$hide=mobile$type=ticker$c=12$cols=3$l=0$sr=random$b=0

[Solutions] Iranian National Mathematical Olympiad 2012-2013

This article has
views, Facebook comments and 16 Blogger comments. Leave a comment.

Iran National Math Olympiad (Second Round) 2012

  1. Consider a circle $C_1$ and a point $O$ on it. Circle $C_2$ with center $O$, intersects $C_1$ in two points $P$ and $Q$. $C_3$ is a circle which is externally tangent to $C_2$ at $R$ and internally tangent to $C_1$ at $S$ and suppose that $RS$ passes through $Q$. Suppose $X$ and $Y$ are second intersection points of $PR$ and $OR$ with $C_1$. Prove that $QX$ is parallel with $SY$.
  2. Suppose $n$ is a natural number. In how many ways can we place numbers $1,2,....,n$ around a circle such that each number is a divisor of the sum of it's two adjacent numbers?
  3. Prove that if $t$ is a natural number then there exists a natural number $n>1$ such that $(n,t)=1$ and none of the numbers $n+t,n^2+t,n^3+t,....$ are perfect powers.
    a) Do there exist $2$-element subsets $A_1,A_2,A_3,...$ of natural numbers such that each natural number appears in exactly one of these sets and also for each natural number $n$, sum of the elements of $A_n$ equals $1391+n$?
    b) Do there exist $2$-element subsets $A_1,A_2,A_3,...$ of natural numbers such that each natural number appears in exactly one of these sets and also for each natural number $n$, sum of the elements of $A_n$ equals $1391+n^2$?
  4. Consider the second degree polynomial $x^2+ax+b$ with real coefficients. We know that the necessary and sufficient condition for this polynomial to have roots in real numbers is that its discriminant, $a^2-4b$ be greater than or equal to zero. Note that the discriminant is also a polynomial with variables $a$ and $b$. Prove that the same story is not true for polynomials of degree $4$: Prove that there does not exist a $4$ variable polynomial $P(a,b,c,d)$ such that: The fourth degree polynomial $x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ can be written as the product of four $1$st degree polynomials if and only if $P(a,b,c,d)\ge 0$. (All the coefficients are real numbers.)
  5. The incircle of triangle $ABC$, is tangent to sides $BC,CA$ and $AB$ in $D,E$ and $F$ respectively. The reflection of $F$ with respect to $B$ and the reflection of $E$ with respect to $C$ are $T$ and $S$ respectively. Prove that the incenter of triangle $AST$ is inside or on the incircle of triangle $ABC$.

National Math Olympiad (3rd Round) 2012

  1. Let $G$ be a simple undirected graph with vertices $v_1,v_2,...,v_n$. We denote the number of acyclic orientations of $G$ with $f(G)$.
    a) Prove that $f(G)\le f(G-v_1)+f(G-v_2)+...+f(G-v_n)$.
    b) Let $e$ be an edge of the graph $G$. Denote by $G'$ the graph obtained by omiting $e$ and making it's two endpoints as one vertex. Prove that $f(G)=f(G-e)+f(G')$.
    c) Prove that for each $\alpha >1$, there exists a graph $G$ and an edge $e$ of it such that $\frac{f(G)}{f(G-e)}<\alpha$.
  2. Suppose $S$ is a convex figure in plane with area $10$. Consider a chord of length $3$ in $S$ and let $A$ and $B$ be two points on this chord which divide it into three equal parts. For a variable point $X$ in $S-\{A,B\}$, let $A'$ and $B'$ be the intersection points of rays $AX$ and $BX$ with the boundary of $S$. Let $S'$ be those points $X$ for which $AA'>\frac{1}{3} BB'$. Prove that the area of $S'$ is at least $6$.
  3. Prove that for each $n \in \mathbb N$ there exist natural numbers $a_1<a_2<...<a_n$ such that $\phi(a_1)>\phi(a_2)>...>\phi(a_n)$.
  4. We have $n$ bags each having $100$ coins. All of the bags have $10$ gram coins except one of them which has $9$ gram coins. We have a balance which can show weights of things that have weight of at most $1$ kilogram. At least how many times shall we use the balance in order to find the different bag?
  5. We call the three variable polynomial $P$ cyclic if $P(x,y,z)=P(y,z,x)$. Prove that cyclic three variable polynomials $P_1,P_2,P_3$ and $P_4$ exist such that for each cyclic three variable polynomial $P$, there exists a four variable polynomial $Q$ such that $$P(x,y,z)=Q(P_1(x,y,z),P_2(x,y,z),P_3(x,y,z),P_4(x,y,z)).$$
  6. a) Prove that $a>0$ exists such that for each natural number $n$, there exists a convex $n$-gon $P$ in plane with lattice points as vertices such that the area of $P$ is less than $an^3$.
    b) Prove that there exists $b>0$ such that for each natural number $n$ and each $n$-gon $P$ in plane with lattice points as vertices, the area of $P$ is not less than $bn^2$.
    c) Prove that there exist $\alpha,c>0$ such that for each natural number $n$ and each $n$-gon $P$ in plane with lattice points as vertices, the area of $P$ is not less than $cn^{2+\alpha}$.
  7. The city of Bridge Village has some highways. Highways are closed curves that have intersections with each other or themselves in $4$-way crossroads. Mr.Bridge Lover, mayor of the city, wants to build a bridge on each crossroad in order to decrease the number of accidents. He wants to build the bridges in such a way that in each highway, cars pass above a bridge and under a bridge alternately. By knowing the number of highways determine that this action is possible or not.
    a) Does there exist an infinite subset $S$ of the natural numbers, such that $S\neq \mathbb{N}$, and such that for each natural number $n\not \in S$, exactly $n$ members of $S$ are coprime with $n$?
    b) Does there exist an infinite subset $S$ of the natural numbers, such that for each natural number $n\in S$, exactly $n$ members of $S$ are coprime with $n$?

Iran Team Selection Test 2013

  1. In acute-angled triangle $ABC$, let $H$ be the foot of perpendicular from $A$ to $BC$ and also suppose that $J$ and $I$ are excenters oposite to the side $AH$ in triangles $ABH$ and $ACH$. If $P$ is the point that incircle touches $BC$, prove that $I,J,P,H$ are concyclic.
  2. Find the maximum number of subsets from $\left \{ 1,...,n \right \}$ such that for any two of them like $A,B$ if $A\subset B$ then $\left | B-A \right |\geq 3$. (Here $\left | X \right |$ is the number of elements of the set $X$.)
  3. For nonnegative integers $m$ and $n$, define the sequence $a(m,n)$ of real numbers as follows. Set $a(0,0)=2$ and for every natural number $n$, set $a(0,n)=1$ and $a(n,0)=2$. Then for $m,n\geq1$, define \[ a(m,n)=a(m-1,n)+a(m,n-1). \] Prove that for every natural number $k$, all the roots of the polynomial $P_{k}(x)=\sum_{i=0}^{k}a(i,2k+1-2i)x^{i}$ are real.
  4. $m$ and $n$ are two nonnegative integers. In the Philosopher's Chess, The chessboard is an infinite grid of identical regular hexagons and a new piece named the Donkey moves on it as follows: Starting from one of the hexagons, the Donkey moves $m$ cells in one of the $6$ directions, then it turns $60$ degrees clockwise and after that moves $n$ cells in this new direction until it reaches it's final cell.
    At most how many cells are in the Philosopher's chessboard such that one cannot go from anyone of them to the other with a finite number of movements of the Donkey?
  5. Do there exist natural numbers $a, b$ and $c$ such that $a^2+b^2+c^2$ is divisible by $2013(ab+bc+ca)$?
  6. Points $A, B, C$ and $D$ lie on line $l$ in this order. Two circular arcs $C_1$ and $C_2$, which both lie on one side of line $l$, pass through points $A$ and $B$ and two circular arcs $C_3$ and $C_4$ pass through points $C$ and $D$ such that $C_1$ is tangent to $C_3$ and $C_2$ is tangent to $C_4$. Prove that the common external tangent of $C_2$ and $C_3$ and the common external tangent of $C_1$ and $C_4$ meet each other on line $l$.
  7. Nonnegative real numbers $p_{1},\ldots,p_{n}$ and $q_{1},\ldots,q_{n}$ are such that $p_{1}+\cdots+p_{n}=q_{1}+\cdots+q_{n}$
    Among all the matrices with nonnegative entries having $p_i$ as sum of the $i$-th row's entries and $q_j$ as sum of the $j$-th column's entries, find the maximum sum of the entries on the main diagonal.
  8. Find all Arithmetic progressions $a_{1},a_{2},...$ of natural numbers for which there exists natural number $N>1$ such that for every $k\in \mathbb{N}$: $a_{1}a_{2}...a_{k}\mid a_{N+1}a_{N+2}...a_{N+k}$
  9. Find all functions $f,g:\mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}$ such that $f$ is increasing and also: $$f(f(x)+2g(x)+3f(y))=g(x)+2f(x)+3g(y)$$ $$g(f(x)+y+g(y))=2x-g(x)+f(y)+y$$
  10. On each edge of a graph is written a real number,such that for every even tour of this graph,sum the edges with signs alternatively positive and negative is zero.prove that one can assign to each of the vertices of the graph a real number such that sum of the numbers on two adjacent vertices is the number on the edge between them.(tour is a closed path from the edges of the graph that may have repeated edges or vertices)
  11. Let $a,b,c$ be sides of a triangle such that $a\geq b \geq c$. prove that:
    $$\sqrt{a(a+b-\sqrt{ab})}+\sqrt{b(a+c-\sqrt{ac})}+\sqrt{c(b+c-\sqrt{bc})}\geq a+b+c$$
  12. Let $ABCD$ be a cyclic quadrilateral that inscribed in the circle $\omega$.Let $I_{1},I_{2}$ and $r_{1},r_{2}$ be incenters and radii of incircles of triangles $ACD$ and $ABC$,respectively.assume that $r_{1}=r_{2}$. let $\omega'$ be a circle that touches $AB,AD$ and touches $\omega$ at $T$. tangents from $A,T$ to $\omega$ meet at the point $K$.prove that $I_{1},I_{2},K$ lie on a line.
  13. $P$ is an arbitrary point inside acute triangle $ABC$. Let $A_1,B_1,C_1$ be the reflections of point $P$ with respect to sides $BC,CA,AB$. Prove that the centroid of triangle $A_1B_1C_1$ lies inside triangle $ABC$.
  14. We are given $n$ rectangles in the plane. Prove that between $4n$ right angles formed by these rectangles there are at least $[4\sqrt n]$ distinct right angles.
    a) Does there exist a sequence $a_1<a_2<\dots$ of positive integers, such that there is a positive integer $N$ that $\forall m>N$, $a_m$ has exactly $d(m)-1$ divisors among $a_i$s?
    b) Does there exist a sequence $a_1<a_2<\dots$ of positive integers, such that there is a positive integer $N$ that $\forall m>N$, $a_m$ has exactly $d(m)+1$ divisors among $a_i$s?
  15. The function $f:\mathbb Z \to \mathbb Z$ has the property that for all integers $m$ and $n$ \[f(m)+f(n)+f(f(m^2+n^2))=1.\] We know that integers $a$ and $b$ exist such that $f(a)-f(b)=3$. Prove that integers $c$ and $d$ can be found such that $f(c)-f(d)=1$.
  16. In triangle $ABC$, $AD$ and $AH$ are the angle bisector and the altitude of vertex $A$, respectively. The perpendicular bisector of $AD$, intersects the semicircles with diameters $AB$ and $AC$ which are drawn outside triangle $ABC$ in $X$ and $Y$, respectively. Prove that the quadrilateral $XYDH$ is concyclic.
  17. A special kind of parallelogram tile is made up by attaching the legs of two right isosceles triangles of side length $1$. We want to put a number of these tiles on the floor of an $n\times n$ room such that the distance from each vertex of each tile to the sides of the room is an integer and also no two tiles overlap. Prove that at least an area $n$ of the room will not be covered by the tiles.
  1. Rất hay, cảm ơn AD

    ReplyDelete
  2. molympiad3/7/17

    cảm ơn bạn, blog của bạn cũng rất hay và bổ ích, hy vọng có thể liên kết với nhau để phát triển

    ReplyDelete
  3. Rất cảm ơn anh (chắc anh nhiều tuổi hơn em, năm nay em mới lên 16) mà page của anh nhiều đề thi hay thiệt, giá như biết page này trước thì trước kia em đâu phải vất vả tìm đề thi quốc tế về làm, rất cảm ơn anh, mong anh sẽ viết được nhiều bài viết hay hơn nữa. Do trình độ tin học của em có hạn nên có gì
    thiếu sót mong anh giúp đỡ em ạ! Cảm ơn anh!

    ReplyDelete
  4. Page của anh rất hay nhưng em thấy hơi ít người biết, em không biết anh đã lập fanpage chưa nhưng em nghĩ anh nên lập ra fanpage như Tạp chí Olympic của anh Nguyễn Đức Thắng... để tiếp cận thêm với nhiều người biết hơn tại page này thực sự là rất hay.
    P/s: Em rất sẵn lòng đề xuất like fanpage cho anh :)))

    ReplyDelete
  5. hihi em đang gửi lời mời thik fanpage trang của anh rồi đó, mong rằng sẽ nhiều người bt hơn :))

    ReplyDelete
  6. molympiad3/7/17

    cảm ơn bạn, MOLYMPIAD đã lập 2 fanpage
    https://www.facebook.com/MOlympiad-Collections-mathematical-competitions-705138106321392/
    https://plus.google.com/111753651422192850128
    do mới thành lập chưa lâu nên chưa được nhiều người biết tới, mong bạn hỗ trợ.
    Các trang tài liệu hiện nay rất nhiều nhưng hơi rối rắm nên mình muốn xây dựng một trang tài liệu mà ở đó mọi người có thể dễ dàng tìm kiếm tài liệu, có gì mong bạn giúp đỡ về nguồn tài liệu

    ReplyDelete
  7. Dạ em có nhiều nhưng ko nó hơi lộn xộn, anh vào blog của em tìm ở 3 mục drive hoặc Tài liệu HSG thì thấy cũng rất nhiều tài liệu HSG ở đó, mỗi tội em không có thời gian sắp xếp, hihi. Em sẽ đề xuất thích trang của anh, cảm ơn anh nhiều!

    ReplyDelete
  8. anh ơi fanpage của anh ko để chế độ công khai ạ, em vào thấy nó thông báo không có quyền truy cập!

    ReplyDelete
  9. molympiad3/7/17

    nó nằm ở đây bạn ah http://molympiad.ml/2017/01/epsilon-journal/
    tất cả đều được tổng hợp tại mục http://molympiad.ml/category/journals-mathematics/

    ReplyDelete
  10. hihi tại em chưa tìm kỹ

    ReplyDelete
  11. trên trang của anh gần như có hết mấy cái tạp chí rồi, kvant, crux, thtt, epsilon rồi :))

    ReplyDelete
  12. molympiad3/7/17

    còn nhiều lắm bạn, nhưng mình cần thời gian tập hợp sắp xếp lại để mọi người dễ tra cứu.
    mục đích của MOLYMPIAD là làm sao để mọi người dễ tìm tài liệu dễ tra cứu nhất có thể

    ReplyDelete
  13. dạ em chúc anh thành công nhá

    ReplyDelete
  14. mà anh xem lại fanpage xem có vấn đề gì ko, bạn bè em nó bảo ko tìm thấy trang là sao

    ReplyDelete
  15. molympiad3/7/17

    thank em, có gì cần nhờ bạn giúp đỡ được không, liên lạc qua facebook nhé. Anh published mà sao nó tự động unpublish, chắc có vấn đề với facebook anh sẽ check lại,

    ReplyDelete

$hide=mobile$type=ticker$c=36$cols=2$l=0$sr=random$b=0

Name

Abel,5,Albania,2,AMM,2,Amsterdam,4,An Giang,45,Andrew Wiles,1,Anh,2,APMO,21,Austria (Áo),1,Ba Lan,1,Bà Rịa Vũng Tàu,77,Bắc Bộ,2,Bắc Giang,62,Bắc Kạn,4,Bạc Liêu,18,Bắc Ninh,53,Bắc Trung Bộ,3,Bài Toán Hay,5,Balkan,41,Baltic Way,32,BAMO,1,Bất Đẳng Thức,69,Bến Tre,72,Benelux,16,Bình Định,65,Bình Dương,38,Bình Phước,52,Bình Thuận,42,Birch,1,BMO,41,Booklet,12,Bosnia Herzegovina,3,BoxMath,3,Brazil,2,British,16,Bùi Đắc Hiên,1,Bùi Thị Thiện Mỹ,1,Bùi Văn Tuyên,1,Bùi Xuân Diệu,1,Bulgaria,6,Buôn Ma Thuột,2,BxMO,15,Cà Mau,22,Cần Thơ,27,Canada,40,Cao Bằng,12,Cao Quang Minh,1,Câu Chuyện Toán Học,43,Caucasus,3,CGMO,11,China - Trung Quốc,25,Chọn Đội Tuyển,515,Chu Tuấn Anh,1,Chuyên Đề,125,Chuyên SPHCM,7,Chuyên SPHN,30,Chuyên Trần Hưng Đạo,3,Collection,8,College Mathematic,1,Concours,1,Cono Sur,1,Contest,675,Correspondence,1,Cosmin Poahata,1,Crux,2,Czech-Polish-Slovak,28,Đà Nẵng,50,Đa Thức,2,Đại Số,20,Đắk Lắk,76,Đắk Nông,15,Danube,7,Đào Thái Hiệp,1,ĐBSCL,2,Đề Thi,1,Đề Thi HSG,2248,Đề Thi JMO,1,DHBB,30,Điện Biên,15,Định Lý,1,Định Lý Beaty,1,Đỗ Hữu Đức Thịnh,1,Do Thái,3,Doãn Quang Tiến,5,Đoàn Quỳnh,1,Đoàn Văn Trung,1,Đồng Nai,64,Đồng Tháp,63,Du Hiền Vinh,1,Đức,1,Dương Quỳnh Châu,1,Dương Tú,1,Duyên Hải Bắc Bộ,30,E-Book,31,EGMO,30,ELMO,19,EMC,11,Epsilon,1,Estonian,5,Euler,1,Evan Chen,1,Fermat,3,Finland,4,Forum Of Geometry,2,Furstenberg,1,G. Polya,3,Gặp Gỡ Toán Học,30,Gauss,1,GDTX,3,Geometry,14,GGTH,30,Gia Lai,40,Gia Viễn,2,Giải Tích Hàm,1,Giới hạn,2,Goldbach,1,Hà Giang,5,Hà Lan,1,Hà Nam,45,Hà Nội,255,Hà Tĩnh,91,Hà Trung Kiên,1,Hải Dương,70,Hải Phòng,57,Hậu Giang,14,Hélènne Esnault,1,Hilbert,2,Hình Học,33,HKUST,7,Hòa Bình,33,Hoài Nhơn,1,Hoàng Bá Minh,1,Hoàng Minh Quân,1,Hodge,1,Hojoo Lee,2,HOMC,5,HongKong,8,HSG 10,126,HSG 10 2010-2011,4,HSG 10 2011-2012,7,HSG 10 2012-2013,8,HSG 10 2013-2014,7,HSG 10 2014-2015,6,HSG 10 2015-2016,2,HSG 10 2016-2017,8,HSG 10 2017-2018,4,HSG 10 2018-2019,4,HSG 10 2019-2020,7,HSG 10 2020-2021,3,HSG 10 2021-2022,4,HSG 10 2022-2023,11,HSG 10 2023-2024,1,HSG 10 Bà Rịa Vũng Tàu,2,HSG 10 Bắc Giang,1,HSG 10 Bạc Liêu,2,HSG 10 Bình Định,1,HSG 10 Bình Dương,1,HSG 10 Bình Thuận,4,HSG 10 Chuyên SPHN,5,HSG 10 Đắk Lắk,2,HSG 10 Đồng Nai,4,HSG 10 Gia Lai,2,HSG 10 Hà Nam,4,HSG 10 Hà Tĩnh,15,HSG 10 Hải Dương,10,HSG 10 KHTN,9,HSG 10 Nghệ An,1,HSG 10 Ninh Thuận,1,HSG 10 Phú Yên,2,HSG 10 PTNK,10,HSG 10 Quảng Nam,1,HSG 10 Quảng Trị,2,HSG 10 Thái Nguyên,9,HSG 10 Vĩnh Phúc,14,HSG 1015-2016,3,HSG 11,135,HSG 11 2009-2010,1,HSG 11 2010-2011,6,HSG 11 2011-2012,10,HSG 11 2012-2013,9,HSG 11 2013-2014,7,HSG 11 2014-2015,10,HSG 11 2015-2016,6,HSG 11 2016-2017,8,HSG 11 2017-2018,7,HSG 11 2018-2019,8,HSG 11 2019-2020,5,HSG 11 2020-2021,8,HSG 11 2021-2022,4,HSG 11 2022-2023,7,HSG 11 2023-2024,1,HSG 11 An Giang,2,HSG 11 Bà Rịa Vũng Tàu,1,HSG 11 Bắc Giang,4,HSG 11 Bạc Liêu,3,HSG 11 Bắc Ninh,2,HSG 11 Bình Định,12,HSG 11 Bình Dương,3,HSG 11 Bình Thuận,1,HSG 11 Cà Mau,1,HSG 11 Đà Nẵng,9,HSG 11 Đồng Nai,1,HSG 11 Hà Nam,2,HSG 11 Hà Tĩnh,12,HSG 11 Hải Phòng,1,HSG 11 Kiên Giang,4,HSG 11 Lạng Sơn,11,HSG 11 Nghệ An,6,HSG 11 Ninh Bình,2,HSG 11 Quảng Bình,12,HSG 11 Quảng Nam,1,HSG 11 Quảng Ngãi,9,HSG 11 Quảng Trị,3,HSG 11 Sóc Trăng,1,HSG 11 Thái Nguyên,8,HSG 11 Thanh Hóa,3,HSG 11 Trà Vinh,1,HSG 11 Tuyên Quang,1,HSG 11 Vĩnh Long,3,HSG 11 Vĩnh Phúc,11,HSG 12,668,HSG 12 2009-2010,2,HSG 12 2010-2011,39,HSG 12 2011-2012,44,HSG 12 2012-2013,58,HSG 12 2013-2014,53,HSG 12 2014-2015,44,HSG 12 2015-2016,37,HSG 12 2016-2017,46,HSG 12 2017-2018,55,HSG 12 2018-2019,43,HSG 12 2019-2020,43,HSG 12 2020-2021,52,HSG 12 2021-2022,35,HSG 12 2022-2023,42,HSG 12 2023-2024,23,HSG 12 2023-2041,1,HSG 12 An Giang,8,HSG 12 Bà Rịa Vũng Tàu,13,HSG 12 Bắc Giang,18,HSG 12 Bạc Liêu,3,HSG 12 Bắc Ninh,13,HSG 12 Bến Tre,19,HSG 12 Bình Định,17,HSG 12 Bình Dương,8,HSG 12 Bình Phước,9,HSG 12 Bình Thuận,8,HSG 12 Cà Mau,7,HSG 12 Cần Thơ,7,HSG 12 Cao Bằng,5,HSG 12 Chuyên SPHN,11,HSG 12 Đà Nẵng,3,HSG 12 Đắk Lắk,21,HSG 12 Đắk Nông,1,HSG 12 Điện Biên,3,HSG 12 Đồng Nai,20,HSG 12 Đồng Tháp,18,HSG 12 Gia Lai,14,HSG 12 Hà Nam,5,HSG 12 Hà Nội,17,HSG 12 Hà Tĩnh,16,HSG 12 Hải Dương,16,HSG 12 Hải Phòng,20,HSG 12 Hậu Giang,4,HSG 12 Hòa Bình,10,HSG 12 Hưng Yên,10,HSG 12 Khánh Hòa,4,HSG 12 KHTN,26,HSG 12 Kiên Giang,12,HSG 12 Kon Tum,3,HSG 12 Lai Châu,4,HSG 12 Lâm Đồng,11,HSG 12 Lạng Sơn,8,HSG 12 Lào Cai,17,HSG 12 Long An,18,HSG 12 Nam Định,7,HSG 12 Nghệ An,13,HSG 12 Ninh Bình,12,HSG 12 Ninh Thuận,7,HSG 12 Phú Thọ,18,HSG 12 Phú Yên,13,HSG 12 Quảng Bình,14,HSG 12 Quảng Nam,11,HSG 12 Quảng Ngãi,6,HSG 12 Quảng Ninh,20,HSG 12 Quảng Trị,10,HSG 12 Sóc Trăng,4,HSG 12 Sơn La,5,HSG 12 Tây Ninh,6,HSG 12 Thái Bình,11,HSG 12 Thái Nguyên,13,HSG 12 Thanh Hóa,17,HSG 12 Thừa Thiên Huế,19,HSG 12 Tiền Giang,3,HSG 12 TPHCM,13,HSG 12 Tuyên Quang,3,HSG 12 Vĩnh Long,7,HSG 12 Vĩnh Phúc,20,HSG 12 Yên Bái,6,HSG 9,572,HSG 9 2009-2010,1,HSG 9 2010-2011,21,HSG 9 2011-2012,42,HSG 9 2012-2013,41,HSG 9 2013-2014,35,HSG 9 2014-2015,41,HSG 9 2015-2016,38,HSG 9 2016-2017,42,HSG 9 2017-2018,45,HSG 9 2018-2019,41,HSG 9 2019-2020,18,HSG 9 2020-2021,50,HSG 9 2021-2022,53,HSG 9 2022-2023,55,HSG 9 2023-2024,14,HSG 9 An Giang,9,HSG 9 Bà Rịa Vũng Tàu,8,HSG 9 Bắc Giang,14,HSG 9 Bắc Kạn,1,HSG 9 Bạc Liêu,1,HSG 9 Bắc Ninh,12,HSG 9 Bến Tre,9,HSG 9 Bình Định,11,HSG 9 Bình Dương,7,HSG 9 Bình Phước,13,HSG 9 Bình Thuận,5,HSG 9 Cà Mau,2,HSG 9 Cần Thơ,4,HSG 9 Cao Bằng,2,HSG 9 Đà Nẵng,11,HSG 9 Đắk Lắk,12,HSG 9 Đắk Nông,3,HSG 9 Điện Biên,5,HSG 9 Đồng Nai,8,HSG 9 Đồng Tháp,10,HSG 9 Gia Lai,9,HSG 9 Hà Giang,4,HSG 9 Hà Nam,10,HSG 9 Hà Nội,15,HSG 9 Hà Tĩnh,13,HSG 9 Hải Dương,16,HSG 9 Hải Phòng,8,HSG 9 Hậu Giang,6,HSG 9 Hòa Bình,4,HSG 9 Hưng Yên,11,HSG 9 Khánh Hòa,6,HSG 9 Kiên Giang,16,HSG 9 Kon Tum,9,HSG 9 Lai Châu,2,HSG 9 Lâm Đồng,14,HSG 9 Lạng Sơn,10,HSG 9 Lào Cai,4,HSG 9 Long An,10,HSG 9 Nam Định,9,HSG 9 Nghệ An,21,HSG 9 Ninh Bình,14,HSG 9 Ninh Thuận,4,HSG 9 Phú Thọ,13,HSG 9 Phú Yên,9,HSG 9 Quảng Bình,14,HSG 9 Quảng Nam,12,HSG 9 Quảng Ngãi,13,HSG 9 Quảng Ninh,17,HSG 9 Quảng Trị,10,HSG 9 Sóc Trăng,9,HSG 9 Sơn La,5,HSG 9 Tây Ninh,16,HSG 9 Thái Bình,11,HSG 9 Thái Nguyên,5,HSG 9 Thanh Hóa,12,HSG 9 Thừa Thiên Huế,8,HSG 9 Tiền Giang,7,HSG 9 TPHCM,11,HSG 9 Trà Vinh,2,HSG 9 Tuyên Quang,6,HSG 9 Vĩnh Long,12,HSG 9 Vĩnh Phúc,12,HSG 9 Yên Bái,5,HSG Cấp Trường,80,HSG Quốc Gia,113,HSG Quốc Tế,16,Hứa Lâm Phong,1,Hứa Thuần Phỏng,1,Hùng Vương,2,Hưng Yên,43,Huỳnh Kim Linh,1,Hy Lạp,1,IMC,26,IMO,58,IMT,2,IMU,2,India - Ấn Độ,47,Inequality,13,InMC,1,International,349,Iran,13,Jakob,1,JBMO,41,Jewish,1,Journal,30,Junior,38,K2pi,1,Kazakhstan,1,Khánh Hòa,30,KHTN,64,Kiên Giang,74,Kon Tum,24,Korea - Hàn Quốc,5,Kvant,2,Kỷ Yếu,46,Lai Châu,12,Lâm Đồng,47,Lăng Hồng Nguyệt Anh,1,Lạng Sơn,37,Langlands,1,Lào Cai,35,Lê Hải Châu,1,Lê Hải Khôi,1,Lê Hoành Phò,4,Lê Hồng Phong,5,Lê Khánh Sỹ,3,Lê Minh Cường,1,Lê Phúc Lữ,1,Lê Phương,1,Lê Viết Hải,1,Lê Việt Hưng,2,Leibniz,1,Long An,52,Lớp 10 Chuyên,709,Lớp 10 Không Chuyên,355,Lớp 11,1,Lục Ngạn,1,Lượng giác,1,Lưu Giang Nam,2,Lưu Lý Tưởng,1,Macedonian,1,Malaysia,1,Margulis,2,Mark Levi,1,Mathematical Excalibur,1,Mathematical Reflections,1,Mathematics Magazine,1,Mathematics Today,1,Mathley,1,MathLinks,1,MathProblems Journal,1,Mathscope,8,MathsVN,5,MathVN,1,MEMO,13,Menelaus,1,Metropolises,4,Mexico,1,MIC,1,Michael Atiyah,1,Michael Guillen,1,Mochizuki,1,Moldova,1,Moscow,1,MYM,25,MYTS,4,Nam Định,45,Nam Phi,1,National,276,Nesbitt,1,Newton,4,Nghệ An,73,Ngô Bảo Châu,2,Ngô Việt Hải,1,Ngọc Huyền,2,Nguyễn Anh Tuyến,1,Nguyễn Bá Đang,1,Nguyễn Đình Thi,1,Nguyễn Đức Tấn,1,Nguyễn Đức Thắng,1,Nguyễn Duy Khương,1,Nguyễn Duy Tùng,1,Nguyễn Hữu Điển,3,Nguyễn Minh Hà,1,Nguyễn Minh Tuấn,9,Nguyễn Nhất Huy,1,Nguyễn Phan Tài Vương,1,Nguyễn Phú Khánh,1,Nguyễn Phúc Tăng,2,Nguyễn Quản Bá Hồng,1,Nguyễn Quang Sơn,1,Nguyễn Song Thiên Long,1,Nguyễn Tài Chung,5,Nguyễn Tăng Vũ,1,Nguyễn Tất Thu,1,Nguyễn Thúc Vũ Hoàng,1,Nguyễn Trung Tuấn,8,Nguyễn Tuấn Anh,2,Nguyễn Văn Huyện,3,Nguyễn Văn Mậu,25,Nguyễn Văn Nho,1,Nguyễn Văn Quý,2,Nguyễn Văn Thông,1,Nguyễn Việt Anh,1,Nguyễn Vũ Lương,2,Nhật Bản,4,Nhóm $\LaTeX$,4,Nhóm Toán,1,Ninh Bình,61,Ninh Thuận,26,Nội Suy Lagrange,2,Nội Suy Newton,1,Nordic,21,Olympiad Corner,1,Olympiad Preliminary,2,Olympic 10,133,Olympic 10/3,6,Olympic 10/3 Đắk Lắk,6,Olympic 11,121,Olympic 12,52,Olympic 23/3,2,Olympic 24/3,10,Olympic 24/3 Quảng Nam,10,Olympic 27/4,24,Olympic 30/4,59,Olympic KHTN,8,Olympic Sinh Viên,78,Olympic Tháng 4,12,Olympic Toán,342,Olympic Toán Sơ Cấp,3,Ôn Thi 10,2,PAMO,1,Phạm Đình Đồng,1,Phạm Đức Tài,1,Phạm Huy Hoàng,1,Pham Kim Hung,3,Phạm Quốc Sang,2,Phan Huy Khải,1,Phan Quang Đạt,1,Phan Thành Nam,1,Pháp,2,Philippines,8,Phú Thọ,32,Phú Yên,42,Phùng Hồ Hải,1,Phương Trình Hàm,11,Phương Trình Pythagoras,1,Pi,1,Polish,32,Problems,1,PT-HPT,14,PTNK,64,Putnam,27,Quảng Bình,64,Quảng Nam,57,Quảng Ngãi,49,Quảng Ninh,60,Quảng Trị,42,Quỹ Tích,1,Riemann,1,RMM,14,RMO,24,Romania,38,Romanian Mathematical,1,Russia,1,Sách Thường Thức Toán,7,Sách Toán,70,Sách Toán Cao Học,1,Sách Toán THCS,7,Saudi Arabia - Ả Rập Xê Út,9,Scholze,1,Serbia,17,Sharygin,28,Shortlists,56,Simon Singh,1,Singapore,1,Số Học - Tổ Hợp,28,Sóc Trăng,36,Sơn La,22,Spain,8,Star Education,1,Stars of Mathematics,11,Swinnerton-Dyer,1,Talent Search,1,Tăng Hải Tuân,2,Tạp Chí,17,Tập San,3,Tây Ban Nha,1,Tây Ninh,37,Thái Bình,45,Thái Nguyên,61,Thái Vân,2,Thanh Hóa,69,THCS,2,Thổ Nhĩ Kỳ,5,Thomas J. Mildorf,1,Thông Tin Toán Học,43,THPT Chuyên Lê Quý Đôn,1,THPT Chuyên Nguyễn Du,9,THPTQG,16,THTT,31,Thừa Thiên Huế,55,Tiền Giang,30,Tin Tức Toán Học,1,Titu Andreescu,2,Toán 12,7,Toán Cao Cấp,3,Toán Rời Rạc,5,Toán Tuổi Thơ,3,Tôn Ngọc Minh Quân,2,TOT,1,TPHCM,158,Trà Vinh,10,Trắc Nghiệm,1,Trắc Nghiệm Toán,2,Trại Hè,39,Trại Hè Hùng Vương,30,Trại Hè Phương Nam,7,Trần Đăng Phúc,1,Trần Minh Hiền,2,Trần Nam Dũng,12,Trần Phương,1,Trần Quang Hùng,1,Trần Quốc Anh,2,Trần Quốc Luật,1,Trần Quốc Nghĩa,1,Trần Tiến Tự,1,Trịnh Đào Chiến,2,Trường Đông,23,Trường Hè,10,Trường Thu,1,Trường Xuân,3,TST,544,TST 2008-2009,1,TST 2010-2011,22,TST 2011-2012,23,TST 2012-2013,32,TST 2013-2014,29,TST 2014-2015,27,TST 2015-2016,26,TST 2016-2017,41,TST 2017-2018,42,TST 2018-2019,30,TST 2019-2020,34,TST 2020-2021,30,TST 2021-2022,38,TST 2022-2023,42,TST 2023-2024,23,TST An Giang,8,TST Bà Rịa Vũng Tàu,11,TST Bắc Giang,5,TST Bắc Ninh,11,TST Bến Tre,10,TST Bình Định,5,TST Bình Dương,7,TST Bình Phước,9,TST Bình Thuận,9,TST Cà Mau,7,TST Cần Thơ,6,TST Cao Bằng,2,TST Đà Nẵng,8,TST Đắk Lắk,12,TST Đắk Nông,2,TST Điện Biên,2,TST Đồng Nai,13,TST Đồng Tháp,12,TST Gia Lai,4,TST Hà Nam,8,TST Hà Nội,12,TST Hà Tĩnh,15,TST Hải Dương,11,TST Hải Phòng,13,TST Hậu Giang,1,TST Hòa Bình,4,TST Hưng Yên,10,TST Khánh Hòa,8,TST Kiên Giang,11,TST Kon Tum,6,TST Lâm Đồng,12,TST Lạng Sơn,3,TST Lào Cai,4,TST Long An,6,TST Nam Định,8,TST Nghệ An,7,TST Ninh Bình,11,TST Ninh Thuận,4,TST Phú Thọ,13,TST Phú Yên,5,TST PTNK,15,TST Quảng Bình,12,TST Quảng Nam,7,TST Quảng Ngãi,8,TST Quảng Ninh,9,TST Quảng Trị,10,TST Sóc Trăng,5,TST Sơn La,7,TST Thái Bình,6,TST Thái Nguyên,8,TST Thanh Hóa,9,TST Thừa Thiên Huế,4,TST Tiền Giang,6,TST TPHCM,14,TST Trà Vinh,1,TST Tuyên Quang,1,TST Vĩnh Long,7,TST Vĩnh Phúc,7,TST Yên Bái,8,Tuyên Quang,14,Tuyển Sinh,4,Tuyển Sinh 10,1064,Tuyển Sinh 10 An Giang,18,Tuyển Sinh 10 Bà Rịa Vũng Tàu,22,Tuyển Sinh 10 Bắc Giang,19,Tuyển Sinh 10 Bắc Kạn,3,Tuyển Sinh 10 Bạc Liêu,9,Tuyển Sinh 10 Bắc Ninh,15,Tuyển Sinh 10 Bến Tre,34,Tuyển Sinh 10 Bình Định,19,Tuyển Sinh 10 Bình Dương,12,Tuyển Sinh 10 Bình Phước,21,Tuyển Sinh 10 Bình Thuận,15,Tuyển Sinh 10 Cà Mau,5,Tuyển Sinh 10 Cần Thơ,10,Tuyển Sinh 10 Cao Bằng,2,Tuyển Sinh 10 Chuyên SPHN,19,Tuyển Sinh 10 Đà Nẵng,18,Tuyển Sinh 10 Đại Học Vinh,13,Tuyển Sinh 10 Đắk Lắk,21,Tuyển Sinh 10 Đắk Nông,7,Tuyển Sinh 10 Điện Biên,5,Tuyển Sinh 10 Đồng Nai,18,Tuyển Sinh 10 Đồng Tháp,23,Tuyển Sinh 10 Gia Lai,10,Tuyển Sinh 10 Hà Giang,1,Tuyển Sinh 10 Hà Nam,16,Tuyển Sinh 10 Hà Nội,80,Tuyển Sinh 10 Hà Tĩnh,19,Tuyển Sinh 10 Hải Dương,17,Tuyển Sinh 10 Hải Phòng,15,Tuyển Sinh 10 Hậu Giang,3,Tuyển Sinh 10 Hòa Bình,15,Tuyển Sinh 10 Hưng Yên,12,Tuyển Sinh 10 Khánh Hòa,12,Tuyển Sinh 10 KHTN,21,Tuyển Sinh 10 Kiên Giang,31,Tuyển Sinh 10 Kon Tum,6,Tuyển Sinh 10 Lai Châu,6,Tuyển Sinh 10 Lâm Đồng,10,Tuyển Sinh 10 Lạng Sơn,6,Tuyển Sinh 10 Lào Cai,10,Tuyển Sinh 10 Long An,18,Tuyển Sinh 10 Nam Định,21,Tuyển Sinh 10 Nghệ An,23,Tuyển Sinh 10 Ninh Bình,20,Tuyển Sinh 10 Ninh Thuận,10,Tuyển Sinh 10 Phú Thọ,18,Tuyển Sinh 10 Phú Yên,12,Tuyển Sinh 10 PTNK,37,Tuyển Sinh 10 Quảng Bình,12,Tuyển Sinh 10 Quảng Nam,15,Tuyển Sinh 10 Quảng Ngãi,13,Tuyển Sinh 10 Quảng Ninh,12,Tuyển Sinh 10 Quảng Trị,7,Tuyển Sinh 10 Sóc Trăng,17,Tuyển Sinh 10 Sơn La,5,Tuyển Sinh 10 Tây Ninh,15,Tuyển Sinh 10 Thái Bình,17,Tuyển Sinh 10 Thái Nguyên,18,Tuyển Sinh 10 Thanh Hóa,27,Tuyển Sinh 10 Thừa Thiên Huế,24,Tuyển Sinh 10 Tiền Giang,14,Tuyển Sinh 10 TPHCM,23,Tuyển Sinh 10 Trà Vinh,6,Tuyển Sinh 10 Tuyên Quang,3,Tuyển Sinh 10 Vĩnh Long,12,Tuyển Sinh 10 Vĩnh Phúc,22,Tuyển Sinh 2008-2009,1,Tuyển Sinh 2009-2010,1,Tuyển Sinh 2010-2011,6,Tuyển Sinh 2011-2012,20,Tuyển Sinh 2012-2013,65,Tuyển Sinh 2013-2014,77,Tuyển Sinh 2013-2044,1,Tuyển Sinh 2014-2015,81,Tuyển Sinh 2015-2016,64,Tuyển Sinh 2016-2017,72,Tuyển Sinh 2017-2018,126,Tuyển Sinh 2018-2019,61,Tuyển Sinh 2019-2020,90,Tuyển Sinh 2020-2021,59,Tuyển Sinh 2021-202,1,Tuyển Sinh 2021-2022,69,Tuyển Sinh 2022-2023,113,Tuyển Sinh 2023-2024,49,Tuyển Sinh Chuyên SPHCM,7,Tuyển Sinh Yên Bái,6,Tuyển Tập,45,Tuymaada,6,UK - Anh,16,Undergraduate,69,USA - Mỹ,62,USA TSTST,6,USAJMO,12,USATST,8,USEMO,4,Uzbekistan,1,Vasile Cîrtoaje,4,Vật Lý,1,Viện Toán Học,6,Vietnam,4,Viktor Prasolov,1,VIMF,1,Vinh,32,Vĩnh Long,41,Vĩnh Phúc,86,Virginia Tech,1,VLTT,1,VMEO,4,VMF,12,VMO,58,VNTST,25,Võ Anh Khoa,1,Võ Quốc Bá Cẩn,26,Võ Thành Văn,1,Vojtěch Jarník,6,Vũ Hữu Bình,7,Vương Trung Dũng,1,WFNMC Journal,1,Wiles,1,Xác Suất,1,Yên Bái,25,Yên Thành,1,Zhautykov,14,Zhou Yuan Zhe,1,
ltr
item
MOlympiad.NET: [Solutions] Iranian National Mathematical Olympiad 2012-2013
[Solutions] Iranian National Mathematical Olympiad 2012-2013
MOlympiad.NET
https://www.molympiad.net/2017/07/iranian-national-mathematical-olympiad-2012-2013-solutions.html
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/2017/07/iranian-national-mathematical-olympiad-2012-2013-solutions.html
true
2506595080985176441
UTF-8
Loaded All Posts Not found any posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU Tag ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow THIS PREMIUM CONTENT IS LOCKED
NỘI DUNG CAO CẤP NÀY ĐÃ BỊ KHÓA
STEP 1: SHARE THIS ARTICLE TO A SOCIAL NETWORK
BƯỚC 1: CHIA SẺ BÀI VIẾT NÀY LÊN MẠNG XÃ HỘI
STEP 2: CLICK THE LINK ON YOUR SOCIAL NETWORK
BƯỚC 2: BẤM VÀO ĐƯỜNG DẪN TRÊN MẠNG XÃ HỘI CỦA BẠN
Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy Table of Content