- a) Chứng minh rằng với mọi $a>2$ thì phương trình $x^3-2x=a$ có nghiệm duy nhất và hơn nữa nếu $m$ là nghiệm thì $m>1$.
b) Cho dãy số $(x_n)$ xác định như sau: $x_1=1$ và $x_{n+1}$ là nghiệm duy nhất của phương trình $$x^3-2x=1+\sqrt[3]{3x_n+1}.$$ Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn. - Cho $a,b,c$ là các số thực không âm sao cho $(a+b)(b+c)(c+a)>0$. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức $$\frac{ab}{(a+b)^2}+ \frac{bc}{(b+c)^2}+\frac{ca}{(c+a)^2}+ \frac 54 \ge \frac{6(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}.$$
- Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $( C)$. Gọi $B_1$, $C_1$ lần lượt là trung điểm $AC$, $AB$. Kí hiệu $D$ là chân đường cao hạ từ $A$ và $G$ là trong tâm tam giác $ABC$. Gọi $(C')$ là đường tròn qua $B_1$ và $C_1$, đồng thời tiếp xúc với $( C)$ tại $X \ne A$.
a) Gọi $W$ là giao điểm của tiếp tuyến tại $X$ của $( C)$ với $B_1C_1$. Chứng minh rằng $WA$ tiếp xúc với $( C)$.
b) Chứng minh rằng $D$, $G$, $X$ thẳng hàng. - Trường phù thuỷ và pháp sư Hogwarts có $n$ học sinh. Các học sinh của trường rất hiếu động và tham gia nhiều câu lạc bộ khác nhau. Cả trường có tất cả $m$ câu lạc bộ. Theo quy định của trường mà thầy hiệu trưởng Albus Dumbledore công bố thì mỗi câu lạc bộ phải có ít nhất $2$ thành viên. Nghiên cứu danh sách các câu lạc bộ của trưởng, Harry Potter nhận thấy một điều thú vị sau đây: Nếu hai câu lạc bộ nào đó có ít nhất $2$ thành viên chung thì câu lạc bộ đó sẽ có số thành viên khác nhau. Chứng minh rằng $m \le (n-1)^2$.
- Cho dãy đa thức $P_n(x)$ xác định bởi $$P_0(x)=2,\,P_1(x)=x,\quad P_{n+1}(x)=xP_n(x)-P_{n-1}(x),\,\forall n\in\mathbb N^*.$$ a) Chứng minh rằng tất cả các đa thức $P_n(x)$ với $n=0,1,2, \cdots$ đều thoả mãn phương trình đa thức $$P(x^2-2)=P^2(x)-2.$$ Hơn nữa, mọi đa thức khác hằng là nghiệm của phương trình trên đều nằm trong dãy đa thức $P_n(x)$.
b) Chứng minh rằng với mọi $n \ge 1$. Đa thức $P_n(x)$ có đúng $n$ nghiệm thực phân biệt. - a) Tìm tất cả các số nguyên dương lẻ $t$ thoả mãn tính chất: với mọi số nguyên dương $k$, tồn tại số nguyên dương $a_k$ sao cho $a_k^2+t$ chia hết cho $2^k$.
b) Chứng minh rằng tồn tại dãy số nguyên dương $(a_k)_{k=1}^{\infty}$ sao cho $a_k^2+7$ chia hết cho $2^k$ với mọi $k$ và $\dfrac{a_{k+1}^2+7}{2^{k+1}}$ chia hết cho $\dfrac{a_k^2+7}{2^k}$ với mọi $k=1,2,3, \cdots$ - Từ điểm $A$ ngoài đường tròn $(O)$ kẻ tiếp tuyến $AB,AC$ tới $(O)$. Gọi $E$, $F$ lần lượt là trung điểm $AB$, $AC$. Từ một điểm $M$ trên $EF$ $(M \ne E,F)$ kẻ tiếp tuyến $MP$, $MQ$ tới $(O)$. $PQ$ cắt $EF$ tại $N$. $OA$ lần lượt cắt $BC$, $PQ$, $EF$ tại $G$, $H$, $D$. $MH$ cắt $ON$ tại $K$.
a) Chứng minh tứ giác $MNKG$ nội tiếp đường tròn tâm $I$.
b) Tia $IH$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $OMN$ tại $J$. $OJ$ cắt $EF$ tại $T$. Chứng minh các đường tròn ngoại tiếp tam giác $JKH$ và $DTK$ tiếp xúc với nhau.
Đề Kiểm Tra Trường Đông Toán Học Miền Nam 2015
Olympic 10
Olympic 11
Olympic 12
Olympic Toán
Trường Đông
MOlympiad.NET là dự án thu thập và phát hành các đề thi tuyển sinh và học sinh giỏi toán. Quý bạn đọc muốn giúp chúng tôi chỉnh sửa đề thi này, xin hãy để lại bình luận facebook (có thể đính kèm hình ảnh) hoặc google (có thể sử dụng $\LaTeX$) bên dưới. BBT rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc liên hệ Chúng tôi nhận tất cả các định dạng của tài liệu: $\TeX$, PDF, WORD, IMG,... | |