Đề Thi Tuyển Sinh Lớp 10 THPT Chuyên Tỉnh Bạc Liêu 2022-2023

1. a) Chứng minh biểu thức $S=n^{3}(n+2)^{2}+(n+1)\left(n^{3}-5 n+1\right)-2 n-1$ chia hết cho $120$, với $n$ là số nguyên.
   b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình $$(2 x+y)(x-y)+3(2 x+y)-5(x-y)=22.$$
2. a) Rút gọn biểu thức $$P=\left(\frac{\sqrt{a}}{a-1}+\frac{3 a+5 \sqrt{a}}{a \sqrt{a}-a-\sqrt{a}+1}\right)\left[\frac{(\sqrt{a}-1)^{2}}{4 \sqrt{a}}\right]$$ với $a>0$, $a \neq 1$.
   b) Giải hệ phương trình $$\begin{cases}x\left(x^{2}+y^{2}\right)-40y &=0 \\ x^{2}+6 y^{2}-40 &=0\end{cases}$$
3. a) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $x^{2}-5 x+m-2=0$ có hai nghiệm dương phân biệt $x_{1}$, $x_{2}$ thoả mãn hệ thức $$\frac{1}{\sqrt{x_{1}}}+\frac{1}{\sqrt{x_{2}}}=\frac{3}{2}.$$ b) Cho $a, b, c$ là các số dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $$a^{2} b+b^{2} c+c^{2} a \geq \frac{9 a^{2} b^{2} c^{2}}{1+2 a^{2} b^{2} c^{2}} .$$
4. Cho đường tròn tâm $O$ có đường kính $M N=2 R$. Vẽ đường kính $A B$ của đường tròn $(O)$ ($A$ khác $M$ và $A$ khác $N$). Tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $N$ cắt các đường thẳng $M A$, $M B$ lần lượt tại các điểm $I$, $K$.
   a) Chứng minh tứ giác $A B K I$ nội tiếp.
   b) Khi đường kính $A B$ quay quanh tâm $O$ thoả mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí của đường kính $A B$ để tứ giác $A B K I$ có diện tích nhỏ nhất.
5. Cho nửa đường tròn $(O)$ đường kính $A B$, điểm $C$ thuộc nửa đường tròn ($C$ khác $A$ và $B$). Gọi $I$ là điểm chính giữa cung $A C$, $E$ là giao điểm của $A I$ và $B C$. Gọi $K$ là giao điểm của $A C$ và $B I$.
   a) Chứng minh rằng $E K \perp A B$.
   b) Gọi $F$ là điểm đối xứng với $K$ qua $I$. Chứng minh $A F$ là tiếp tuyến của $(O)$.
   c) Nếu $\sin \widehat{B A C}=\frac{\sqrt{6}}{3}$. Gọi $H$ là giao điểm của $E K$ và $A B$. Chứng minh $$K H(K H+2 H E)=2 H E \cdot K E.$$