,\forall i=0,1,...,n-1.$$ Tìm giá trị nhỏ nhất của $b_n-b_0$.
  14. Cho hàm số $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ có các tính chất
    • tồn tại hằng số $K>0$ sao cho $|f(x)-f(y)|\le K|x-y|$ với mọi $x,y\in [0,1]$.
    • với mỗi số hữu tỷ $r\in [0,1]$, tồn tại các số nguyên $a$ và $b$ sao cho $f(r)=a+br$.
    Chứng minh rằng $f(x)$ tuyến tính từng khúc trên $[0,1]$.

Post a Comment


$hide=mobile

$hide=mobile

$hide=mobile

$show=post$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

Kỷ Yếu$cl=violet$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0$hide=mobile

Journals$cl=green$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0$hide=mobile

Name

Ả-rập Xê-út,1,Abel,5,Albania,2,AMM,3,Amsterdam,5,Ấn Độ,2,An Giang,23,Andrew Wiles,1,Anh,2,Áo,1,APMO,19,Ba Đình,2,Ba Lan,1,Bà Rịa Vũng Tàu,52,Bắc Giang,50,Bắc Kạn,1,Bạc Liêu,9,Bắc Ninh,48,Bắc Trung Bộ,7,Bài Toán Hay,5,Balkan,38,Baltic Way,30,BAMO,1,Bất Đẳng Thức,66,Bến Tre,46,Benelux,14,Bình Định,45,Bình Dương,23,Bình Phước,38,Bình Thuận,34,Birch,1,Booklet,11,Bosnia Herzegovina,3,BoxMath,3,Brazil,2,Bùi Đắc Hiên,1,Bùi Thị Thiện Mỹ,1,Bùi Văn Tuyên,1,Bùi Xuân Diệu,1,Bulgaria,6,Buôn Ma Thuột,1,BxMO,13,Cà Mau,14,Cần Thơ,14,Canada,40,Cao Bằng,7,Cao Quang Minh,1,Câu Chuyện Toán Học,36,Caucasus,2,CGMO,10,China,10,Chọn Đội Tuyển,353,Chu Tuấn Anh,1,Chuyên Đề,124,Chuyên Sư Phạm,31,Chuyên Trần Hưng Đạo,3,Collection,8,College Mathematic,1,Concours,1,Cono Sur,1,Contest,618,Correspondence,1,Cosmin Poahata,1,Crux,2,Czech-Polish-Slovak,26,Đà Nẵng,39,Đa Thức,2,Đại Số,20,Đắk Lắk,56,Đắk Nông,7,Đan Phượng,1,Danube,7,Đào Thái Hiệp,1,ĐBSCL,2,Đề Thi,1,Đề Thi HSG,1770,Đề Thi JMO,1,Điện Biên,8,Định Lý,1,Định Lý Beaty,1,Đỗ Hữu Đức Thịnh,1,Do Thái,3,Doãn Quang Tiến,4,Đoàn Quỳnh,1,Đoàn Văn Trung,1,Đống Đa,4,Đồng Nai,49,Đồng Tháp,52,Du Hiền Vinh,1,Đức,1,Duyên Hải Bắc Bộ,25,E-Book,33,EGMO,17,ELMO,19,EMC,9,Epsilon,1,Estonian,5,Euler,1,Evan Chen,1,Fermat,3,Finland,4,Forum Of Geometry,2,Furstenberg,1,G. Polya,3,Gặp Gỡ Toán Học,26,Gauss,1,GDTX,3,Geometry,12,Gia Lai,26,Gia Viễn,2,Giải Tích Hàm,1,Giảng Võ,1,Giới hạn,2,Goldbach,1,Hà Giang,2,Hà Lan,1,Hà Nam,29,Hà Nội,232,Hà Tĩnh,73,Hà Trung Kiên,1,Hải Dương,50,Hải Phòng,42,Hàn Quốc,5,Hậu Giang,4,Hậu Lộc,1,Hilbert,1,Hình Học,33,HKUST,7,Hòa Bình,13,Hoài Nhơn,1,Hoàng Bá Minh,1,Hoàng Minh Quân,1,Hodge,1,Hojoo Lee,2,HOMC,5,HongKong,8,HSG 10,101,HSG 11,91,HSG 12,587,HSG 9,425,HSG Cấp Trường,78,HSG Quốc Gia,106,HSG Quốc Tế,16,Hứa Lâm Phong,1,Hứa Thuần Phỏng,1,Hùng Vương,2,Hưng Yên,33,Hương Sơn,2,Huỳnh Kim Linh,1,Hy Lạp,1,IMC,26,IMO,56,IMT,1,India,45,Inequality,13,InMC,1,International,315,Iran,11,Jakob,1,JBMO,41,Jewish,1,Journal,20,Junior,38,K2pi,1,Kazakhstan,1,Khánh Hòa,17,KHTN,54,Kiên Giang,64,Kim Liên,1,Kon Tum,18,Korea,5,Kvant,2,Kỷ Yếu,42,Lai Châu,4,Lâm Đồng,33,Lạng Sơn,21,Langlands,1,Lào Cai,17,Lê Hải Châu,1,Lê Hải Khôi,1,Lê Hoành Phò,4,Lê Khánh Sỹ,3,Lê Minh Cường,1,Lê Phúc Lữ,1,Lê Phương,1,Lê Quý Đôn,1,Lê Viết Hải,1,Lê Việt Hưng,1,Leibniz,1,Long An,42,Lớp 10,10,Lớp 10 Chuyên,455,Lớp 10 Không Chuyên,229,Lớp 11,1,Lục Ngạn,1,Lượng giác,1,Lương Tài,1,Lưu Giang Nam,2,Lý Thánh Tông,1,Macedonian,1,Malaysia,1,Margulis,2,Mark Levi,1,Mathematical Excalibur,1,Mathematical Reflections,1,Mathematics Magazine,1,Mathematics Today,1,Mathley,1,MathLinks,1,MathProblems Journal,1,Mathscope,8,MathsVN,5,MathVN,1,MEMO,11,Metropolises,4,Mexico,1,MIC,1,Michael Guillen,1,Mochizuki,1,Moldova,1,Moscow,1,Mỹ,10,MYM,227,MYTS,4,Nam Định,33,Nam Phi,1,Nam Trung Bộ,1,National,249,Nesbitt,1,Newton,4,Nghệ An,52,Ngô Bảo Châu,2,Ngô Việt Hải,1,Ngọc Huyền,2,Nguyễn Anh Tuyến,1,Nguyễn Bá Đang,1,Nguyễn Đình Thi,1,Nguyễn Đức Tấn,1,Nguyễn Đức Thắng,1,Nguyễn Duy Khương,1,Nguyễn Duy Tùng,1,Nguyễn Hữu Điển,3,Nguyễn Mình Hà,1,Nguyễn Minh Tuấn,8,Nguyễn Phan Tài Vương,1,Nguyễn Phú Khánh,1,Nguyễn Phúc Tăng,1,Nguyễn Quản Bá Hồng,1,Nguyễn Quang Sơn,1,Nguyễn Tài Chung,5,Nguyễn Tăng Vũ,1,Nguyễn Tất Thu,1,Nguyễn Thúc Vũ Hoàng,1,Nguyễn Trung Tuấn,8,Nguyễn Tuấn Anh,2,Nguyễn Văn Huyện,3,Nguyễn Văn Mậu,25,Nguyễn Văn Nho,1,Nguyễn Văn Quý,2,Nguyễn Văn Thông,1,Nguyễn Việt Anh,1,Nguyễn Vũ Lương,2,Nhật Bản,4,Nhóm $\LaTeX$,4,Nhóm Toán,1,Ninh Bình,43,Ninh Thuận,15,Nội Suy Lagrange,2,Nội Suy Newton,1,Nordic,19,Olympiad Corner,1,Olympiad Preliminary,2,Olympic 10,99,Olympic 10/3,5,Olympic 11,92,Olympic 12,30,Olympic 24/3,7,Olympic 27/4,20,Olympic 30/4,69,Olympic KHTN,6,Olympic Sinh Viên,73,Olympic Tháng 4,12,Olympic Toán,304,Olympic Toán Sơ Cấp,3,PAMO,1,Phạm Đình Đồng,1,Phạm Đức Tài,1,Phạm Huy Hoàng,1,Pham Kim Hung,3,Phạm Quốc Sang,2,Phan Huy Khải,1,Phan Thành Nam,1,Pháp,2,Philippines,8,Phú Thọ,30,Phú Yên,29,Phùng Hồ Hải,1,Phương Trình Hàm,11,Phương Trình Pythagoras,1,Pi,1,Polish,32,Problems,1,PT-HPT,14,PTNK,45,Putnam,25,Quảng Bình,44,Quảng Nam,32,Quảng Ngãi,34,Quảng Ninh,43,Quảng Trị,27,Quỹ Tích,1,Riemann,1,RMM,12,RMO,24,Romania,36,Romanian Mathematical,1,Russia,1,Sách Thường Thức Toán,7,Sách Toán,69,Sách Toán Cao Học,1,Sách Toán THCS,7,Saudi Arabia,7,Scholze,1,Serbia,17,Sharygin,24,Shortlists,56,Simon Singh,1,Singapore,1,Số Học - Tổ Hợp,27,Sóc Trăng,28,Sơn La,12,Spain,8,Star Education,5,Stars of Mathematics,11,Swinnerton-Dyer,1,Talent Search,1,Tăng Hải Tuân,2,Tạp Chí,14,Tập San,6,Tây Ban Nha,1,Tây Ninh,29,Thạch Hà,1,Thái Bình,39,Thái Nguyên,49,Thái Vân,2,Thanh Hóa,62,THCS,2,Thổ Nhĩ Kỳ,5,Thomas J. Mildorf,1,THPT Chuyên Lê Quý Đôn,1,THPTQG,15,THTT,7,Thừa Thiên Huế,36,Tiền Giang,19,Tin Tức Toán Học,1,Titu Andreescu,2,Toán 12,7,Toán Cao Cấp,3,Toán Chuyên,2,Toán Rời Rạc,5,Toán Tuổi Thơ,3,Tôn Ngọc Minh Quân,2,TOT,1,TPHCM,126,Trà Vinh,6,Trắc Nghiệm,1,Trắc Nghiệm Toán,2,Trại Hè,34,Trại Hè Hùng Vương,25,Trại Hè Phương Nam,5,Trần Đăng Phúc,1,Trần Minh Hiền,2,Trần Nam Dũng,9,Trần Phương,1,Trần Quang Hùng,1,Trần Quốc Anh,2,Trần Quốc Luật,1,Trần Quốc Nghĩa,1,Trần Tiến Tự,1,Trịnh Đào Chiến,2,Trung Quốc,14,Trường Đông,19,Trường Hè,7,Trường Thu,1,Trường Xuân,2,TST,56,Tuyên Quang,6,Tuyển Sinh,3,Tuyển Sinh 10,680,Tuyển Tập,44,Tuymaada,4,Undergraduate,67,USA,44,USAJMO,10,USATST,7,Uzbekistan,1,Vasile Cîrtoaje,4,Vật Lý,1,Viện Toán Học,2,Vietnam,4,Viktor Prasolov,1,VIMF,1,Vinh,27,Vĩnh Long,21,Vĩnh Phúc,64,Virginia Tech,1,VLTT,1,VMEO,4,VMF,12,VMO,47,VNTST,22,Võ Anh Khoa,1,Võ Quốc Bá Cẩn,26,Võ Thành Văn,1,Vojtěch Jarník,6,Vũ Hữu Bình,7,Vương Trung Dũng,1,WFNMC Journal,1,Wiles,1,Yên Bái,20,Yên Định,1,Yên Thành,1,Zhautykov,11,Zhou Yuan Zhe,1,
ltr
item
MOlympiad: [Nguyễn Trung Tuấn] Bài Tập Luyện Đội Tuyển Việt Nam Tham Dự IMO 2017
[Nguyễn Trung Tuấn] Bài Tập Luyện Đội Tuyển Việt Nam Tham Dự IMO 2017
MOlympiad
https://www.molympiad.net/2017/11/nguyen-trung-tuan-cac-bai-toan-luyen-thi-hoc-sinh-gioi-2017.html
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/2017/11/nguyen-trung-tuan-cac-bai-toan-luyen-thi-hoc-sinh-gioi-2017.html
true
2506595080985176441
UTF-8
Loaded All Posts Not found any posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU LABEL ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow THIS PREMIUM CONTENT IS LOCKED Please share to unlock Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy