# [Solutions] India National Mathematical Olympiad 2004

1. $ABCD$ is a convex quadrilateral. $K$, $L$, $M$, $N$ are the midpoints of the sides $AB$, $BC$, $CD$, $DA$. $BD$ bisects $KM$ at $Q$. $QA = QB = QC = QD$, and $$\frac{LK}{LM} = \frac{CD}{CB}.$$ Prove that $ABCD$ is a square
2. Let $p > 3$ is a prime. Find all integers $a$, $b$, such that $$a^2 + 3ab + 2p(a+b) + p^2 = 0.$$
3. If $a$ is a real root of $x^5 - x^3 + x - 2 = 0$. Show that $[a^6] =3$
4. $ABC$ is a triangle, with sides $a$, $b$, $c$, circumradius $R$, and exradii $r_a$, $r_b$, $r_c$. If $2R\leq r_a$, show that $a > b$, $a > c$, $2R > r_b$, and $2R > r_c$.
5. $S$ is the set of all ($a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$) where $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$ are integers such that $$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 = f^2.$$ Find the largest $k$ which divides $abcdef$ for all members of $S$.
6. Show that the number of 5-tuples ($a,b,c,d,e$) such that $$abcde = 5(bcde + acde + abde + abce + abcd)$$ is odd
 MOlympiad.NET là dự án thu thập và phát hành các đề thi tuyển sinh và học sinh giỏi toán. Quý bạn đọc muốn giúp chúng tôi chỉnh sửa đề thi này, xin hãy để lại bình luận facebook (có thể đính kèm hình ảnh) hoặc google (có thể sử dụng $\LaTeX$) bên dưới. BBT rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc liên hệbbt.molympiad@gmail.comChúng tôi nhận tất cả các định dạng của tài liệu: $\TeX$, PDF, WORD, IMG,...