Đề Kiểm Tra Trường Đông Toán Học Miền Nam 2022

1. Cho dãy số $\left(u_{n}\right)$ thỏa mãn $$u_{1}=2,\quad u_{n+1}=\frac{2 u_{n}}{u_{n}+1},\, \forall n \in \mathbb{N}^{*}.$$ a) Đặt $v_{n}=u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}-n$, $\forall n \in \mathbb{N}^{*}$. Chứng minh dãy $\left(v_{n}\right)$ có giới hạn hữu hạn.
   b) Tìm tất cả các số thực dương $a$ sao cho dãy $\displaystyle y_{n}=\sum_{k=1}^{n} a^{k}\left(u_{k}-1\right)$ có giới hạn hữu hạn.
2. Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $$f(y f(x)+2 x)=f(x y)+y f(x)+f(f(x)), \forall x, y \in \mathbb{R} .$$
3. Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O)$, ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $B I C$ và đường tròn $(I)$ cắt nhau tại hai điểm $X, Y$, và có tiếp tuyến chung cắt nhau tại $Z$. Gọi $T$ là giao điểm thứ hai của đường tròn đường kính $A I$ với $(O)$.
   a) Chứng minh rằng bốn điểm $X$, $Y$, $Z$, $T$ đồng viên.
   b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $X Y Z$ và $(O)$ tiếp xúc.
4. Có $n \geqslant 3$ viên bi được xếp trên một đường tròn. Mỗi lượt, ta được đổi vị trí của hai viên bi kế nhau. Tìm số lượt ít nhất để ta có thể đảo thứ tự các viên bi trên đường tròn (nếu ban đầu viên bi $A$ kề trước viên bi $B$ theo chiều kim đồng hồ thì sau khi đảo thứ tự $A$ kề sau $B$ theo chiều kim đồng hồ).
5. Một số nguyên dương được gọi là tốt nếu như chữ số đầu tiên và chữ số tận cùng của số đó bằng nhau. Ví dụ, $4$ và $2022$ là các số tốt, nhưng $10$ không là số tốt. Một số tốt được gọi là siêu tốt nếu nó có thể viết được dưới dạng tổng của $2$ số tốt khác. Ví dụ, $101=99+2$ và $22=11+11$ là các số siêu tốt, còn $111$ là số tốt nhưng không là số siêu tốt. Hỏi có bao nhiêu số siêu tốt có $4$ chữ số?
6. Cho tam giác nhọn $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O)$, có $I_{a}$ là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với đỉnh $A$, và $M$ là trung điểm $B C$. $P$, $Q$ theo thứ tự là trung điểm cung nhỏ $C A$, cung nhỏ $A B$ của $(O)$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $P Q M$ cắt lại $B C$ tại $K$, $L$ đối xứng với $K$ qua $M$. Trên $B C$ lấy $D$ sao cho $A D$ là đường đối trung của tam giác $A B C$. Chứng minh rằng $O I_{a}$ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A D L$.
7. Đa thức $P(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{0}$ được gọi là đối xứng nếu $a_{k}=a_{n-k}$ với mọi $0 \leq k \leq n$. Cho $P$ là đa thức hệ số nguyên và đối xứng. Giả sử $Q$ là một đa thức hệ số nguyên bất khả qui trên $\mathbb{Z}$ và $Q$ là ước của $P$.
   a) Chứng minh rằng nếu $Q$ là đa thức đối xứng thì $P / Q$ cũng là đa thức đối xứng.
   b) Chứng minh rằng nếu $Q$ không là đa thức đối xứng thì tồn tại $R$ là đa thức hệ số nguyên bất khả qui trên $\mathbb{Z}$, không đối xứng sao cho $Q R \mid P$.