Đề Thi Chọn Đội Tuyển TP Đà Nẵng Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2021-2022

1. Cho dãy số $\left\{x_{n}\right\}$ được xác định như sau $$x_{1}=2,\quad x_{n+1}=\frac{5 n x_{n}-3 n-1}{n x_{n}+n-1},\, \forall n \geq 1.$$ Tính $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{n x_{n}}{\sum_{i=1}^{n} \sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}}$.
2. Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $$f(x f(y)-3 f(x))=4 f(x)+x y,\, \forall x, y \in \mathbb{R} .$$
3. Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O)$, đường cao $A D$, $B E$, $C F$ đồng quy tại $H$. Đường tròn Apollonius ứng với đỉnh $A$ cẳt đường tròn $(O)$ tại điểm $G$ khác $A$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là giao điểm khác $G$ của $G E$, $G F$ với $(O)$.
   a) Chứng minh rằng $B M$, $C N$, $A D$ đồng quy.
   b) Gọi $I$ là trung điểm $B C$. $(O)$ cắt tia $H I$ tại $T$ và cắt $A D$, $A I$ tại điểm thứ hai lần lượt là $K$, $J$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $T I G$ cắt $A I$ tại điểm thứ hai là $P$. $P H$ cắt $B C$, $K J$ lần lượt tại $X$, $Y$. Gọi $Z$ là giao điểm của $B C$ và $K J$. Chứng minh rằng trục đẳng phương của đường tròn $(O)$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $T X Z$ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $T K Y$.
4. Một bộ $n$ số nguyên dương phân biệt $\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)$ được gọi là bộ $n$-tốt nếu tổng tất cả các số trong bộ bằng bội chung nhỏ nhất của $n$ số đó, và bằng $n!$.
   a) Chứng minh tồn tại bộ $4$-tốt.
   b) Chứng minh với mọi $n>2$, luôn tồn tại một bộ $n$-tốt.
5. Tìm tất cả các số nguyên dương $a, b$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn $$(p-1)^{b+1}+1=a(b+1)^{p-1} .$$
6. Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O)$, đường cao $B E$, $C F$ cắt nhau tại $H$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $B C$ tại $D$. Đường tròn $\omega_{1}$ qua $A$, $B$ tiếp xúc với $(I)$ tại $M$, đường tròn $\omega_{2}$ qua $A$, $C$ tiếp xúc với $(I)$ tại $N$. Gọi $P$ là giao điểm của $B M$ và $C N$, $X$ là giao điểm của $A P$ và $B C$.
   a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $(A D X)$ tiếp xúc đường tròn $(O)$.
   b) Gọi $K$ là giao điểm của $A H$ và $(O)$ khác $A$, $K E$ cắt $B C$ tại $J$, $K B$ cắt $E F$ tại $S$. Gọi $Q$, $R$ lần lượt là hình chiếu của $A$ trên $J H$, $S H$. Chứng minh rằng nếu $O I$ vuông góc với $A D$ thì $A P$, $Q R$, $B C$ đồng quy.
7. Cho tập $X=\{0 ; 1 ; 2 ; \ldots ; 9\}$ và số nguyên $n$. Gọi $Q(x)$ là một đa thức hệ số nguyên và $P(x)$ là đa thức thỏa mãn $$P(x)=\left(x^{2}+7 x+10\right) Q(x)+n.$$ a) Với $n=20$, tìm tất cả đa thức $Q(x)$ sao cho $P(x)$ là đa thức có tất cả hệ số đều là phần tử của tập $X$.
   b) Chứng minh rằng với mọi $n$ nguyên, tồn tại duy nhất một đa thức $Q(x)$ sao cho $P(x)$ là đa thức có tất cả hệ số đều là phần tử của tập $X$.