Đề Thi Chọn Đội Tuyển Tỉnh Hà Tĩnh Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2008-2009

1. Giả sử đồ thị hàm số $f(x)=x^3-6x^2+9x+d$ cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ $x_1,x_2,x_3$ với $x_1 < x_2 < x_3$. Chứng minh $$0 < x_1 < 1 < x_2 < 3 < x_3 < 4.$$
2. Giải phương trình $$4\cot^6x+3\left(1-\dfrac{\cos 2x}{\sin^2x}\right)^4=7$$
3. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O;R)$. Các tia đối của các tia $BA$, $DA$, $CB$, $CD$ cùng tiếp xúc với đường tròn $(I;r)$. Đặt $d=OI$. Chứng minh rằng $$\dfrac{1}{r^2}=\dfrac{1}{(d+R)^2}+\dfrac{1}{(d-R)^2}$$
4. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb R\to \mathbb R$, $g:\mathbb R\to \mathbb R$ thoả mãn đồng thời các điều kiện sau
   • $\forall x,y\in \mathbb R$ thì $2f(x)-g(x)=f(y)-y$,
   • $\forall x\in \mathbb R$ thì $f(x)g(x)\geq x+1$
5. Dãy số $(x_n)$ với $n=1,2,3,...$ được xác định bởi $$x_1=3,\quad x_{n+1}=\dfrac{1}{2}x_n^2-x_n+2 \,\ \forall n\in \mathbb N^*.$$ Tìm giới hạn của dãy $(S_n)$ với $\displaystyle{S_n=\sum^n_{i=1}\dfrac{1}{x_i}}$.
6. a) Giải phương trình $$x^2-10[x]+9=0.$$ b) Giải bất phương trình $$\sqrt{x^3-x^2+x-1} < \sqrt{5}+\sqrt{-x+8}$$
7. Cho dãy $(x_n)^\infty_{n=1}$ biết $$x_1=\dfrac{-1}{2},\quad x_{n+1}=\dfrac{x_n^2-1}{2} \,\ \forall n\in \mathbb N^*.$$ Tìm giới hạn của dãy $(x_n)^\infty_{n=1}$ khi $n\to\infty$
8. Cho hàm $f:\mathbb N\to \mathbb N$ thoả mãn tính chất $$f(f(n))+f(n)=2n+3 \ \forall n\in \mathbb N.$$ Tính $f(2008)$
9. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ và ngoại tiếp $(I)$. Đường thẳng $d$ cắt các cạnh $AB$, $AC$ lần lượt tại $M$, $N$. a) Chứng minh rằng đường thẳng $d$ đi qua $I$ khi và chỉ khi $$\dfrac{AB+BC+CA}{AB\cdot AC}=\dfrac{1}{AM}+\dfrac{1}{AN}.$$ b) $K$ là một điểm bất kỳ trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, $K$ thuộc cung $BC$ không chứa điểm $A $ ($K$ khác $B$, $C$). Các tia phân giác của các góc $\widehat{BKA}$, $\widehat{CKA}$ cắt các cạnh $AB$, $AC$ lần lượt tại $D$, $E$. Chứng minh rằng $DE$ luôn luôn đi qua $I$ khi $K$ thay đổi.
10. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P=13\sin x+9\sqrt{\cos^2x-4\cos x+3}$$ với $x\in[0;\pi]$.
11. Cho $p$ là một số nguyên tố. Chứng minh đa thức sau bất khả quy trên $\mathbb Z [x]$ $$x^{p-1}+2x^{p-2}+3x^{p-3}+.....+(p-1)x+p$$