# [Solutions] India National Mathematical Olympiad 2015

1. Let $ABC$ be a right-angled triangle with $\angle{B}=90^{\circ}$. Let $BD$ is the altitude from $B$ on $AC$. Let $P,Q$ and $I$be the incenters of triangles $ABD,CBD$ and $ABC$ respectively. Show that circumcenter of triangle $PIQ$ lie on the hypotenuse $AC$.
2. For any natural number $n > 1$ write the finite decimal expansion of $\frac{1}{n}$ (for example we write $\frac{1}{2}=0.4\overline{9}$ as its infinite decimal expansion not $0.5)$. Determine the length of non-periodic part of the (infinite) decimal expansion of $\frac{1}{n}$.
3. Find all real functions $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ such that $$f(x^2+yf(x))=xf(x+y).$$
4. There are four basketball players $A,B,C,D$. Initially the ball is with $A$. The ball is always passed from one person to a different person. In how many ways can the ball come back to $A$ after $\textbf{seven}$ moves?. For example $$A\rightarrow C\rightarrow B\rightarrow D\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A,$$ or $$A\rightarrow D\rightarrow A\rightarrow D\rightarrow C\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow A).$$
5. Let $ABCD$ be a convex quadrilateral. Let diagonals $AC$ and $BD$ intersect at $P$. Let $PE$, $PF$, $PG$ and $PH$ are altitudes from $P$ on the side $AB$, $BC$, $CD$ and $DA$ respectively. Show that $ABCD$ has a incircle if and only if $$\frac{1}{PE}+\frac{1}{PG}=\frac{1}{PF}+\frac{1}{PH}.$$
6. Show that from a set of $11$ square integers one can select six numbers $a^2,b^2,c^2,d^2,e^2,f^2$ such that $$a^2+b^2+c^2 \equiv d^2+e^2+f^2\pmod{12}.$$
 MOlympiad.NET là dự án thu thập và phát hành các đề thi tuyển sinh và học sinh giỏi toán. Quý bạn đọc muốn giúp chúng tôi chỉnh sửa đề thi này, xin hãy để lại bình luận facebook (có thể đính kèm hình ảnh) hoặc google (có thể sử dụng $\LaTeX$) bên dưới. BBT rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc liên hệbbt.molympiad@gmail.comChúng tôi nhận tất cả các định dạng của tài liệu: $\TeX$, PDF, WORD, IMG,...