Đề Kiểm Tra Trường Đông Toán Học Miền Nam 2015

1. a) Chứng minh rằng với mọi $a>2$ thì phương trình $x^3-2x=a$ có nghiệm duy nhất và hơn nữa nếu $m$ là nghiệm thì $m>1$.
   b) Cho dãy số $(x_n)$ xác định như sau: $x_1=1$ và $x_{n+1}$ là nghiệm duy nhất của phương trình $$x^3-2x=1+\sqrt[3]{3x_n+1}.$$ Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn.
2. Cho $a,b,c$ là các số thực không âm sao cho $(a+b)(b+c)(c+a)>0$. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức $$\frac{ab}{(a+b)^2}+ \frac{bc}{(b+c)^2}+\frac{ca}{(c+a)^2}+ \frac 54 \ge \frac{6(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}.$$
3. Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $( C)$. Gọi $B_1$, $C_1$ lần lượt là trung điểm $AC$, $AB$. Kí hiệu $D$ là chân đường cao hạ từ $A$ và $G$ là trong tâm tam giác $ABC$. Gọi $(C')$ là đường tròn qua $B_1$ và $C_1$, đồng thời tiếp xúc với $( C)$ tại $X \ne A$.
   a) Gọi $W$ là giao điểm của tiếp tuyến tại $X$ của $( C)$ với $B_1C_1$. Chứng minh rằng $WA$ tiếp xúc với $( C)$.
   b) Chứng minh rằng $D$, $G$, $X$ thẳng hàng.
4. Trường phù thuỷ và pháp sư Hogwarts có $n$ học sinh. Các học sinh của trường rất hiếu động và tham gia nhiều câu lạc bộ khác nhau. Cả trường có tất cả $m$ câu lạc bộ. Theo quy định của trường mà thầy hiệu trưởng Albus Dumbledore công bố thì mỗi câu lạc bộ phải có ít nhất $2$ thành viên. Nghiên cứu danh sách các câu lạc bộ của trưởng, Harry Potter nhận thấy một điều thú vị sau đây: Nếu hai câu lạc bộ nào đó có ít nhất $2$ thành viên chung thì câu lạc bộ đó sẽ có số thành viên khác nhau. Chứng minh rằng $m \le (n-1)^2$.
5. Cho dãy đa thức $P_n(x)$ xác định bởi $$P_0(x)=2,\,P_1(x)=x,\quad P_{n+1}(x)=xP_n(x)-P_{n-1}(x),\,\forall n\in\mathbb N^*.$$ a) Chứng minh rằng tất cả các đa thức $P_n(x)$ với $n=0,1,2, \cdots$ đều thoả mãn phương trình đa thức $$P(x^2-2)=P^2(x)-2.$$  Hơn nữa, mọi đa thức khác hằng là nghiệm của phương trình trên đều nằm trong dãy đa thức $P_n(x)$.
   b) Chứng minh rằng với mọi $n \ge 1$. Đa thức $P_n(x)$ có đúng $n$ nghiệm thực phân biệt.
6. a) Tìm tất cả các số nguyên dương lẻ $t$ thoả mãn tính chất: với mọi số nguyên dương $k$, tồn tại số nguyên dương $a_k$ sao cho $a_k^2+t$ chia hết cho $2^k$.
   b) Chứng minh rằng tồn tại dãy số nguyên dương $(a_k)_{k=1}^{\infty}$ sao cho $a_k^2+7$ chia hết cho $2^k$ với mọi $k$ và $\dfrac{a_{k+1}^2+7}{2^{k+1}}$ chia hết cho $\dfrac{a_k^2+7}{2^k}$ với mọi $k=1,2,3, \cdots$
7. Từ điểm $A$ ngoài đường tròn $(O)$ kẻ tiếp tuyến $AB,AC$ tới $(O)$. Gọi $E$, $F$ lần lượt là trung điểm $AB$, $AC$. Từ một điểm $M$ trên $EF$ $(M \ne E,F)$ kẻ tiếp tuyến $MP$, $MQ$ tới $(O)$. $PQ$ cắt $EF$ tại $N$. $OA$ lần lượt cắt $BC$, $PQ$, $EF$ tại $G$, $H$, $D$. $MH$ cắt $ON$ tại $K$.
   a) Chứng minh tứ giác $MNKG$ nội tiếp đường tròn tâm $I$.
   b) Tia $IH$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $OMN$ tại $J$. $OJ$ cắt $EF$ tại $T$. Chứng minh các đường tròn ngoại tiếp tam giác $JKH$ và $DTK$ tiếp xúc với nhau.