Michael Atiyah là nhà toán học lớn người Anh, sinh năm 1929, mất năm 2019, huy chương Fields năm 1966.
Để nói về toán học của một thế kỷ vừa qua và toán học của một thế kỷ đang đến, bạn có hai lựa chọn, cả hai đều khó khăn. Thứ nhất là trình bày tổng quan về toán học của một trăm năm vừa rồi, thứ hai là dự đoán toán học của một trăm năm sắp tới. Tôi chọn thử thách khó khăn hơn trong hai lựa chọn đó. Ai cũng có thể dự đoán về thế kỷ tới, và chẳng mấy người trong chúng ta sống được đến cuối thế kỷ để biết dự đoán đó đúng hay sai. Ngược lại, muốn đưa ra nhận định về thế kỷ đã qua là phải tiên liệu những sự phản đối có thể có.
Điều tốt nhất tôi làm được là đưa ra góc nhìn riêng của mình. Tôi không thể đi vào mọi chủ đề, và hơn nữa còn bỏ qua không ít phần sâu sắc của câu chuyện, một phần vì tôi không phải là chuyên gia về mọi thứ, một phần vì còn có những nguồn khác thảo luận chúng. Tôi sẽ không nói gì, ví dụ, về những sự kiện quan trọng gắn liền với những tên tuổi lớn như Hilbert, Gödel, Turing, trong các lĩnh vực logic toán và tính toán toán học. Tôi cũng sẽ không nói gì về ứng dụng toán học, ngoại trừ những ứng dụng trong vật lý lý thuyết, vì có rất nhiều các ứng dụng như thế và chúng đòi hỏi các thảo luận kỹ thuật. Cần một thảo luận riêng cho mỗi ứng dụng trong số đó. Ngoài ra, tôi sẽ không đưa ra một danh sách các định lý cũng như danh sách các nhà toán học nổi tiếng của thế kỷ qua. Việc đó không mấy thú vị. Thay vào đó tôi sẽ cố gắng chọn ra một số chủ điểm chạy xuyên suốt toán học theo nhiều cách khau và là nguồn khởi phát các sự kiện.
Trước hết cho phép tôi đưa ra một nhận định chung. Thế kỷ là cách phân chia tương đối. Chúng ta không nghĩ rằng sau một trăm năm thời gian bỗng ngừng lại và rồi bắt đầu một chu kỳ mới. Vì vậy khi nói về toán học trong thế kỷ 20, tôi sẽ không quá chặt chẽ về thống kê năm tháng. Nếu có một chủ đề nào đó bắt đầu từ những năm 1890, rồi tiếp tục phát triển vào những năm 1900, tôi sẽ không quan tâm đến thời điểm bắt đầu chính xác. Như một nhà thiên văn, tôi sẽ chấp nhận những con số tương đối. Hơn nữa, nhiều chủ đề toán học xuất hiện từ thế kỷ 19 chỉ thực sự phát triển vào thế kỷ 20.
Một trong những khó khăn của việc bàn về lịch sử là không dễ tưởng tượng ra cách nhìn của một nhà toán học những năm 1900, bởi vì một phần rất lớn của toán học thế kỷ trước đã bị tích hợp vào toán học ngày nay, do chính chúng ta. Rất khó để tưởng tượng về những thời đại mà người ta không tư duy theo cách tư duy quen thuộc của chúng ta ngày nay. Rất nhiều phát minh toán học lớn trong quá khứ, chính vì chúng là những phát minh căn bản, trở thành vô hình trong mắt người đời sau! Những phát minh ấy đã trở thành một phần của nền tảng toán học. Vì thế để ngược dòng lịch sử, ta phải cố gắng tưởng tượng ra một kỷ nguyên khác, khi con người chưa nhìn mọi thứ theo cách vẫn được thực hành ngày nay.
TỪ ĐỊA PHƯƠNG LÊN TOÀN CỤC
Tôi sẽ bắt đầu với việc liệt kê và thảo luận một số chủ đề. Chủ đề đầu tiên có thể tạm gọi là việc chuyển từ địa phương lên toàn cục, từ bộ phận lên toàn thể. Trong toán học cổ điển các nhà toán học thường nghiên cứu những đối tượng ở tầm vi mô, ví dụ họ sử dụng những hệ tọa độ địa phương. Trong thế kỷ 20, trọng tâm đã chuyển sang việc nghiên cứu những quy luật áp dụng cho tổng thể, ở tầm vĩ mô. Và vì những quy luật ở tầm vĩ mô thường khó nắm bắt hơn, hầu hết các nghiên cứu đều chuyển sang định tính, các ý tưởng của tôpô đóng một vai trò quan trọng. Poincaré là người đi những bước tiên phong trong tôpô học và ông đã tiên đoán rằng tôpô sẽ đóng vai trò quan trọng với toán học thế kỷ 20. Tình cờ là với danh sách bài toán cho thế kỷ 20 nổi tiếng của mình, Hilbert đã không nhìn thấy trước điều đó. Tôpô hầu như không xuất hiện trong danh sách các bài toán Hilbert. Trái lại Poincaré có niềm tin chắc chắn ở tầm quan trọng của tôpô.
Chữ "hầu như" của Atiyah là có lý vì bài toán thứ 16 của Hilbert, được chính Hilbert đặt tên là "Bài toán về tôpô của các đường cong và mặt đại số", bao gồm hai phần, là một vấn đề tôpô. Đây vẫn là một vấn đề mở cho đến thời điểm hiện tại – năm 2022. Hilbert có nhắc đến công trình của Poincaré về các đường tròn giới hạn (limiting cycles) khi đề xuất phần thứ hai của bài toán thứ 16. (Các chú thích trong bài là của người dịch.)
Hãy cùng đi vào một số lĩnh vực cụ thể để làm rõ luận điểm của tôi. Ví dụ, hãy xét giải tích phức (thời đó được gọi là "lý thuyết hàm"), một lĩnh vực trung tâm của toán học thế kỷ 19, với công lao đóng góp của những nhà toán học lớn như Weierstrass. Với các nhà toán học thế kỷ 19, hàm (trong "lý thuyết hàm") có nghĩa là hàm một biến phức, và với Weierstrass một hàm là một chuỗi lũy thừa, một đối tượng cụ thể, có thể viết ra tường minh và mô tả chi tiết; nói cách khác hàm không gì hơn là một công thức. Hàm được xem như công thức: một đối tượng sờ nắn được. Nhưng công trình của Abel, Riemann và những người kế tục họ đã thay đổi cách nhìn của chúng ta, hàm được định nghĩa không chỉ bởi những công thức tường minh mà còn bởi những tính chất toàn cục: kỳ dị của chúng ở đâu, đâu là miền xác định, đâu là miền giá trị. Những tính chất toàn cục này đặc trưng hoàn toàn một hàm. Những thác triển địa phương của các hàm chỉ là một cách để tiếp cận chúng.
Tương tự như thế với phương trình vi phân. Trước đây để giải một phương trình vi phân, người ta thường tìm một lời giải địa phương tường minh: một công thức có thể viết ra và thao tác được trên đó. Theo sự tiến triển của ngành, những nghiệm không tường minh được chấp nhận. Không nhất thiết tồn tại một công thức rõ ràng cho nghiệm. Những điểm kỳ dị của một nghiệm mới là thứ quyết định các tính chất toàn cục của nghiệm đó. Đây là cách nhìn giống về tinh thần, tuy khác về chi tiết, với tiếp cận của giải tích phức.
Trong hình học vi phân, các công trình cổ điển của Gauss và những nhà toán học khác tập trung mô tả những vùng nhỏ trong không gian, những phần riêng biệt của một độ cong, những phương trình địa phương mô tả thuộc tính hình học quanh một khu vực nhỏ. Bước chuyển sang tầm vĩ mô là tương đối tự nhiên một khi ta muốn tìm hiểu bức tranh tổng thể về những bề mặt cong và tôpô của chúng. Chuyển từ vi mô lên vĩ mô, các thuộc tính tôpô trở thành những thuộc tính quan trọng nhất.
Nhìn thoáng qua, lý thuyết số có vẻ không liên quan đến câu chuyện này, nhưng không phải vậy. Các nhà số học phân biệt giữa một bên là "lý thuyết địa phương", khía cạnh của vấn đề chỉ liên quan đến đúng một, hay một tập hữu hạn các số nguyên tố, và một bên là "lý thuyết toàn cục", khía cạnh liên quan đến đồng thời tất cả các số nguyên tố. Sự tương đồng giữa số nguyên tố và điểm, giữa ý niệm về cái địa phương, cái tổng thể của số học với các ngành khác, đã có một tác động quan trọng đối với sự phát triển của lý thuyết số, và các ý tưởng tôpô đã gây ảnh hưởng lên nó.
Trong vật lý, tất nhiên, vật lý cổ điển quan tâm đến bối cảnh địa phương, nơi ta có những phương trình vi phân mô tả dáng điệu ở tầm vi mô; nhưng ở bước tiếp theo, ta phải nghiên cứu dáng điệu vĩ mô của cả hệ. Có thể nói, toàn bộ vật lý hướng đến việc dự đoán điều gì sẽ xảy ra khi ta đi từ tầm vi mô, nơi ta nắm được những hiện tượng đang xảy ra, đến bối cảnh vĩ mô.
TĂNG SỐ CHIỀU
Chủ đề thứ hai của tôi hơi khác với chủ đề trước, ở đây tôi muốn nói đến việc đi lên những chiều cao hơn. Hãy lại bắt đầu với giải tích phức: lý thuyết cổ điển về giải tích phức nghiên cứu trường hợp một biến và đạt được những kết quả rất tinh tế. Bước chuyển sang trường hợp hai hay nhiều biến hơn chủ yếu diễn ra trong thế kỷ 20 và đưa đến những hiện tượng mới mẻ. Không phải mọi thứ đều giống như trường hợp một biến. Có khá nhiều khía cạnh mới, và lý thuyết n biến ngày càng giữ vai trò chủ đạo, nó là một trong những thành tựu đáng kể của thế kỷ vừa qua.
Tương tự như thế, những nhà hình học vi phân cổ điển tập trung nghiên cứu đường và mặt cong. Hiện nay chúng ta nghiên cứu hình học của các đa tạp n chiều, và không dễ nhận ra tính đột phá của bước chuyển này. Trong quá khứ, đường cong và mặt cong là những đối tượng hữu hình trong không gian. Đa tạp nhiều chiều là những đối tượng có phần phi thực tế, tuy chúng có thể được mô tả bằng toán học, nhưng có lẽ người ta không thực sự bận tâm đến chúng. Việc coi những đa tạp đó là có thực và nghiên cứu chúng một cách nghiêm túc như đường cong và mặt cong, thực sự là sản phẩm của thế kỷ 20. Tương tự như thế các tiền bối thế kỷ 19 cũng không thấy nhiều lý do để nghiên cứu nhiều hàm cùng một lúc thay vì chỉ một hàm, hay nghiên cứu hàm có giá trị vectơ. Ngày nay chúng ta chứng kiến đồng thời sự gia tăng kích cỡ của tập biến số và tập giá trị của các hàm.
Đại số tuyến tính đã luôn nghiên cứu nhiều biến số, nhưng bước chuyển về số chiều ở đây còn triệt để hơn nữa. Ta chuyển từ hữu hạn chiều sang vô hạn chiều, từ không gian vectơ sang không gian Hilbert, với số biến vô hạn. Tất nhiên bước chuyển này có sự trợ giúp của giải tích. Ngoài hàm nhiều biến, ta còn có hàm của hàm, hay phiếm hàm. Đó là các ánh xạ với tập xác định là không gian các hàm số. Tất cả các phiếm hàm nói chung đều có vô hạn biến số, và đó là lý do tại sao ta có tên gọi "giải tích biến phân". Câu chuyện tương tự đang diễn ra với lý thuyết các hàm tổng quát (phi tuyến), một ngành cổ điển nhưng chỉ thực sự trưởng thành trong thế kỷ 20. Đến đây chấm dứt chủ đề thứ hai của tôi.
TỪ GIAO HOÁN SANG KHÔNG GIAO HOÁN
Chủ đề thứ ba là bước chuyển từ giao hoán sang không giao hoán. Đây có lẽ là một trong những đặc tính nổi bật nhất của toán học, đặc biệt là đại số, thế kỷ 20. Khía cạnh không giao hoán của đại số có vai trò vô cùng quan trọng và nguồn gốc của khía cạnh này đến từ toán học thế kỷ 19. Có nhiều lý do dẫn đến đại số không giao hoán. Trong số đó, công trình của Hamilton về quaternion, được thúc đẩy bởi các ý tưởng vật lý, có lẽ là bất ngờ lớn nhất và có một tác động đáng kể. Ngoài công trình của Hamilton, ta có công trình của Grassmann về đại số ngoài, một hệ thống đại số ngày nay đã được tích hợp vào lý thuyết các dạng vi phân. Tất nhiên còn có các điểm nhấn khác như công trình của Cayley về ma trận, dựa trên đại số tuyến tính, và công trình của Galois, dựa trên lý thuyết nhóm.
Tất cả những con đường khác nhau đó tạo thành cơ sở cho việc đưa vào phép nhân không giao hoán, một thứ công cụ cần thiết như cơm gạo của ngành đại số thế kỷ 20. Tuy không làm chúng ta ngày nay bận tâm nữa, những phát kiến kể trên, theo mỗi cách riêng, là những bước đột phá vĩ đại trong thế kỷ 19. Tất nhiên, việc áp dụng các bước tiến đó đến khá bất ngờ theo những con đường khác nhau. Việc áp dụng ma trận và phép nhân không giao hoán vào vật lý xuất phát từ vật lý lượng tử. Các hệ thức giao hoán tử Heisenberg là ví dụ quan trọng hàng đầu của một áp dụng đáng kể của đại số không giao hoán vào vật lý, các hệ thức này sau đó được von Neumann mở rộng trong lý thuyết đại số toán tử.
Lý thuyết nhóm cũng là một khía cạnh nổi bật của thế kỷ 20, tôi sẽ quay lại với lý thuyết nhóm dưới đây.
TỪ TUYẾN TÍNH SANG PHI TUYẾN
Chủ đề tiếp theo của tôi là bước chuyển từ tuyến tính sang phi tuyến. Một phần lớn của toán học cổ điển cơ bản là tuyến tính, hoặc tựa tuyến tính, được nghiên cứu bằng một loại mở rộng nhiễu loạn nhỏ (pertubation expansion). Những hiện tượng thực sự phi tuyến phức tạp hơn nhiều, và chỉ được nghiên cứu cặn kẽ vào thế kỷ này.
Có thể Atiyah muốn nói đến phép lấy vi phân cấp một, về cơ bản là một cách xấp xỉ tuyến tính.
Câu chuyện bắt đầu với hình học: hình học Euclid, hình học của mặt phẳng, không gian, các đường thẳng; tiếp đến giai đoạn của hình học phi Euclid và hình học tổng quát hơn của Riemann, nơi các đối tượng là phi tuyến một cách căn bản. Trong phương trình vi phân, việc nghiên cứu nghiêm túc các hiện tượng phi tuyến đã đưa đến một loạt các hiện tượng mới không hề xuất hiện trong lý thuyết phương trình vi phân cổ điển. Chỉ cần nói đến soliton và nhiễu loạn, hai khía cạnh rất khác nhau trong phương trình vi phân nhưng đều trở nên rất quan trọng và phổ biến trong thế kỷ này. Chúng đại diện cho những thái cực khác nhau. Soliton đại diện cho những dáng điệu đều đặn bất ngờ của các phương trình vi phân phi tuyến, còn nhiễu loạn đại diện cho những dáng điệu không đều đặn bất ngờ. Cả hai đều hiện hữu trong những khu vực khác nhau, cả hai đều thú vị và quan trọng, nhưng đặc biệt cả hai đều là những hiện tượng phi tuyến một cách căn bản. Ta cũng có thể tìm ra dấu vết của soliton trong những công trình ở cuối thế kỷ 19, nhưng đó là những dấu hiệu tương đối mờ nhạt.
Trong vật lý, dĩ nhiên các phương trình Maxwell, nền tảng của điện từ học, là các phương trình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính. Tương ứng với chúng là các phương trình Yang-Mills, những phương trình phi tuyến được kỳ vọng sẽ mô tả những lực liên quan đến cấu trúc vật chất. Các phương trình Yang-Mills là phi tuyến vì chúng có thể xem là phiên bản ma trận của các phương trình Maxwell, và tính không giao hoán của phép nhân ma trận dẫn đến những số hạng phi tuyến trong các phương trình Yang-Mills. Ở đây chúng ta bắt gặp một liên hệ thú vị giữa tính phi tuyến và tính không giao hoán. Tính không giao hoán tạo ra một loại phi tuyến nhất định, và điều này hết sức thú vị và quan trọng.
TƯƠNG PHẢN HÌNH HỌC / ĐẠI SỐ
Cho đến giờ tôi đã chọn ra một số chủ đề tổng quát. Bây giờ tôi muốn nói đến một mối tương phản có lịch sử lâu đời, với nhiều pha giằng co, và qua đó tôi xin đưa ra một số phỏng đoán hay nhận xét khái quát. Ta đang nói đến mối tương phản giữa hình học và đại số. Hình học và đại số là hai trụ cột chính, với lịch sử rất lâu dài trong toán học. Hình học có từ thời văn minh Hy Lạp và trước nữa; đại số có từ thời văn minh Ả Rập và Ấn Độ cổ, cả hai ngành đều có tầm quan trọng căn bản với toán học, nhưng quan hệ giữa chúng không phải luôn hòa thuận.
Hãy nhìn xa hơn vào lịch sử. Hình học Euclid, ví dụ kinh điển về một lý thuyết toán học, vốn có nền móng trực quan vững chắc trước khi Descartes đưa hệ toạ độ vào cái mặt phẳng ngày nay mang tên mặt phẳng Descartes. Phát minh của Descartes là một nỗ lực quy giản tư duy hình học thành các tính toán đại số. Đây là một phát kiến vĩ đại, một đòn giáng mạnh của các nhà đại số vào hình học. Nếu ta so sánh các công trình của Newton và Leibniz trong giải tích, ta thấy chúng thuộc về các truyền thống riêng biệt: Newton về căn bản là một nhà hình học, Leibniz về căn bản là một nhà đại số, và có lý do sâu sắc cho cả hai sự kiện đó. Với Newton, hình học, hay thứ giải tích mà ông khai sáng là một nỗ lực dùng toán học để mô tả các quy luật tự nhiên. Ông quan tâm đến vật lý theo nghĩa rộng, và vật lý diễn ra trong thế giới hình học. Để hiểu cách thức hoạt động của các sự vật, ta phải sử dụng các khái niệm của thế giới vật lý, tức là ta phải tư duy bằng trực quan hình học. Khi Newton xây dựng phép tính vi tích phân, ông muốn đưa nó về dạng thức càng gần với thực tế vật lý càng tốt. Vì thế ông dùng những khái niệm hình học, những khái niệm giúp tiếp cận ý nghĩa vật lý. Ngược lại, Leib- niz có một mục đích, một tham vọng lớn lao, biến toàn bộ toán học thành một cỗ máy đại số khổng lồ. Đó là một cách tiếp cận trái ngược hẳn với Newton. Hai ông cũng dùng những ký hiệu khác nhau. Như chúng ta biết, trong cuộc tranh luận giữa Newton và Leibniz, chiến thắng cuối cùng thuộc về các ký hiệu của Leibniz. Chúng ta dùng cách ký hiệu đạo hàm của Leibniz. Tinh thần của cách tiếp cận của New- ton vẫn còn đó nhưng nó bị che lấp đi suốt một thời gian dài.
Một trăm năm sau, đến cuối thế kỷ 19, hai tên tuổi lớn xuất hiện là Poincaré và Hilbert. Tôi đã nhắc qua đến họ, và nói một cách đại khái, họ là những người kế tục Newton và Leibniz. Poincaré thiên về tư duy hình học, tôpô, ông sử dụng những ý tưởng hình học, tôpô như những căn cứ chính. Hilbert nghiêng về tư duy trừu tượng; ông muốn tiên đề hoá, trừu tượng hóa, muốn trình bày vấn đề theo cách chặt chẽ, khuôn phép. Rõ ràng họ thuộc về những truyền thống khác nhau, dù phân loại những nhà toán học lớn là chuyện không đơn giản.
Khi chuẩn bị bài thuyết trình này, tôi nghĩ mình nên chọn ra những người kế tục các truyền thống nêu trên từ các tên tuổi ở thời chúng ta. Nói về những nhà toán học đương thời không phải chuyện dễ, biết chọn những ai? Rồi tôi tự nhủ: ai lại thấy phiền khi được đưa vào một danh sách huy hoàng như thế? Nghĩ vậy, tôi bèn chọn ra hai người: Arnol’d như người kế tục truyền thống của Poincaré- Newton, và Bourbaki, theo tôi, là người kế tục nổi tiểng nhất của David Hilbert. Arnol’d thẳng thắn cho cách ông tiếp cận cơ học, và vật lý nói chung, là tiếp cận hình học, tiếp nối truyền thống có từ Newton; mọi tiếp cận khác ở thời giữa Newton và Arnol’d, trừ một số ngoại lệ tương đối như Riemann, đều là sai lầm. Bourbaki cố gắng tiếp tục chương trình hình thức hóa của Hilbert qua việc tiên đề hóa và trừu tượng hóa một phần lớn toán học, và đạt được thành công tương đối. Mỗi cách tiếp cận đều có giá trị riêng nhưng có sự cạnh tranh giữa đôi bên.
Tôi xin được trình bày quan điểm cá nhân về sự khác biệt giữa hình học và đại số. Hình học, dĩ nhiên, là về không gian; không có gì phải bàn cãi. Hướng về khán đài của căn phòng này, tôi nhìn thấy rất nhiều, trong một giây hay một phần trăm giây tôi tiếp thu được một lượng thông tin khổng lồ, và đó không phải là điều ngẫu nhiên. Cấu trúc não bộ chúng ta khiến cho nó rất nhạy bén với hình ảnh. Một chuyên gia về sinh lý học thần kinh bạn tôi cho biết thông tin thị giác chiếm đến 80, 90 phần trăm vỏ não. Có 17 trung tâm khác nhau trên não bộ, mỗi trung tâm chuyên trách một phần khác nhau của hoạt động thị giác: có phần chuyên về hình ảnh đứng, có phần chuyên về hình ảnh nằm ngang, có phần chuyên về màu sắc, góc nhìn, và cuối cùng có những phần chuyên về diễn giải và nắm bắt ý nghĩa. Nắm bắt và thấu hiểu thế giới trước mắt là một phần quan trọng của quá trình tiến hóa. Do đó trực quan hay tri giác về không gian hay là một công cụ đầy sức mạnh, và ta hiểu tại sao hình học lại quan trọng như thế với toán học – không chỉ quan trọng với những đối tượng thuần túy hình học mà cả những đối tượng vốn không thuộc về hình học. Chúng ta đưa những đối tượng như thế về dạng hình học vì qua đó trực giác của chúng ta được vận hành. Trực giác là công cụ mạnh mẽ nhất của con người. Dễ dàng nhận ra điều đó khi ta cố gắng giải thích một vấn đề toán học cho học trò hay đồng nghiệp. Giải thích ta đưa ra dài và khó, nhưng cuối cùng bạn sinh viên chợt hiểu ra vấn đề. Bạn ấy nói gì? "A, em rõ rồi!". Nhìn thấy rõ cũng đồng nghĩa với hiểu, và từ "tri giác" (perception) diễn tả cả hai nghĩa đó. Ít nhất điều này đúng trong tiếng Anh. Một việc thú vị là so sánh hiện tượng này với các ngôn ngữ khác. Theo tôi việc bộ não người tiến hóa để thu nhận được một lượng thông tin khổng lồ chỉ qua một thoáng nhìn là một sự kiện rất quan trọng, và toán học đã tiếp nhận bước tiến đó và hoàn thiện nó.
Tiếng Việt cũng có những từ có cả hai sắc thái nghĩa nhìn thấy và hiểu như "nhận ra". Ví dụ: nhận ra người quen nghiêng về hành động nhìn, nhận ra vấn đề nghiêng về sự hiểu, phát hiện.
Mặt khác, (dù có thể bạn chưa từng để ý điều này) đại số chủ yếu liên quan đến thời gian. Dù làm loại đại số nào, ta cũng phải thực hiện một chuỗi các hành động nối tiếp nhau, và sự "nối tiếp nhau" diễn ra trong thời gian. Trong một thế giới tĩnh tại ta không thể hình dung ra đại số nhưng hình học về cơ bản là tĩnh tại. Tôi có thể ngồi yên một chỗ và nhìn, và không có việc gì xảy ra, nhưng tôi vẫn nhìn thấy. Ngược lại, đại số liên quan đến thời gian, vì ta có những phép toán phải thực hiện lần lượt, và điều này không chỉ liên quan đến đại số hiện đại. Bất cứ thuật toán, bất cứ quá trình tính toán nào cũng là một chuỗi các bước kế tiếp nhau, chỉ cần làm việc với máy tính để thấy rõ điều này. Các máy tính hiện tại nhận một chuỗi số 0 và 1 như thông tin đầu vào và cho ra kết quả.
Đại số liên quan đến việc biến đổi trong thời gian, còn hình học liên quan đến không gian. Đây là hai khía cạnh đối nghịch nhau của thực tại, và chúng đại diện cho hai quan điểm khác nhau trong toán học. Do đó tranh luận trong quá khứ của các nhà toán học về tầm quan trọng của hình học so với đại số là một thảo luận rất quan trọng.
Tất nhiên, không ích lợi gì nếu xem cuộc tranh luận này như cuộc chiến một mất một còn. Hỏi "Nên làm nhà đại số hay làm nhà hình học?" cũng giống như hỏi "Điếc và mù, đằng nào tốt hơn?" Người mù không nhìn được không gian, người điếc không nghe được, và nghe diễn ra trong thời gian. Nói chung, ta muốn có cả hai năng lực.
Trong vật lý, có một sự phân chia gần tương tự giữa khái niệm và thí nghiệm. Vật lý có hai phần: lý thuyết – khái niệm, giả định, quy luật, và dụng cụ thí nghiệm. Tôi nghĩ khái niệm hiểu theo nghĩa rộng cũng giống như hình học, vì chúng liên quan đến những sự vật trong thế giới thực. Ngược lại, một thí nghiệm gần giống một tính toán đại số. Ta thực hiện một hành động với các bước tuần tự; ta đo một con số nào đó; áp chúng vào các công thức, nhưng những khái niệm cơ bản đằng sau các thí nghiệm là một phần của di sản hình học.
Một cách để đưa mối tương phản giữa đại số và hình học vào ngữ cảnh văn chương hay triết học là nói rằng đại số đối với nhà hình học cũng giống như quà đánh đổi dành cho Faust. Như ta đã biết, trong tác phẩm của Goethe, Faust được con quỷ Mephisto hứa sẽ ban tặng cho bất cứ thứ gì miễn là chấp nhận cho đi linh hồn mình. Đại số là quà treo thưởng quỷ sứ hứa hẹn với nhà toán học. Quỷ sứ bảo: ‘Ta sẽ tặng ngươi một cỗ máy vạn năng có thể giúp ngươi trả lời bất kỳ câu hỏi nào. Chỉ cần cho ta linh hồn của ngươi: hãy quên hình học đi, ngươi sẽ sở hữu ngay cỗ máy thần diệu đó.’ (Ngày nay, quỷ sứ mang chiếc máy tính ra để treo thưởng!). Tất nhiên ta muốn có cả hai: có lẽ ta sẽ đánh lừa con quỷ, giả vờ bán linh hồn mình đi nhưng vẫn không để mất nó. Tuy thế mối nguy hiểm vẫn tiềm ẩn, vì khi tính toán đại số, về cơ bản ta ngừng tư duy; ta không tư duy theo lối hình học nữa, ta không suy tư về ý nghĩa nữa.
Có thể tôi đang quá hà khắc với các nhà đại số, nhưng nói chung mục đích của đại số luôn là cung cấp một công thức để đưa vào trong máy móc, sau đó chỉ cần bấm nút để nhận được kết quả. Ta lấy một thứ có ý nghĩa; công thức hóa nó; và nhận được một kết quả. Trong cả quá trình đó ta không cần phải suy nghĩ xem những bước đại số trung gian tương ứng với những khái niệm hình học nào. Ta mất đi những nhận thức có thể quan trọng trong những bối cảnh khác. Không nên từ bỏ mọi nhận thức! Một lúc nào đó có thể ta sẽ cần đến chúng. Đấy là ý của tôi khi nói về cuộc đánh đổi của Faust. Tôi biết những điều mình vừa nói nghe rất khiêu khích.
Sự chọn lựa giữa hình học và đại số đã dẫn đến những ngành kết hợp cả hai lĩnh vực đó, và sự phân định đâu là đại số đâu là hình học không dễ dàng và ngây thơ như tôi đã nói. Ví dụ, các nhà đại số thường dùng các lược đồ, hình vẽ. Lược đồ là gì nếu không phải là một sự nhượng bộ đối với trực giác hình học?
CÁC CÔNG CỤ CHUNG
Cho phép tôi quay trở lại với những chủ đề chung nhưng thay vì đề cập đến nội dung tôi sẽ tập trung vào các kĩ thuật và phương pháp chung của các chủ đề này. Tôi muốn miêu tả một số phương pháp chung đã được áp dụng trong một loạt các ngành. Phương pháp đầu tiên là
Lý thuyết đồng điều. Lý thuyết đồng điều ban đầu là một nhánh của tôpô. Nó xuất hiện trong tình huống sau. Khởi đi từ một không gian tôpô phức tạp, ta muốn trích xuất những thông tin đơn giản bằng cách đếm số các lỗ hổng, hay tổng quát hơn một số loại bất biến cộng tính nào đó. Có thể nói lý thuyết đồng điều cho ta bất biến tuyến tính từ một ngữ cảnh phi tuyến. Về mặt hình học, ta cộng vào và loại ra một số loại chu trình trên một không gian từ đó nhận được cái gọi là nhóm đồng điều của không gian. Được phát minh vào nửa đầu thế kỷ 20, đồng điều là một công cụ đại số căn bản cung cấp thông tin về các không gian tôpô; đồng điều là đại số chắt lọc từ trong hình học.
Đồng điều cũng xuất hiện trong những bối cảnh khác. Một nguồn khác của lý thuyết đồng điều là từ công trình của Hilbert và nghiên cứu về đa thức. Mỗi đa thức là một hàm phi tuyến, nhân các đa thức ta được những đa thức bậc cao hơn. Hilbert đề ra ý tưởng xuất chúng là nghiên cứu các "iđêan", mỗi iđêan gồm các tổ hợp tuyến tính (hữu hạn, với hệ số đa thức) của một hệ đa thức triệt tiêu tại một tập điểm cho trước. Ông nghiên cứu các phần tử sinh của một iđêan. Một hệ các phần tử sinh có thể chưa tối giản. Hilbert nghiên cứu các quan hệ tuyến tính giữa các phần tử trong một hệ sinh, rồi lại nghiên cứu các quan hệ tuyến tính giữa một hệ phần tử sinh của các quan hệ tuyến tính vừa tìm được. Mỗi quan hệ tuyến tính như thế được gọi là một xoắn (syzygy), và theo cách đã nói ta nhận được một hệ đa tầng các xoắn. Lý thuyết xoắn của Hilbert là một phương pháp tinh tế để quy một vấn đề phi tuyến – việc nghiên cứu đa thức – về một vấn đề tuyến tính. Về cơ bản, Hilbert tạo ra một hệ thống tinh vi các quan hệ tuyến tính để gói gọn một số thông tin về những đối tượng phi tuyến, các đa thức.
Trước công trình của Hilbert và Noether về iđêan trong một vành đa thức, iđêan trong một vành số đã được Kummer và Dedekind nghiên cứu.
Lý thuyết đại số này rất giống với lý thuyết nhóm đồng điều của không gian tôpô, chúng được pha trộn trong ngành "Đại số đồng điều". Trong hình học đại số, thành tựu kỳ vĩ hàng đầu của những năm 1950 là lý thuyết đối đồng điều bó và các mở rộng sang hình học giải tích được phát triển bởi các nhà toán học Pháp như Leray, Cartan, Serre và Grothendieck. Trong lý thuyết đối đồng điều bó có sự kết hợp các ý tưởng tôpô của Riemann-Poincaré, các ý tưởng đại số của Hilbert, và một số công cụ giải tích cần thiết.
Lý thuyết đồng điều còn có những ứng dụng khác vượt ra ngoài khuôn khổ đại số. Ta có thể gán cho những đối tượng phi tuyến các nhóm đồng điều, vốn là những đối tượng tuyến tính. Ví dụ có thể thực hiện phép gán như vậy cho các nhóm hữu hạn, hay các đại số Lie. Lý thuyết đồng điều có ứng dụng quan trọng trong số học, thông qua khái niệm nhóm Galois. Như vậy lý thuyết đồng điều là một công cụ mạnh để phân tích nhiều tình huống khác nhau, việc áp dụng một công cụ trong nhiều ngành khác nhau như thế là một đặc trưng của toán học thế kỷ 20.
K-lý thuyết. Có một công cụ khác, rất giống với lý thuyết đồng điều trên nhiều phương diện ở tính ứng dụng rộng rãi và khả năng thâm nhập vào nhiều ngành khác nhau, nhưng xuất hiện muộn hơn. Đó là "K-lý thuyết". K-lý thuyết chỉ xuất hiện vào giữa thế kỷ 20, tuy nguồn gốc cũng có từ khá lâu. K-lý thuyết khá gần gũi với lý thuyết biểu diễn. Nhưng trong khi lý thuyết biểu diễn, chẳng hạn của nhóm hữu hạn, có từ thế kỷ 19, thì K- lý thuyết xuất hiện muộn hơn. Có thể nghĩ như sau về K-lý thuyết: đó là một cách xuất phát từ lý thuyết ma trận, trong đó có phép nhân không giao hoán của các ma trận, và cố gắng xây dựng những bất biến giao hoán hay tuyến tính. Vết, số chiều và định thức là các bất biến giao hoán của lý thuyết ma trận và K-lý thuyết cố gắng làm việc một cách có hệ thống với các bất biến như vậy; do đó K-lý thuyết còn được gọi là "đại số tuyến tính ổn định". Ý tưởng là hai ma trận A và B không giao hoán với nhau sẽ trở thành giao hoán nếu ta đặt chúng vào các khối trực giao nhau trong một ma trận dạng khối với kích thước đủ lớn. Vì không gian càng lớn thì những đối tượng chiều thấp càng dễ dàng di chuyển, theo một cách tương đối ta hy vọng phép chuyển từ ma trận cỡ nhỏ lên ma trận cỡ lớn như vậy sẽ cung cấp cho ta những thông tin hữu ích, và đây là cơ sở cho việc sử dụng kỹ thuật của K-lý thuyết. Giống như trong lý thuyết đồng điều, ta cũng cố gắng trích xuất thông tin tuyến tính từ những tình huống phi tuyến.
Trong hình học đại số, K-lý thuyết, xuất hiện như một thành tựu đáng kể, là sáng tạo của Grothendieck trong ngữ cảnh của lý thuyết bó vừa nhắc đến ở trên. K-lý thuyết cũng liên quan đến công trình của Grothendieck mở rộng định lý Riemann- Roch.
Trong tôpô, Hirzebruch và tôi bắt chước những ý tưởng nói trên trong một ngữ cảnh thuần túy tôpô. Có thể nói, trong khi công trình của Grothendieck liên quan đến công trình của Hilbert về xoắn, công trình của Hirzebruch và tôi chủ yếu liên quan đến công trình của Riemann-Poincaré về đồng điều. Thay vì sử dụng đa thức, chúng tôi sử dụng các hàm liên tục. K-lý thuyết tôpô đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết chỉ số về phương trình đạo hàm riêng elliptic tuyến tính.
Trong một hướng khác, K-lý thuyết đại số, với tiềm năng ứng dụng trong số học, được Milnor, Quillen và nhiều người khác phát triển, và lý thuyết này đã dẫn đến nhiều câu hỏi thú vị.
Trong giải tích hàm, công trình của nhiều người, trong đó có Kasparov, mở rộng K-lý thuyết cho các hàm liên tục sang ngữ cảnh của C*-đại số không giao hoán. Họ các hàm liên tục trên một không gian tạo thành một đại số với phép nhân giao hoán, nhưng một tương tự không giao hoán của đại số này xuất hiện trong những bối cảnh khác, và cách tiếp cận giải tích hàm tỏ ra phù hợp với các câu hỏi đặt ra trong những bối cảnh đó.
Như vậy K-lý thuyết cũng là một địa điểm nơi rất nhiều phần khác nhau của toán học xuất hiện như đối tượng của cùng một hình thức luận đơn giản, tuy trong từng trường hợp riêng, mỗi phần đó đều có những câu hỏi kỹ thuật đặc thù tương đối khó. K-lý thuyết không phải là một công cụ thống nhất; chính xác hơn, nó là một khuôn khổ thống nhất, trong đó các ngành chia sẻ những sự tương tự, những đặc điểm chung.
Phần lớn các thành tựu cổ điển của K-lý thuyết đã được Alain Connes mở rộng sang cho "hình học vi phân không giao hoán".
Đáng chú ý, khi nghiên cứu lý thuyết dây (ý tưởng mới nhất trong vật lý lý thuyết), mới đây Witten đã phát hiện ra những cách thú vị mà K-lý thuyết có thể được sử dụng để hiểu "các đại lượng bảo toàn". Trong khi trước đây người ta tin rằng lý thuyết đồng điều là khuôn khổ tự nhiên để xem xét các đại lượng bảo toàn, giờ đây K-lý thuyết dường như còn đem lại những đáp án tốt hơn.
Nhóm Lie. Một khái niệm có khả năng thống nhất nhiều lĩnh vực chứ không chỉ đơn thuần là một kỹ thuật, đó là nhóm Lie. Nhóm Lie, chủ yếu bao gồm các nhóm trực giao, unita, symplectic, cùng một số nhóm đặc biệt khác, đóng một vai trò rất quan trọng trong toán học thế kỷ 20. Lý thuyết các nhóm Lie cũng khởi nguồn từ thế kỷ 19. Sophus Lie là một nhà toán học Na Uy thế kỷ 19, người cùng Felix Klein và nhiều đồng nghiệp khác phát triển "lý thuyết các nhóm liên tục", theo cách gọi trước đây. Ban đầu, với Klein, lý thuyết các nhóm liên tục là một nỗ lực thống nhất các loại hình học khác nhau: hình học Euclid và phi Euclid. Dù bắt nguồn từ thế kỷ 19, lý thuyết Lie thực sự phát triển vào thế kỷ 20. Lý thuyết Lie có một vai trò thống trị trong thế kỷ 20 trong tư cách một khuôn khổ thống nhất để nghiên cứu nhiều câu hỏi khác nhau.
Tôi vừa nhắc đến vai trò của các ý tưởng của Klein đối với hình học. Với Klein, nghiên cứu hình học là nghiên cứu các không gian thuần nhất trong đó bạn có thể di chuyển các đối tượng mà không làm chúng biến dạng, do đó mỗi hình học được xác định bởi một nhóm bảo toàn tương ứng. Nhóm các biến đổi Euclid cho ta hình học Euclid, một nhóm Lie khác cho ta hình học hyperbolic. Mỗi hình học thuần nhất tương ứng với một nhóm Lie nào đó. Nhưng kể từ các công trình về hình học của Riemann, người ta quan tâm hơn đến những không gian hình học không thuần nhất, nơi độ cong thay đổi khi di chuyển từ nơi này đến nơi khác, và không có một phép đối xứng chung cho toàn bộ không gian. Mặt khác, các nhóm Lie vẫn đóng vai trò quan trọng vì chúng xuất hiện ở cấp độ vi mô, vì tại mỗi không gian tiếp xúc, chúng ta có các hệ tọa độ Euclid. Ở cấp độ của không gian tiếp xúc, một cách vi mô, các nhóm Lie tái xuất, nhưng để so sánh các điểm ở các vị trí khác nhau, bạn cần các phép dịch chuyển nhất định để xử lý những nhóm Lie khác nhau. Élie Cartan đã xây dựng lý thuyết về các phép dịch chuyển như vậy, qua đó ông vừa đặt nền móng cho hình học vi phân hiện đại, đồng thời cung cấp khuôn khổ cần thiết cho thuyết tương đối của Einstein. Thuyết tương đối, đến lượt nó, là một tác nhân mạnh mẽ thúc đẩy sự phát triển của toàn bộ hình học vi phân.
Chuyển sang thế kỷ 20, khía cạnh toàn cục của toán học thế kỷ này mà tôi đã nhắc đến, có liên quan đến các nhóm Lie và hình học vi phân toàn cục. Một phát kiến lớn lao, nơi Borel và Hirzebruch có đóng góp tiêu biểu, là nghiên cứu về các "lớp đặc trưng" (characteristic class). Đây là những bất biến tôpô kết hợp ba thành phần nòng cốt: nhóm Lie, hình học vi phân, và tôpô, và đương nhiên một thành phần nữa là cấu trúc đại số của nhóm Lie đã cho.
Theo một hướng khác mang màu sắc giải tích đậm hơn, chúng ta có giải tích điều hòa không giao hoán. Giải tích điều hòa không giao hoán là tổng quát hóa của giải tích Fourier, trong đó các chuỗi Fourier và tích phân Fourier đại khái tương ứng với các nhóm Lie giao hoán của đường tròn và đường thẳng. Thay thế các nhóm Lie giao hoán này bằng các nhóm Lie phức tạp hơn, ta nhận được một lý thuyết đẹp đẽ, tinh xảo kết hợp lý thuyết biểu diễn của nhóm Lie với giải tích. Giải tích điều hòa không giao hoán là thành tựu gần trọn cuộc đời làm toán của Harish-Chandra.
Trong số học, toàn bộ "chương trình Langlands", vốn liên hệ gần gũi với giải tích điều hòa của Harish-Chandra, diễn ra trong lý thuyết nhóm Lie. Với mỗi nhóm Lie, ta có một loại số học và chương trình Langlands tương ứng, và chương trình Langlands đã phần nào được hiện thực hóa. Chương trình này tác động đến một phần lớn lý thuyết số đại số trong nửa sau thế kỷ 20. Trong số các tác động này phải kể đến nghiên cứu về các dạng modular cũng như chứng minh định lý Fermat lớn của Andrew Wiles.
Có thể nhầm tưởng rằng nhóm Lie chỉ thực sự quan trọng trong hình học, nơi có những biến đổi liên tục, nhưng ngay trên các trường hữu hạn, các tương tự của nhóm Lie cho ta các nhóm hữu hạn, và hầu hết các nhóm hữu hạn đều xuất hiện như một nhóm kiểu Lie. Do đó một phần kỹ thuật của lý thuyết nhóm Lie cũng áp dụng được ngay cả khi ta làm việc với những đối tượng rời rạc như trường hữu hạn hay trường địa phương. Có rất nhiều công trình thuần túy đại số sử dụng các kỹ thuật tương tự như trong lý thuyết Lie, ví dụ các công trình gắn với tên tuổi của George Lusztig, về biểu diễn của nhóm hữu hạn.
NHÓM HỮU HẠN
Nhân nói về nhóm hữu hạn, điều này gợi tôi nhớ đến việc phân loại các nhóm đơn hữu hạn, và tôi có một lời thú nhận ở đây. Một vài năm trước đây, tôi có được hỏi ý kiến về việc phân loại các nhóm đơn hữu hạn, khi việc này đang sắp kết thúc. Tôi vội vã nói rằng theo tôi công trình phân loại này không phải quá quan trọng gì. Giải thích của tôi lúc đó là định lý phân loại nhóm đơn hữu hạn nói rằng hầu hết các nhóm đơn hữu hạn là những nhóm ta đã biết, và có một danh sách ngoại lệ ít ỏi. Theo nghĩa nào đó định lý phân loại này kết liễu một hướng nghiên cứu, thay vì mở ra những hướng mới. Nếu những cánh cửa đóng lại thay vì mở ra, tôi không thấy quá phấn khích, nhưng đương nhiên một số bạn bè của tôi chuyên về nhóm đơn hữu hạn cảm thấy rất, rất chưng hửng [vì những điều họ được nghe]. Sau bài phỏng vấn đó tôi luôn phải kè kè mang theo một loại áo giáp chống đạn!
Nhưng có một chiếc phao cứu sinh. Tôi quả có nói trong bài phỏng vấn rằng trong danh sách các nhóm "rời rạc" (spo- radic groups), nhóm lớn nhất được gọi là "Quỷ". Tôi nghĩ rằng tìm ra nhóm Quỷ là thành tựu lý thú nhất của vấn đề phân loại nhóm đơn hữu hạn. Hóa ra Quỷ là một động vật vô cùng thú vị và vẫn đang được tìm hiểu. Con vật này có những liên hệ bất ngờ đến nhiều lĩnh vực khác trong toán học, với các hàm modular elliptic, hay thậm chí với cả vật lý lý thuyết và lý thuyết trường lượng tử. Đây là những hệ quả thú vị của vấn đề phân loại. Riêng việc phân loại, như nói ở trên, khép cánh cửa lại, nhưng Quỷ lại mở cánh cửa ra.
TÁC ĐỘNG CỦA VẬT LÝ
Tôi xin được chuyển qua một chủ đề khác, tác động của vật lý. Trong suốt lịch sử, vật lý đã có mối liên hệ lâu dài với toán học, và một phần lớn của toán học, ví dụ phép tính vi tích phân, ra đời để giải quyết các bài toán vật lý. Vào giữa thế kỷ 20, mối quan hệ một chiều ấy dường như không còn hiển nhiên nữa, khi phần lớn toán học thuần túy phát triển mạnh độc lập với vật lý, nhưng 25 năm cuối thế kỷ này đã chứng kiến những biến đổi kịch tính. Tôi xin được điểm qua tương tác giữa vật lý với toán học, đặc biệt là với hình học.
Vào thế kỷ 19, Hamilton đưa ra cơ học cổ điển hình thức luận ngày mang tên ông. Cơ học cổ điển đưa loại hình học ngày nay gọi là hình cho nay đến học symplectic. Loại hình học này đã xuất hiện trước đó nhưng chỉ được nghiên cứu nghiêm túc từ hai thập kỷ vừa qua. Hình học symplectic hóa ra là một lĩnh vực rất giàu có. Theo cách hiểu của tôi ở đây, hình học có thể chia làm ba nhánh: hình học Riemann, hình học phức, và hình học symplectic, tương ứng với ba loại nhóm Lie. Trong ba nhánh này, hình học sym- plectic trẻ trung hơn cả, theo một số cách dường như là nhánh hấp dẫn nhất, và chắc chắn là nhánh hết sức gần gũi với vật lý, vì có nguồn gốc gắn liền với cơ học Hamilton và gần đây hơn là với cơ học lượng tử. Các phương trình Maxwell, các phương trình [vi phân] tuyến tính cơ bản về trường điện từ, đã thúc đẩy công trình của Hodge về các dạng điều hòa (har- monic forms), và ứng dụng trong hình học đại số. Lý thuyết các dạng điều hòa tỏ ra rất hữu ích và làm nền tảng cho phần lớn các công trình hình học từ những năm 1930 đến nay.
Tôi đã nhắc đến tầm quan trọng của thuyết tương đối rộng và công trình của Einstein. Ngoài ra, cơ học lượng tử cũng là một nguồn cảm hứng lớn lao cho toán học. Vai trò quan trọng của cơ học lượng tử không chỉ đến từ các quan hệ giao hoán tử (commutation relations), mà quan trọng hơn từ việc nhấn mạnh vào không gian Hilbert và lý thuyết phổ.
Cụ thể và dễ hiểu hơn, tinh thể học cổ điển nghiên cứu về các đối xứng của các cấu trúc tinh thể. Các nhóm đối xứng hữu hạn chỉ liên quan đến các điểm được nghiên cứu trước hết vì ứng dụng trong tinh thể học. Trong thế kỷ 20, các ứng dụng sâu hơn của lý thuyết nhóm đều có liên hệ với vật lý. Các hạt cơ bản được xem như cấu tạo nên vật chất có những đối xứng ẩn giấu ở cấp độ vô cùng nhỏ, ở đó có tác động của những nhóm Lie không quan sát được, nhưng các đối xứng của các nhóm Lie đó hiện ra rõ ràng khi ta quan sát hành vi của các hạt. Từ đó bạn xây dựng nên một mô hình trong đó đối xứng là thành phần cơ bản, và các lý thuyết vật lý nổi trội nhất ngày nay sử dụng các nhóm Lie $SU(2)$ và $SU(3)$ như các nhóm đối xứng nguyên thủy. Theo cách đó các nhóm Lie đóng vai trò vật liệu xây dựng nên thế giới vật chất.
Hơn nữa không phải chỉ những nhóm Lie com-pắc mới xuất hiện trong tự nhiên. Một số nhóm Lie không com-pắc như nhóm Lorentz cũng có mặt trong vật lý. Các nhà vật lý chính là những người đầu tiên nghiên cứu biểu diễn của các nhóm Lie không com-pắc. Các biểu diễn này bắt buộc phải nằm trong không gian Hilbert, vì với các nhóm com-pắc, các biểu diễn bất khả quy đều là hữu hạn chiều, trong khi biểu diễn bất khả quy của các nhóm không com-pắc yêu cầu các không gian vô hạn chiều, và các nhà vật lý là những người phát hiện ra điều này đầu tiên.
Trong 25 năm cuối thế kỷ hai mươi chúng ta vừa trải qua, nhiều ý tưởng vật lý đã thâm nhập vào trong toán học. Đây có lẽ là một trong những câu chuyện đáng chú ý nhất của thế kỷ. Cần cả một bài giảng để đi vào chi tiết, nhưng, một cách vắn tắt, lý thuyết trường lượng tử và lý thuyết dây đã được áp dụng một cách đáng chú ý để tạo nên những kết quả, ý tưởng, và kỹ thuật mới trong nhiều phần của toán học. Tôi muốn nói đến việc các nhà vật lý tiên đoán được một số mệnh đề toán học dựa trên những hiểu biết vật lý. Đương nhiên họ không đưa ra những chứng minh chặt chẽ, nhưng họ cung cấp một khối lượng lớn những trực giác, trường hợp riêng và những tương tự sắc bén. Hết lần này đến lần khác, những kết quả do vật lý phỏng đoán đã được các nhà toán học kiểm chứng và xác nhận là đúng về căn bản, mặc dù tìm ra chứng minh không phải việc dễ dàng và nhiều phỏng đoán vẫn chưa được thiết lập hoàn toàn.
Tóm lại các nhà vật lý đã đem lại một nguồn ý tưởng dồi dào trong suốt hai mươi lăm năm qua. Các kết quả họ tiên đoán là hết sức cụ thể. Các nhà vật lý không chỉ nói "những điều đại loại như vậy có thể đúng". Họ nói "công thức chính xác như sau và nó đúng trong mười trường hợp đầu tiên" (các tính toán này liên quan đến các số nhiều hơn 12 chữ số). Họ đưa ra câu trả lời chính xác cho những vấn đề phức tạp đến mức tính nhẩm là việc bất khả; máy móc là không thể thiếu được trong các tính toán như thế. Lý thuyết trường lượng tử tỏ ra là một công cụ đáng chú ý, tuy rất khó nắm bắt về mặt toán học nhưng đem lại những ứng dụng bất ngờ. Đây quả thực là một câu chuyện tuyệt vời trong 25 năm vừa rồi.
Một số gạch đầu dòng có thể vạch ra: công trình của Simon Donaldson về đa tạp bốn chiều; công trình của Vaughan Jones về bất biến của nút; đối xứng gương, nhóm lượng tử; và để hoàn thiện câu chuyện, tôi đã nhắc đến nhóm Quỷ.
Câu chuyện liên quan đến các nhà vật lý tóm lại là gì? Như tôi đã nói, thế kỷ 20 chứng kiến bước chuyển từ số chiều thấp lên số chiều cao hơn, và cuối cùng là số chiều vô hạn. Các nhà vật lý còn đi xa hơn thế. Trong lý thuyết trường lượng tử họ thực sự đang nỗ lực đào sâu vào các không gian vô hạn chiều. Các không gian vô hạn chiều trong vật lý thường là các không gian hàm thuộc nhiều loại. Các không gian ấy phức tạp vì ngoài số chiều vô cùng lớn, chúng có cấu trúc đại số, hình học, và tôpô phức tạp, hơn nữa lại liên quan đến các nhóm Lie cồng kềnh, vô hạn chiều. Giống như việc một phần lớn toán học thế kỷ 20 dành để phát triển hình học, tôpô, đại số, và giải tích trên các nhóm Lie và các đa tạp hữu hạn chiều, một phần của vật lý hướng đến những nghiên cứu tương tự trên các không gian vô hạn chiều, và trong khi là một câu chuyện rất khác, các kết quả hướng nghiên cứu này cung cấp vô cùng ấn tượng.
Cho phép tôi nói rõ hơn một chút. Các lý thuyết trường lượng tử diễn ra trong bối cảnh không và thời gian; và dù không gian vừa nói đến quả thực có ba chiều nhưng cũng có những mô hình giản lược chỉ sử dụng không gian một chiều. Trong không gian một chiều với thời gian một chiều, các nhà vật lý thường bắt gặp những đối tượng tương ứng về mặt toán học với các nhóm như nhóm các vi phôi của đường tròn, hay nhóm các ánh xạ khả vi từ đường tròn vào một nhóm Lie com- pắc. Hai nhóm vừa kể là hai ví dụ rất căn bản về các nhóm Lie vô hạn chiều xuất hiện trong các lý thuyết trường lượng tử ở một chiều không gian và một chiều thời gian, và các nhóm tương đối đẹp ấy đã được toán học nghiên cứu từ trước.
Trong các lý thuyết trường lượng tử $1+1$ chiều, ta có thể coi không-thời gian như một diện Riemann, qua đó các thông tin vật lý mang lại những định lý toán học mới. Ví dụ không gian môđuli của các diện Riemann với giống cho trước đã được toán học nghiên cứu từ thế kỷ 19. Tuy thế lý thuyết trường lượng tử vẫn cung cấp những kết quả mới về đối đồng điều của các không gian moduli này. Một loại không gian moduli tương tự là không gian moduli các G-phân thớ phẳng (flat G-bundle) trên một diện Riemann với giống g. Không gian moduli các G-phân thớ phẳng rất hấp dẫn và lý thuyết trường lượng tử cung cấp các kết quả chính xác về chúng. Cụ thể hơn, ta có những công thức thể tích đẹp đẽ dựa trên giá trị của các hàm zeta.
Một ứng dụng khác của vật lý là đếm số đường cong. Khi quan sát các đường cong đại số trên mặt phẳng với bậc cho trước thuộc một lớp nhất định, một câu hỏi đặt ra là đếm số các đường cong như thế mà đi qua một số điểm cho trước, và câu hỏi này thuộc về các bài toán đếm trong hình học đại số, vốn đã được quan tâm từ thế kỷ 19. Các bài toán đếm trong hình học đại số đều rất khó. Gần đây các bài toán đếm này được giải quyết bằng công cụ hiện đại mang tên "đối đồng điều lượng tử", một phần trong câu chuyện đến từ lý thuyết trường lượng tử, hơn nữa bạn được phép đặt những câu hỏi khó hơn nữa về việc đếm các đường cong nằm trên một đa tạp có độ cong dương. Bằng cách đó bạn đi đến một câu chuyện tuyệt đẹp với những kết quả tường minh trong lý thuyết đối xứng gương. Cuối cùng tất cả đến từ lý thuyết trường lượng tử ở chiều $1+1$.
Tiến lên thêm một chiều, ta đến không gian 2 chiều và thời gian 1 chiều, nơi lý thuyết bất biến nút của Vaughan Jones xuất hiện. Công cụ của lý thuyết trường lượng tử giúp ta diễn giải và giải thích một cách tinh tế về các bất biến nút.
Cũng liên quan đến vật lý là các "nhóm lượng tử". Điều lạ lùng nhất về các nhóm lượng tử chính là tên của chúng. Các nhóm lượng tử đều không phải nhóm! Để giải thích định nghĩa của nhóm lượng tử, tôi cần thêm ít nhất nửa tiếng đồng hồ. Đó là những đối tượng phức tạp, nhưng không nghi ngờ gì nữa, các nhóm lượng tử có quan hệ sâu sắc với lý thuyết lượng tử. Các nhóm lượng tử xuất phát từ vật lý và chúng đang được những chuyên gia đại số lành nghề sử dụng trong những tính toán chính xác.
Tiến thêm bước nữa để đến không thời gian bốn chiều (ba cộng một), ta gặp lý thuyết Donaldson về các đa tạp bốn chiều, nơi lý thuyết trường lượng tử có tác động lớn lao. Sử dụng lý thuyết trường lượng tử, Seiberg và Witten đưa ra một giải thích khác về các kết quả của Don- aldson, dựa trên nền tảng các trực giác vật lý, họ đưa ra những kết quả toán học kỳ diệu. Câu chuyện chưa dừng lại ở đó. Còn rất nhiều ví dụ khác.
Chúng ta còn có thể kể đến lý thuyết dây, bản thân lý thuyết này cũng dường như sắp lỗi thời! Lý thuyết M dường như mới là lý thuyết tân kỳ nhất, đó là một mảnh đất màu mỡ với một khối lượng lớn khía cạnh toán học liên quan. Các kết quả đến từ lý thuyết M vẫn đang cần được tiêu hóa và sẽ là mối bận tâm của toán học trong một thời gian dài.
TỔNG KẾT VỀ LỊCH SỬ
Tôi xin đưa ra một tổng kết ngắn. Cho phép tôi nhìn lịch sử trên những đường nét lớn: điều gì đã xảy ra trong toán học từ trước đến nay? Tôi sẽ xuề xòa nhập thế kỷ thứ 18 và 19 vào làm một, và xem đó như giai đoạn toán học cổ điển, giai đoạn có thể gắn với tên tuổi của Euler và Gauss, khi kết quả lớn của toán học cổ điển được tìm ra và phát triển. Tưởng chừng không còn gì để làm trong toán nữa, nhưng rồi thế kỷ 20 đã đạt được rất nhiều thành tựu, và đó là những gì tôi vừa đề cập.
Thế kỷ 20 có thể tạm chia làm hai thời kỳ. Tôi nghĩ rằng ở thời kỳ đầu, xu thế áp đảo có thể gọi là "chuyên môn hóa", trong đó tiếp cận của Hilbert chú trọng đến tiên đề hóa và định nghĩa các khái niệm một cách chính xác, và áp dụng chúng cho thích hợp trong mỗi lĩnh vực cụ thể, có ảnh hưởng rất lớn. Như đã nói, danh tiếng của Bourbaki gắn liền với truyền thống Hilbert, trong đó các nhà toán học tập trung vào những kết quả có thể đạt được trong một hệ thống nhất định, ví dụ một hệ thống đại số, tại một thời điểm nhất định. Ngược lại thời kỳ thứ hai của thế kỷ 20 xu thế áp đảo có thể gọi là "thống nhất hóa", khi các biên giới bị vượt qua, các kỹ thuật được chuyên chở từ lĩnh vực này sang lĩnh vực khác, các đối tượng và các lĩnh vực toán học kết hợp lại ở những kích thước kỳ vĩ. Phép phân chia thời kỳ như trên là một sự giản lược có phần thái quá, nhưng tôi nghĩ cách phân chia đó tóm lược được một số khía cạnh có thể bắt gặp ở toán học thế kỷ 20.
Vậy còn thế kỷ 21? Tôi từng nói thế kỷ 21 có thể là kỷ nguyên của toán học lượng tử, hay toán học vô hạn chiều. Thế nào là toán học lượng tử? Toán học lượng tử là loại tri thức lý tưởng giúp ta hiểu cặn kẽ các khía cạnh giải tích, hình học, tôpô, và đại số của một loạt các không gian hàm phi tuyến, và "hiểu cặn kẽ" nghĩa là hiểu đến mức có thể chứng minh tương đối chặt chẽ tất cả những phỏng đoán đẹp đẽ được các nhà vật lý đưa ra.
Cần phải nói rằng nếu bạn tiếp cận các đối tượng vô hạn chiều một cách ngây thơ [hình thức] và đặt những câu hỏi ngây thơ, bạn sẽ thường nhận được những câu trả lời nếu không sai thì cũng tẻ nhạt. Các ứng dụng, trực giác, và cảm hứng vật lý cho phép các nhà vật lý đặt ra những câu hỏi khôn ngoan về các không gian vô hạn chiều và tiếp cận vấn đề theo cách giúp những câu trả lời có ý nghĩa nảy sinh, và do đó theo nghĩa này làm giải tích vô hạn chiều không phải là việc đơn giản. Bạn cần biết đâu là con đường đúng. Chúng ta có rất nhiều manh mối. Tấm bản đồ đã mở ra: chúng ta biết những điều cần làm, nhưng con đường đến đích vẫn còn xa.
Còn những gì đang chờ đợi ở thế kỷ 21? Tôi muốn nhấn mạnh đến hình học vi phân không giao hoán của Connes. Hình học vi phân không giao hoán của Alain Connes là một lý thuyết có sức mạnh hợp nhất tuyệt diệu. Hình học này kết hợp tất cả mọi thứ lại với nhau. Nó kết hợp giải tích, đại số, hình học, tôpô, vật lý, và số học, mỗi lĩnh vực này đều có phần đóng góp riêng. Hình học vi phân không giao hoán là một khuôn khổ cho phép thực hiện những điều nhà hình học vi phân thường làm, bao gồm cả những liên hệ giữa hình học vi phân với tôpô, trong bối cảnh giải tích không giao hoán. Có nhiều lý do thúc đẩy nghiên cứu hình học vi phân trong bối cảnh giải tích không giao hoán, như những ứng dụng (hay tiềm năng ứng dụng) trong số học, hình học, nhóm rời rạc, cũng như các lĩnh vực toán học khác, và trong vật lý. Một liên hệ thú vị với vật lý mới được tìm ra gần đây. Còn những tương tác nào với vật lý sẽ xuất hiện, hình học vi phân không giao hoán sẽ đạt được những gì, những điều này phải chờ tương lai giải đáp. Đương nhiên tôi kỳ vọng lĩnh vực này sẽ phát triển đáng kể ít nhất trong thập niên đầu của thế kỷ 21, và có lẽ lĩnh vực này có thể liên hệ đến lý thuyết trường lượng tử (chặt chẽ) hiện vẫn đang trong giai đoạn sơ khai.
Theo một hướng khác, cần kể đến "hình học số học" hay hình học Arakelov, nhắm đến thống nhất càng nhiều càng tốt hình học đại số với một phần số học. Hình học số học có rất nhiều thành công. Nó đã có khởi đầu thuận lợi nhưng vẫn còn một chặng đường dài phía trước. Phải thế không?
Tất cả những lĩnh vực vừa kể có những sợi dây liên kết chung. Tôi kỳ vọng vật lý sẽ mở rộng ảnh hưởng của mình ra toàn bộ toán học, kể cả tới số học: Andrew Wiles không nghĩ như vậy và chỉ thời gian mới cho ta biết ai đúng.
Đó là những hướng tôi cảm thấy sẽ nổi lên trong thập kỷ tiếp theo, nhưng còn phải kể đến một loại cầu thủ dự bị: hình học số chiều thấp. Bên cạnh những đối tượng vô hạn chiều thời thượng, hình học số chiều thấp là một nỗi hổ thẹn. Theo rất nhiều cách, những nơi chốn chúng ta và tổ tiên chúng ta xuất phát, vẫn còn là một ẩn số. Chiều "thấp" ở đây hàm ý chiều 2, 3 và 4. Ví dụ, các công trình của Thurston nhắm đến phân loại các hình học có thể trang bị cho các đa tạp ba chiều. Hình học của các đa tạp ba chiều phức tạp hơn hẳn trường hợp hai chiều. Khó có thể nói rằng chương trình Thurston đã hoàn thiện, và việc hoàn thiện chương trình đó là một thách thức to lớn.
Một câu chuyện đáng chú ý khác trong không gian ba chiều là công trình của Vaughan Jones với các ý tưởng về căn bản đến từ vật lý. Công trình của Jones cho chúng ta những thông tin về không gian ba chiều gần như trực giao với thông tin đến từ chương trình Thurston. Làm sao kết nối được hai câu chuyện trên với nhau là một thách thức ghê gớm, nhưng gần đây dấu hiệu về một cầu nối khả dĩ đã xuất hiện. Như thế toàn bộ hình học số chiều thấp có những liên hệ với vật lý, nhưng vẫn là hết sức bí ẩn.
Cuối cùng, cũng cần nói rằng trong vật lý các "đối ngẫu" rất hay xuất hiện. Nói một cách khái quát, các đối ngẫu xuất hiện khi một lý thuyết lượng tử xuất hiện dưới hai nhận dạng cổ điển khác nhau. Một ví dụ đơn giản là đối ngẫu giữa vị trí và động lượng trong cơ học cổ điển. Đối ngẫu này biến một không gian thành không gian đối ngẫu, và trong các lý thuyết tuyến tính đối ngẫu đó được cho bởi biến đổi Fourier. Nhưng trong các lý thuyết không tuyến tính một thách thức lớn là tìm ra đối tượng thay thế biến đổi Fourier. Một phần lớn của toán học liên quan đến việc tổng quát hóa các đối ngẫu [cổ điển] cho các tình huống phi tuyến. Các nhà vật lý dường như có khả năng tìm ra các đối ngẫu mới một cách tài tình trong các lý thuyết dây và lý thuyết M. Họ tạo ra hết ví dụ này đến ví dụ khác của các đối ngẫu kỳ diệu có thể xem như các phiên bản phi tuyến vô hạn chiều của biến đổi Fourier, và chúng dường như là những đối ngẫu đúng. Nhưng tìm hiểu các đối ngẫu phi tuyến này có vẻ như một trong những thách thức to lớn dành cho thế kỷ 21.
Tôi nghĩ đã đến lúc dừng lại. Vẫn còn rất nhiều việc cần làm, và quả là điều may mắn cho một ông già như tôi khi được nói chuyện trước những khán giả trẻ trung như các bạn, nhất là khi ông ta có thể nói rằng: còn rất nhiều việc dành cho các bạn trong thế kỷ tới!
- Michael Atiyah (Người dịch: Lê Hồng Đăng)