# [Solutions] India National Mathematical Olympiad 2011

1. Let $D,E,F$ be points on the sides $BC,CA,AB$ respectively of a triangle $ABC$ such that $BD=CE=AF$ and $\angle BDF=\angle CED=\angle AFE.$ Show that $\triangle ABC$ is equilateral.
2. Call a natural number $n$ faithful if there exist natural numbers $a<b<c$ such that $a|b,$ and $b|c$ and $n=a+b+c.$
a) Show that all but a finite number of natural numbers are faithful.
b) Find the sum of all natural numbers which are not faithful.
3. Let $$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$$ and $$Q(x)=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_0$$ be two polynomials with integral coefficients such that $a_n-b_n$ is a prime and $a_nb_0-a_0b_n\neq 0,$ and $a_{n-1}=b_{n-1}.$ Suppose that there exists a rational number $r$ such that $P(r)=Q(r)=0.$ Prove that $r\in\mathbb Z.$
4. Suppose five of the nine vertices of a regular nine-sided polygon are arbitrarily chosen. Show that one can select four among these five such that they are the vertices of a trapezium.
5. Let $ABCD$ be a cyclic quadrilateral inscribed in a circle $\Gamma$. Let $E$, $F$, $G$, $H$ be the midpoints of arcs $AB$, $BC$, $CD$, $AD$ of $\Gamma$, respectively. Suppose that $AC\cdot BD=EG\cdot FH.$ Show that $AC$, $BD$, $EG$, $FH$ are all concurrent.
6. Find all functions $f:\mathbb{R}\to \mathbb R$ satisfying $f(x+y)f(x-y)=\left(f(x)+f(y)\right)^2-4x^2f(y),$ for all $x,y\in\mathbb R,$ where $\mathbb R$ denotes the set of all real numbers.
 MOlympiad.NET là dự án thu thập và phát hành các đề thi tuyển sinh và học sinh giỏi toán. Quý bạn đọc muốn giúp chúng tôi chỉnh sửa đề thi này, xin hãy để lại bình luận facebook (có thể đính kèm hình ảnh) hoặc google (có thể sử dụng $\LaTeX$) bên dưới. BBT rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc liên hệbbt.molympiad@gmail.comChúng tôi nhận tất cả các định dạng của tài liệu: $\TeX$, PDF, WORD, IMG,...