- Cho dãy số $\left\{x_{n}\right\}$ được xác định như sau $$x_{1}=2,\quad x_{n+1}=\frac{5 n x_{n}-3 n-1}{n x_{n}+n-1},\, \forall n \geq 1.$$ Tính $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{n x_{n}}{\sum_{i=1}^{n} \sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}}$.
- Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $$f(x f(y)-3 f(x))=4 f(x)+x y,\, \forall x, y \in \mathbb{R} .$$
- Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O)$, đường cao $A D$, $B E$, $C F$ đồng quy tại $H$. Đường tròn Apollonius ứng với đỉnh $A$ cẳt đường tròn $(O)$ tại điểm $G$ khác $A$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là giao điểm khác $G$ của $G E$, $G F$ với $(O)$.
a) Chứng minh rằng $B M$, $C N$, $A D$ đồng quy.
b) Gọi $I$ là trung điểm $B C$. $(O)$ cắt tia $H I$ tại $T$ và cắt $A D$, $A I$ tại điểm thứ hai lần lượt là $K$, $J$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $T I G$ cắt $A I$ tại điểm thứ hai là $P$. $P H$ cắt $B C$, $K J$ lần lượt tại $X$, $Y$. Gọi $Z$ là giao điểm của $B C$ và $K J$. Chứng minh rằng trục đẳng phương của đường tròn $(O)$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $T X Z$ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $T K Y$. - Một bộ $n$ số nguyên dương phân biệt $\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)$ được gọi là bộ $n$-tốt nếu tổng tất cả các số trong bộ bằng bội chung nhỏ nhất của $n$ số đó, và bằng $n!$.
a) Chứng minh tồn tại bộ $4$-tốt.
b) Chứng minh với mọi $n>2$, luôn tồn tại một bộ $n$-tốt. - Tìm tất cả các số nguyên dương $a, b$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn $$(p-1)^{b+1}+1=a(b+1)^{p-1} .$$
- Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O)$, đường cao $B E$, $C F$ cắt nhau tại $H$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $B C$ tại $D$. Đường tròn $\omega_{1}$ qua $A$, $B$ tiếp xúc với $(I)$ tại $M$, đường tròn $\omega_{2}$ qua $A$, $C$ tiếp xúc với $(I)$ tại $N$. Gọi $P$ là giao điểm của $B M$ và $C N$, $X$ là giao điểm của $A P$ và $B C$.
a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $(A D X)$ tiếp xúc đường tròn $(O)$.
b) Gọi $K$ là giao điểm của $A H$ và $(O)$ khác $A$, $K E$ cắt $B C$ tại $J$, $K B$ cắt $E F$ tại $S$. Gọi $Q$, $R$ lần lượt là hình chiếu của $A$ trên $J H$, $S H$. Chứng minh rằng nếu $O I$ vuông góc với $A D$ thì $A P$, $Q R$, $B C$ đồng quy. - Cho tập $X=\{0 ; 1 ; 2 ; \ldots ; 9\}$ và số nguyên $n$. Gọi $Q(x)$ là một đa thức hệ số nguyên và $P(x)$ là đa thức thỏa mãn $$P(x)=\left(x^{2}+7 x+10\right) Q(x)+n.$$ a) Với $n=20$, tìm tất cả đa thức $Q(x)$ sao cho $P(x)$ là đa thức có tất cả hệ số đều là phần tử của tập $X$.
b) Chứng minh rằng với mọi $n$ nguyên, tồn tại duy nhất một đa thức $Q(x)$ sao cho $P(x)$ là đa thức có tất cả hệ số đều là phần tử của tập $X$.
Đề Thi Chọn Đội Tuyển TP Đà Nẵng Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2021-2022
Chọn Đội Tuyển
Đà Nẵng
Đề Thi HSG
TST 2021-2022
MOlympiad.NET là dự án thu thập và phát hành các đề thi tuyển sinh và học sinh giỏi toán. Quý bạn đọc muốn giúp chúng tôi chỉnh sửa đề thi này, xin hãy để lại bình luận facebook (có thể đính kèm hình ảnh) hoặc google (có thể sử dụng $\LaTeX$) bên dưới. BBT rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc liên hệ Chúng tôi nhận tất cả các định dạng của tài liệu: $\TeX$, PDF, WORD, IMG,... | |