Lịch sử giả định (hypothetical histories) là một cách để làm sáng tỏ những gì đã xảy ra trong quá khứ và cả về cách chúng ta nghĩ ở hiện tại. Bài viết này giả định rằng các Huy chương Fields đã bắt đầu vào năm 1866 thay vì năm 1936 và sẽ đi đến một số kết luận có thể ngạc nhiên về những người đầu tiên được trao huy chương. Tôi hi vọng nó sẽ gợi cho độc giả để ý những ưu tiên của toán học đã thay đổi thế nào và làm thế nào những nhận thức mới có thể thay đổi quan điểmcủa chúng ta về bức tranh toán học.
Chúng ta hãy tưởng tượng rằng vào năm 1864 nhà thiên văn học người Mỹ gốc Canada Simon Newcomb, vượt qua sự kinh hoàng của các trận Antietam và Gettysburg, đã nhìn thấy một thế giới tốt đẹp hơn, trong đó toán học có vị trí riêng giữa những giá trị văn hóa khác trong nền cộng hòa mới. Chúng ta hãy giả sử thêm nữa là Newcomb với sự lạc quan về tương lai đã quyết định rằng cần phải có một giải thưởng được trao thường xuyên cho các nhà toán học trẻ với những công trình đặc biệt và những giải thưởng đầu tiên cần được trao vào tháng 8 năm 1866.
Điều gì có thể thúc đẩy Newcomb nhận diện những nghiên cứu toán học tiêu biểu? Kể từ năm 1861 Newcomb là một nhà thiên văn học và giáo sư toán học làm việc tại Đài quan sát Hải quân ở Washington, DC. Newcomb đã lấp chỗ trống khicác học giả khác từ chức các vị trí ở đài quan sát do thấy khó chịu khi làm việc cho một tổ chức quân sự trong thời chiến.
 |
| Simon Newcomb (1835-1909). |
Chính phủ Mỹ đã giao cho Newcomb nhiệm vụ xác định vị trí của các vật thể trên bầu trời. Với Newcomb đây thực sự là một công việc đầy thách thức vì khi còn nhỏ ông chưa hề qua một trường lớp chính thức nào mà chủ yếu học từ cha mình trước khi vào học Trường Khoa học Lawrence ở Đại học Harvard và nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của Benjamin Peirce (1809-1880). Chính công việc này khiến Newcomb đánh giá cao vai trò của toán học.
Vì uy tín của giải thưởng toán, Newcomb đã phải nhận ra rằng ông sẽ phải chọn một ban giám khảo đủ ưu tú. Để tìm họ, ông đã phải đến châu Âu, vì vậy chúng ta hãy theo chân ông đến Paris vào đầu năm 1865, khi ông ba mươi tuổi.
Người Pháp đang cảm thấy một sự tự ti bất thường. Đã hai thế hệ người Pháp thống trị toán học. Laplace, trong năm tập Traité de Mécanique Celeste (1798- 1825), đã đưa ra lý do thuyết phục để tin rằng lực hấp dẫn Newton là những quy tắc vận hành của hệ mặt trời và có thể giải thích tất cả các quan sát dường như trái ngược nhau. Lagrange đã kế thừa thực sự Euler trong nhiều lĩnh vực, và những lĩnh vực còn lại đã được Legendre tiếp nhận. Họ được tiếp nối bởi Cauchy, Fourier, Poisson, và Paris đã thu hút rất nhiều những nhà toán học trẻ xuất sắc nhất từ nước ngoài, trong số đó có Abel và Dirichlet.
Nhưng những con người vĩ đại ấy đều đã mất trước 1865, và những tin tức từ các vùng của nước Đức đã khiến các nhà toán học Pháp một cách khó chịu thấy như hàng thứ hai. Ảnh hưởng của Gauss - qua đời năm 1855, trước Cauchy một năm - chưa bao giờ rõ ràng hơn. Gauss đã làm hồi sinh lý thuyết số - "the higher arithmetic” (số học cao cấp) như ông gọi - làm cho nó chặt chẽ và vững chắc hơn cả Euler hay Lagrange đã làm. Đan xen chặt chẽ với lý thuyết hàm elliptic của Jacobi, Dirichlet đã mở rộng hơn nữa lĩnh vực này. Mặc dù cả Jacobi và Dirichlet đều đã mất trước 1865, Đại học Berlin đã phát triển và được thừa nhận, trong khi École Polytechnique (Đại học Bách khoa Paris) thì không. Rõ ràng những ngày vinh quang của Napoleon đã dạy những bài học cho những nước mà ông đã chinh phục tốt hơn là cho chính người Pháp, với một chính phủ tự mãn không thể hoặc không muốn theo kịp.
Newcomb sẽ lập kế hoạch gặp Joseph Liouville, người sáng lập và biên tập viên của tạp chí quan trọng Journal de Math- ématiques Pures et Appliquées và sử dụng những trang tạp chí giúp cộng đồng toán học Pháp nhận thức được những gì đang xảy ra ở nước ngoài. Liouville đã tham gia trong việc giới thiệu với nước Pháp khám phá của Kummer về sự thất bại của định lý phân tích ra các thừa số nguyên tố cho các số nguyên cyclotomic và nỗ lực của ông để định nghĩa lại khái niệm "nguyên tố" để đối phó với thất bại bất ngờ này. Kummer sau đó đã đoạt giải thưởng Grand Prix des Sciences math- ématiques của Viện Hàn lâm Khoa học Paris năm 1857 cho công trình của ông về đề tài này. Vì là một biên tập viên thành công nên Liouville là người tốt nhất để hỏi về những nhà toán học mới và đang say mê. Và vào năm 1865 ông ấy cũng sẽ đúng năm mươi sáu tuổi, quá già để tự xét giải cho chính mình.
Liouville đã hoàn thành những công trình quan trọng về lý thuyết phương trình vi phân (lý thuyết Sturm-Liouville), lý thuyết thế vị, hàm phức và hàm elliptic, hình dạng của trái đất, và các chủ đề khác. Nhưng Newcomb có thể đã nản khi xem những số mới nhất của Tạp chí đó , bởi vì chúng chứa đầy các khám phá hời hợt và dài dòng của Liouville về số học của các dạng bậc hai nhiều biến. Theo một nghĩa nào đó, những gì mà Tạp chí của Liouville và Tạp chí của École Polytechnique cho thấy là toán học ở Pháp đã đang ở thời kỳ sút kém.
 |
| Joseph Liouville (1809-1882) |
Liouville chắc chắn sẽ ca ngợi Charles Hermite hết lời khi Newcomb nhắc ông đề xuất các ứng viên tiềm năng cho giải thưởng. Hermite đã học với Liouville và họ đã cùng nhau đạt được một số hiểu biết sâu sắc về hàm elliptic. Chính trong bối cảnh này mà Liouville đã phát hiện ra định lý mang tên ông: một hàm giải tích phức xác định trên toàn tập số phức mà bị chặn thì là hàm hằng. Hermite đã dấn sâu vào khám phá thế giới phong phú của các hàm elliptic và vào năm 1858, ông đã sử dụng lý thuyết đó và lý thuyết bất biến đại số để chứng minh rằng các phương trình đa thức bậc năm tổng quát luôn có nghiệm được tính theo các hàm modular elliptic. Công trình này đã thu hút sự chú ý của Kronecker và Brioschi và vẫn là một kết quả sâu sắc dành được những chú ý hơn nữa. Khám phá của Galois về sự không giải được bằng căn thức các phương trình bậc năm tổng quát đã được tiếp nối bằng kết luận là các phương trình ấy có thể giải được bằng những lớp hàm giải tích cụ thể.
Nhưng Hermite đã bốn mươi hai tuổi. Newcomb muốn tìm ra những nhà toán học trẻ để vạch ra con đường cho tương lai, và ông bắt đầu nhận ra là ông cần nhiều cố vấn hơn một mình Liouville.
Kummer là sự lựa chọn hiển nhiên. Ông trẻ hơn Liouville một tuổi, và ông đã nghiên cứu một loạt chủ đề trước khi quyết định xây dựng sự nghiệp trên nền tảng là lý thuyết số của Gauss. Ông đã viết về các phương trình siêu hình học (hypergeometric - một đề tài của Gauss) và những năm quanh 1863 về các mặt đại số bậc bốn với mười sáu điểm nút. Kummer đã thế chân Dirich- let tại Berlin vào năm 1855 khi Dirichlet chuyển đến Göttingen để thay Gauss, và đã nhanh chóng sắp xếp vị trí cho Weier- strass tại Berlin. Weierstrass vừa qua tuổi bốn mươi và chỉ gần đây đột nhiên nổi tiếng trong thế giới toán học với lý thuyết các hàm siêu-elliptic (hyperelliptic) và giờ đây cùng với Kummer xây dựng Berlin thành một nơi ưu việt để nghiên cứu toán Ernst Eduard Kummer (1810-1893). Nguồn: Internet Hơn nữa, Kummer, minh chứng cho khả năng quản lý của ông, vừa trở thành hiệu trưởng của trường Đại học Berlin. Newcomb sẽ chọn Kummer là thành viên thứ hai của ủy ban giải thưởng của mình.
Giờ đây Newcomb đang dần nhận thức được rằng đất nước Ý mới (thống nhất chỉ từ năm 1861) cũng sản sinh ra những nhà toán học quan trọng. Những nhân vật người Ý so sánh được với các thành viên ủy ban Kummer và Liouville là En- rico Betti và Francesco Brioschi, cả hai đều vừa mới bốn mươi. Cả hai đã tích cực tham gia trong việc thống nhất nước Ý và bây giờ dẫn dắt đời sống chính trị: Betti đã được bầu vào quốc hội Ý vào năm 1862, và Brioschi sẽ trở thành một thượng nghị sĩ vào năm 1865. Betti vừa trở thành giám đốc của Scuola Normale Superiore (trường sư phạm); Brioschi là người sáng lập và là giám đốc của Is- tituto Superiore Tecnico (viện kỹ thuật) tại Milan. Cả hai ông đã được dành cho việc nâng cao chuẩn của toán học trong cả trường phổ thông và các trường đại học ở Ý; cả hai đều tích cực trong nghiên cứu. Betti, trở thành bạn thân của Riemann khi ông ta dừng lại Ý, quan tâm đến việc mở rộng những ý tưởng tô pô của Riemann và đồng thời làm về cơ học và vật lý lý thuyết. Brioschi đã hoàn thành công trình quan trọng trong đại số, lý thuyết định thức, lý thuyết hàm elliptic và hàm hyperelliptic, và ông đã giảng dạy nhiều thế hệ các nhà toán học Ý kế tiếp: trong đó có Casorati, Cremona và Bel- trami. Chúng ta sẽ giả sử là Newcomb có thể đã quyết định rằng Brioschi là người sẽ giúp ông ta cập nhật những phát triển mới nhất trong các lĩnh vực nổi bật của toán học Ý.
Thế là đủ hay Newcomb nên thực hiện một chuyến đến nước Anh? Trong toán học thuần túy điều này có nghĩa là một chuyến viếng thăm Cayley; trong các lĩnh vực ứng dụng hơn có một số người ở Cambridge có thể tư vấn được. Các nhà toán học Newcomb đã gặp thường nói những điều tốt đẹp về Cayley và kính trọng ông như một nhà toán học sáng tạo và quảng bác, cũng như là người nói nhiều thứ tiếng. Cùng với người bạn Sylvester của mình, ông được đánh giá cao vì những khám phá thấu đáo, đôi khi triệt để, về lý thuyết bất biến. Nhưng có vẻ là không có ai ở Anh vào năm 1865 có thể được xét cho giải thưởng, khi mà Cayley đã ngoài bốn mươi tuổi và do đó không đủ điều kiện. một bài báo rất khó về sự phân bố của các số nguyên tố mà trong đó ông đã vận dụng một cách đáng chú ý lý thuyết hình học cơ bản và mới lạ về các hàm giải tích phức do ông phát triển và là thiết yếu đối với bài báo về hàm abel. Cũng có một bài báo thuộc lĩnh vực giải tích thực trong đó ông phát triển lý thuyết các chuỗi lượng giác để tìm hiểu đề tài rất khó là các hàm không khả vi, và có lời đồn về một bài báo trong đó ông được cho là đã viết lại hoàn toàn lĩnh vực hình học.
Newcomb đã quyết định rằng ba vị giám khảo là đủ: Liouville, Kummer, và Brioschi. Bây giờ là lúc chọn một người đoạt giải.
Newcomb đã biết một cái tên. Tất cả những người nói chuyện với ông đều nói về Bernard Riemann, một cựu sinh viên thật sự nổi trội của Gauss tại Göttingen. Riemann đã đăng một bài báo đáng chú ý về hàm abel vào năm 1857, xuất sắc tới mức Weierstrass đã phải rút lại bài báo của mình về cùng chủ đề và phát biểu rằng ông sẽ không thể tiếp tục cho đến khi ông hiểu ra những gì Riemann đã đưa ra. Cùng năm đó, Riemann đăng một bài báo rất khó về sự phân bố của các số nguyên tố mà trong đó ông đã vận dụng một cách đáng chú ý lý thuyết hình học cơ bản và mới lạ về các hàm giải tích phức do ông phát triển và là thiết yếu đối với bài báo về hàm abel. Cũng có một bài báo thuộc lĩnh vực giải tích thực trong đó ông phát triển lý thuyết các chuỗi lượng giác để tìm hiểu đề tài rất khó là các hàm không khả vi, và có lời đồn về một bài báo trong đó ông được cho là đã viết lại hoàn toàn lĩnh vực hình học.
 |
| Bernhard Riemann (1826-1866) |
Riemann sẽ ba mươi chín vào năm 1865, vì vậy Newcomb có thể đồng ý rằng một cách hình thức thì ông vẫn còn trẻ. Tuy nhiên có những vấn đề đáng lo ngại về sức khỏe của Riemann. Ông đã bị viêm màng phổi và được cho là bị đột quỵ vào năm 1862 và đang hồi phục ở Ý. Newcomb sẽ phải giữ cập nhật thông tin này.
Đối với thế hệ sinh ra trong những năm 1830, Liouville, Kummer, và Brioschi có thể đưa ra các báo cáo khác nhau. Liouville, thật đáng tiếc, sẽ không đề nghị ai. Kummer cũng vậy, sẽ phải đấu tranh để đưa ra tên của một ứng viên. Cựu học trò của ông Leopold Kronecker vừa qua tuổi bốn mươi, và mặc dù đã có một số nhà toán học trẻ đầy hứa hẹn ở Berlin - Lazarus Fuchs chẳng hạn - họ vẫn chưa làm được điều gì đáng chú ý. Brioschi, mặt khác, lại rất lạc quan. Ông có thể đã gợi ý tên của Cremona, Ca- sorati, và Beltrami. Cremona đã được biết đến với các công trình về hình học xạ ảnh và hình học song hữu tỷ, bao gồm việc nghiên cứu các phép biến đổi (song hữu tỷ) hình học và Brioschi có thể bảo đảm với ủy ban xét giải là Cremona đang viết một bài báo trọng yếu về lý thuyết các mặt bậc ba (bài báo giúp ông chia giải thưởng Steiner vào năm 1866 - Kummer là một trong những giám khảo - và được xuất bản trong [Cremona 1868]). Caso- rati có lẽ là nhà giải tích phức hàng đầu do Ý đào tạo, và Beltrami đã nổi lên như là một nhà hình học vi phân theo kiểu Riemann.
Trong mùa hè năm 1865 Newcomb phải đối mặt với một quyết định khó khăn. Không ai tranh chấp với sự chói sáng của Riemann, mặc dù Kummer thông báo là Weierstrass đã gợi ý không phải tất cả các khẳng định của Riemann đều đã được chứng minh hoàn toàn, và Liouville nói rằng Hermite có hy vọng chứng minh trực tiếp một số kết quả mà hiện đang dựa theo những phương pháp của Riemann.
Vấn đề là quyết định một ai khác có thể nhận giải thưởng. Có một số nhà toán học trẻ tài năng, nhưng không ai có tầm cỡ cao nhất. Newcomb có nên công bố sự tồn tại của giải thưởng, kêu gọi đề cử, và chịu rủi ro phải thất vọng? Hoặc ông ta nên trì hoãn và cho các nhà toán học trẻ một cơ hội để tỏa sáng tốt hơn?.
Và sau đó đã xuất hiện những vấn đề đáng lo ngại do sức khỏe xấu đi của Riemann. Yếu và dễ mắc bệnh, ông đã dành cả mùa hè gần hồ Maggiore và ở Genoa để hồi phục và trở về Göttingen vào đầu tháng Mười.
Ta hãy giả sử Newcomb đã quyết định hoãn cuộc tranh đua trong bốn năm.
Riemann qua đời vào ngày 20 tháng Bảy năm 1866, trong vòng một tháng trở lại hồ Maggiore. Ông đang ở tuổi ba mươi chín. Trong số các giấy tờ được công bố ngay sau khi ông mất, bài báo mang tựa đề "The hypotheses that lie at the founda- tions of geometry” (Các giả thuyết trong cơ sở của hình học) đã truyền cảm hứng cho Beltrami (sinh năm 1835) đăng bài "Saggio", trong đó lần đầu tiên hình học phi Euclide được mô tả chặt chẽ ở dạng bản in. Nhà vật lý hàng đầu của Đức Hermann von Helmholtz một cách độc lập đã nghiêng sang các khả năng của hình học cầu và cùng với Beltrami đi đến ủng hộ những khả năng của hình học phi Euclide ("hyperbolic").
Khi được hỏi về ứng cử viên từ Đức, bây giờ Kummer có thể đưa ra ba hoặc bốn cái tên. Đầu tiên là Rudolf Clebsch, cùng với đồng nghiệp Paul Gordan họ đã đưa ra một khái niệm khó hiểu nhưng hiệu quả cho các bất biến và đã dẫn đến nhiều kết quả mới, và bản thân ông đã áp dụng thành công để nghiên cứu các đường cong phẳng. Ông cũng chỉ ra hàm elliptic có thể được sử dụng để tham số hóa đường cong bậc ba và đã bắt đầu mở rộng ý tưởng đó cho những đường cong có giống cao hơn vào năm 1864. Sau đó, vào năm 1868, ông đã mở ra con đường để mở rộng những ý tưởng của Riemann cho việc nghiên cứu các mặt phức bằng cách định nghĩa giống (hình học) của một mặt đại số. Người thứ hai là Lazarus Fuchs, nguyên là học trò của Kummer, bây giờ được gắn bó với Weierstrass và dường như đã sẵn sàng để mở rộng các ý tưởng của Riemann. Cũng vậy là ứng cử viên thứ ba, Hermann Amandus Schwarz, người đang sử dụng cách biểu diễn mặt tối thiểu của Weierstrass để giải quyết bài toán Plateau. Ông cũng đang bắt đầu suy nghĩ về các bài toán Dirichlet.
Sau đó là ứng cử viên thứ tư, Richard Dedekind, nổi lên là một nhà lý thuyết số theo truyền thống của Gauss và Dirichlet. Nhưng Kummer, và đồng nghiệp của ông Kronecker - thậm chí còn nhiều hơn, có những nghi ngờ đối với đặc trưng rất trừu tượng và không phải luôn luôn rõ ràng của phương pháp tiếp cận của Dedekind. Có vẻ như thích hợp để chờ đợi hơn. Liouville, cũng vậy, sẽ có một ứng cử viên mới đưa ra vào cuối những năm 1860: Camille Jordan. Jordan đã đăng một loạt bài báo mà bây giờ được xuất bản chung trong cuốn sách của ông Théorie des Substitutions et des Équations Algébriques. Trong các bài báo và một lần nữa trong cuốn sách, ông đã thiết lập lý thuyết các nhóm các phép thế (nhóm hoán vị) ở dạng cực kỳ tổng quát và chỉ ra làm thế nào sử dụng nó để nhận lại được tất cả các kết quả của Galois một cách hệ thống. Sau đó ông tiếp tục sử dụng trong một loạt tình huống hình học, ví dụ phát hiện các nhóm của hai bảy đường thẳng trên một mặt bậc ba và trên mặt với mười sáu điểm nút của Kummer. Ông vạch ra trong hơn ba trăm trang một chương trình để tìm tất cả các nhóm hữu hạn. Không phải ai cũng bị thuyết phục về sự cần thiết của một ý tưởng mới lớn lao như vậy, nhưng nó đã in đậm và có những ứng dụng phong phú trong các chủ đề được biết là thú vị.
Còn những công trình của James Clerk Maxwell thì sao? Những công trình tốt nhất của ông ấy có thể được gọi là toán? Ông đã viết về nhiều chủ đề, nhưng bài báo chính vào năm 1864 của ông A dy- namical theory of the electromagnetic field (Một lý thuyết động lực của trường điện từ) và một bài báo năm 1866 trong đó ông đề xuất các hiện tượng điện từ truyền đi ở tốc độ của ánh sáng (cũng ngụ ý rằng ánh sáng chỉ là một hiện tượng như vậy) cho thấy sự hiểu biết sâu sắc thứ toán học rất khó đã được sử dụng trong đó. Ông cũng đã đăng bài báo chính thứ hai của mình về lý thuyết động lực của chất khí, phần nhiều là thiết lập phương pháp thống kê cho vật lý. một truyền thống mà theo cách nào đó là đối lập với cách làm việc của Kummer. Jordan là người trẻ nhất, và vận động ủng hộ của ông đối với lý thuyết nhóm các phép thế (hoán vị) đã gây tranh cãi. Một số người thấy đó là bổ sung tốt cho cách tư duy hình học, còn một số người nhìn thấy ở đó một cách để viết lại lý thuyết Galois theo cách mà Galois có thể đã định, nhưng những người khác lại thấy không cần thiết phải trừu tượng như vậy, hầu như không cần thiết ngay cả đối với lý thuyết Galois (và ưa ngôn ngữ mở rộng trường hơn).
Vì vậy, Newcomb đã có bốn ứng cử viên: Beltrami, Clebsch, Jordan, và Maxwell. Dưới áp lực, Brioschi phải thừa nhận rằng Beltrami chỉ công bố một kết quả nổi bật trong một dòng những kết quả tốt, chủ yếu về hình học vi phân. Nhưng ít nhất các công trình của ông cũng độc lập với các công trình của Riemann, như Cremona sẽ chứng thực. Clebsch cũng là một trong những người kế thừa Riemann, nhưng ông làm việc theo
Đối với Maxwell, điện trường và từ trường đã là những chủ đề chính của vật lý toán trong năm mươi năm, nhưng không ai ở lục địa châu Âu hiểu những ý tưởng của Maxwell. Đặc biệt, họ thấy không thể hiểu được dòng điện lại là gián đoạn trong một trường và không phải là sự chuyển dịch của một chất (có thể huyền bí). Chọn Maxwell sẽ là quá rủi ro.
 |
| James Clerk Maxwell (1831-1879) |
Cuối cùng Brioschi, Kummer, Liouville và Newcomb có thể đã quyết định thế nào? Từ quan điểm ngày nay, có vẻ như họ nên trao giải thưởng cho: Chứng minh thuyết phục sự tồn tại của một hình học khả dĩ mới của không gian (khi mà công việc của Bolyai và Lobachevskii gần như đã hoàn toàn bị lãng quên), và Một cấu trúc mới và rất trừu tượng (các nhóm) mà có lẽ sẽ có rất nhiều ứng dụng, mặc dù nhiều chi tiết quan trọng vẫn cần được công bố. Beltrami và Jordan có thể là sự lựa chọn hiện đại của chúng ta.
Nhưng tôi đề xuất rằng Newcomb và các cố vấn của ông sẽ có lựa chọn khác nhau. Kummer đã có một sự đồng cảm tuyệt vời với những nghiên cứu các mặt đại số cũng như sự đánh giá cao các công việc của Cremona. Brioschi có thể đồng ý rằng nó cho một cách nghiên cứu tổng quát hình học đại số, ở đó Clebsch cũng đã có những đóng góp, và hình học phi Euclid mới mẻ nhưng rất đáng chú ý vẫn chưa dẫn đến những kết quả mới. Nếu Cremona đại diện cho việc mở cánh cửa của một chủ đề đã thách thức các nhà toán học từ lâu, thì Jordan có thể là hiện thân của tinh thần đổi mới căn bản, một cách cũng dẫn đến những hiểu biết hình học sâu sắc. Nhưng một quyết định như vậy sẽ bị phản đối mạnh mẽ từ Kronecker và Hermite, những người đã ủng hộ mạnh mẽ lý thuyết bất biến, Kummer và Liouville đều biết quan điểm này của họ. Điều đó đã khiến Clebsch trở thành một ứng cử viên, không hẳn do những công trình về hình học Riemann hay những công trình phát triển lý thuyết bất biến.
Newcomb, đăng một bài báo về không gian có độ cong dương không đổi vào năm 1877, có thể đã ủng hộ Beltrami. Nhưng trong những năm 1860, các công trình của cá nhân ông chỉ vững chắc trong lĩnh vực vật lý thiên văn-toán, vì vậy tôi nghĩ rằng ông sẽ dựa theo ý kiến của các cố vấn trong ban giám khảo mà ông đã chọn. Chắc chắn ông sẽ muốn thấy những ý tưởng của Riemann được phát triển tiếp, và những thông tin ủng hộ cho Clebsch, người ủng hộ hàng đầu những ý tưởng của Riemann, sẽ đảm bảo điều đó. Các giải thưởng, tôi kết luận, đã có thể trao cho Cremona và Clebsch
Việc trao Huy chương Fields trong thực tế được tiến hành theo di chúc của nhà toán học Canada John Charles Fields, thành viên hoạt động tích cực trong Liên đoàn Toán học Quốc tế IMU. Mong muốn của ông là giải thưởng được trao bốn năm một lần cho hai nhà toán học trẻ tuổi, và mặc dù ông đã không định nghĩa thế nào là "trẻ", điều này đã được xác định là dưới bốn mươi tuổi và phương châm đó đã được giữ cho đến ngày hôm nay. Các Huy chương Fields được trao lần đầu tiên vào năm 1936 cho Lars Ahlfors và Jesse Douglas.
Dịch từ bản tiếng Anh: "Jeremy Gray, Who would have won the Fields Medal 150 years ago?" Notices Amer. Math. Soc. 63(3) (2016), 269-274.
Người dịch: Đoàn Trung Cường