# [Solutions] Balkan Mathematical Olympiad 2014

1. Let $x,y$ and $z$ be positive real numbers such that $xy+yz+xz=3xyz$. Prove that $x^2y+y^2z+z^2x \ge 2(x+y+z)-3$ and determine when equality holds.
2. A special number is a positive integer $n$ for which there exists positive integers $a$, $b$, $c$, and $d$ with $n = \frac {a^3 + 2b^3} {c^3 + 2d^3}.$ Prove that
a) There are infinitely many special numbers.
b) $2014$ is not a special number.
3. Let $ABCD$ be a trapezium inscribed in a circle $\Gamma$ with diameter $AB$. Let $E$ be the intersection point of the diagonals $AC$ and $BD$ . The circle with center $B$ and radius $BE$ meets $\Gamma$ at the points $K$ and $L$ (where $K$ is on the same side of $AB$ as $C$). The line perpendicular to $BD$ at $E$ intersects $CD$ at $M$. Prove that $KM$ is perpendicular to $DL$.
4. Let $n$ be a positive integer. A regular hexagon with side length $n$ is divided into equilateral triangles with side length $1$ by lines parallel to its sides.
Find the number of regular hexagons all of whose vertices are among the vertices of those equilateral triangles.
 MOlympiad.NET là dự án thu thập và phát hành các đề thi tuyển sinh và học sinh giỏi toán. Quý bạn đọc muốn giúp chúng tôi chỉnh sửa bài viết này, xin hãy để lại bình luận facebook (có thể đính kèm hình ảnh) hoặc google (có thể sử dụng $\LaTeX$) bên dưới. BBT rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc liên hệ[email protected]Chúng tôi nhận tất cả các định dạng của tài liệu: $\TeX$, PDF, WORD, IMG,...