Đề Thi Chọn Đội Tuyển Việt Nam Tham Dự IMO 2022 [Đáp Án]

1. Cho số thực $\alpha$ và xét hàm số $\varphi(x)=x^{2} e^{a x}$ với $x \in \mathbb{R}$. Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $$f(\varphi(x)+f(y))=y+\varphi(f(x)),\,\forall x, y \in \mathbb{R}.$$
2. Cho một khối đa diện lồi $2022$ mặt. Trên ba mặt nào đó của nó, có sẵn các số $26$, $4$ và $2022$ (mỗi mặt có đúng một số). Người ta muốn điền vào mỗi mặt còn lại một số thực sao cho mỗi số được điền bằng trung bình cộng của các số trong các mặt có cạnh chung với mặt chứa nó. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một cách điền như vậy.
3. Cho hình bình hành $A B C D$ có $I$ là giao điểm hai đường chéo $A C$ và $B D$. Xét điểm $G$ bên trong tam giác $I A B$ sao cho $$\angle I A G=\angle I B G \neq 45^{\circ}-\frac{\angle A I B}{4}.$$ Ký hiệu $E$, $F$ tương ứng là hình chiếu của $C$ lên $A G$ và của $D$ lên $B G$. Trung tuyến đỉnh $E$ của tam giác $B E F$ và trung tuyến đỉnh $F$ của tam giác $A E F$ cắt nhau tại $H$.
   a) Chứng minh rằng $A F$, $B C$ và $I H$ đồng quy. Gọi điểm đồng quy đó là $L$.
   b) Gọi $K$ là giao điểm của các đường thẳng $C E$ và $D F$. Gọi $J$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $L A B$ và $M$, $N$ lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác $E I J$ và $F I J$. Chứng minh rằng $E M$, $F N$ và đường thẳng nối tâm các đường tròn ngoại tiếp hai tam giác $G A B$, $K C D$ thì đồng quy.
4. Cho tam giác $A B C$ nhọn, không cân nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Một đường thẳng qua $O$ và trung điểm $I$ của $B C$ cắt các đường thẳng $A B$, $A C$ theo thứ tự tại $E$, $F$. Gọi $D$, $G$ lần lượt là các điểm đối xứng của $A$ qua $O$ và qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A E F$. Gọi $K$ là điểm đối xứng của $O$ qua tâm của đường tròn ngoại tiếp $O B C$.
   a) Chứng minh rằng các điểm $D$, $G$, $K$ thẳng hàng.
   b) Trên các đường thẳng $K B$, $K C$ lần lượt lấy các điểm $M$, $N$ sao cho $I M \perp A B$ và $I N \perp A C$. Trung trực của $I K$ cắt $M N$ tại $H$. Giả sử $I H$ cắt $A B$, $A C$ lần lượt tại $P$, $Q$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $A P Q$ thì cắt lại $(O)$ tại một điểm thuộc đường thẳng $A I$.
5. Một số hữu tỉ $x$ được gọi là "đẹp" nếu nó có biểu diễn hữu hạn trong hệ cơ số $b$ với $b$ là nguyên dương thuộc $[2 ; 2022]$. Chứng minh rằng tồn tại hữu hạn số nguyên dương $n \geq 4$ sao cho với mọi $m$ nguyên dương thuộc khoảng $\left(\dfrac{2 n}{3} ; n\right)$ thì trong hai số $\dfrac{m}{n-m}$ và $\dfrac{n-m}{m}$, có ít nhất một số tốt.
6. Cho tập hợp $A=\{1,2, \ldots, 4044\}$. Người ta tô màu $2022$ phần tử trong $A$ bởi màu trắng và 2022 phần tử còn lại bởi màu đen. Với mỗi số $i \in A$, ta gọi "trọng số" của $i$ là tổng của tất cả các số được tô màu trắng nhỏ hơn $i$ và các số được tô màu đen lớn hơn $i$. Với mỗi số tự nhiên $m$, xác định tất cả số nguyên dương $k$ sao cho tồn tại cách tô màu tập hợp $A$ để có đúng $k$ số có trọng số đúng bằng $m$.