Đề Thi Chọn Đội Tuyển Tỉnh Nam Định Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2021-2022

1. Giải hệ phương trình $$\begin{cases}2 \sqrt{x^{2}-3 y^{2}+7}+y^{4} &=5 x+5 \\ (\sqrt{x+1}+3) x+6 \sqrt{x+1} &=y^{3}+3 y^{2}+5 y-3\end{cases}.$$
2. Cho dãy số $\left(x_{n}\right)$ thỏa mãn $$x_{1}=1,\quad x_{n+1}=x_{n}+\frac{n+1}{n x_{n}},\, \forall n \in \mathbb{N}^{*}.$$ a) Chứng minh rằng $\displaystyle \lim_{n\to\infty} x_{n}=+\infty$.
   b) Tính giới hạn $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{x_{n}^{2}}{2 n+1}$.
3. Xét hàm số $f: \mathbb{N}^{*} \rightarrow \mathbb{N}^{*}$, thỏa mãn điều kiện $$(2 a+f(b)) \mid\left(b^{2}+2 f(a) f(b)\right),\, \forall a, b \in \mathbb{N}^{*}.$$ a) Chứng minh rằng nếu $p$ là số nguyên tố thì $f(p)$ không có quá $3$ ước nguyên dương.
   b) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn điều kiện nêu trên.
4. Cho tam giác nhọn $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O)$, có $A B<A C<B C$ và $H$ là trực tâm. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của $B C$, $C A$, $A B$. Các tia $M H$, $N H$, $P H$ lần lượt cắt $(O)$ tại $A^{\prime}$, $B^{\prime}$, $C^{\prime}$. Gọi $X$ là giao điểm của $A A^{\prime}$ và $B B^{\prime}$, $X^{\prime}$ là giao điểm của $B C$ và $A C^{\prime}$ và $A D$ là đường kính của $(O)$.
   a) Chứng minh rằng các điểm $D$, $M$, $H$, $A^{\prime}$ thẳng hàng và tứ giác $A^{\prime} H B^{\prime} X^{\prime}$ nội tiếp.
   b) Gọi $I$ và $I^{\prime}$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A^{\prime} X B^{\prime}$ và tam giác $C X^{\prime} C^{\prime}$. Chứng minh rằng $X I \perp A B$ và các đường thẳng $I I^{\prime}$, $B^{\prime} C^{\prime}$, $A^{\prime} C$ đồng quy.
5. a) Có bao nhiêu số tự nhiên có bảy chữ số mà trong mỗi số đó, mỗi chữ số $1$, $2$ và $3$ đều xuất hiện đúng hai lần, chữ số $4$ xuất hiện đúng một lần, đồng thời hai chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau?
   b) Để lát một hình chữ nhật có kích thước $11 \times 12$ người ta dùng các viên gạch loại $A$ hoặc loại $B$. Biết rằng mỗi viên gạch loại $A$ là một hình chữ nhật kích thước $1 \times 6$, mỗi viên gạch loại $B$ là một hình chữ nhật kích thước $1 \times 7$, có thể dùng một hoặc cả hai loại gạch này để lát. Gọi $a$ là tổng số viên gạch được dùng. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $a$.
6. Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a b c=1$. Chứng minh rằng
   a) $\left(a^{2}+a+b\right)(a b+b+1) \geq b(2 a+1)^{2}$.
   b) $\dfrac{4 b-1}{(2 a+1)^{2}}+\dfrac{4 c-1}{(2 b+1)^{2}}+\dfrac{4 a-1}{(2 c+1)^{2}} \geq 1$.
7. Cho $P(x)$ là đa thức monic bậc $n$ với $n \in \mathbb{N}^{*}$ có đúng $n$ nghiệm thực phân biệt. Biết rằng tồn tại duy nhất số thực $a$ mà $P\left(a^{2}+4 a+2021\right)=0$. Chứng minh rằng đa thức $P\left(x^{2}+4 x+2021\right)$ chia hết cho đa thức $(x+2)^{2}$ và $P(2021) \geq 4^{n}$.
8. Cho tam giác nhọn $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O)$, có $A B<A C$. Đường phân giác trong của góc $A$ cắt cạnh $B C$ tại $D$ và cắt đường tròn $(O)$ tại $K$, $K \neq A$. Lấy điểm $P$ nằm trên đường tròn $(K ; K B)$ sao cho $P$ nằm trong tam giác $A B C$ và nằm khác phía $B$ so với đường thẳng $A D$. Đường thẳng $P K$ cắt $B C$ tại $L$, cắt đường tròn $(K ; K B)$ tại $Q$, $Q \neq P$. Đường thẳng $A L$ cắt đường tròn $(O)$ tại $F$, đường thẳng $K F$ cắt đường thẳng $B C$ tại $T$, đường thẳng $A Q$ cắt đường tròn $(O)$ tại $R$, $R$ và $F$ khác $A$.
   a) Chứng minh rằng $K Q^{2}=K A \cdot K D$, $\angle K A Q=\angle K Q D$ và $P T \| K R$.
   b) Gọi $E$ là giao điểm thứ hai của $A P$ và đường tròn $(O)$. Chứng minh rằng $K E$ đi qua trung điểm của $P T$.
9. Cho $a$ và $n$ là các số nguyên dương, $a \geq 2$. Chứng minh rằng mọi ước nguyên tố của $a^{2 \cdot 6^{n}}-a^{6^{n}}+1$ đều có dạng $6^{n+1} k+1$ với $k$ là số nguyên dương.
10. Với $N$, $k \in \mathbb{N}^{*}$ và $N \geq 3$, xét kết quả: Tồn tại tập hợp $S$ gồm $N$ số phân biệt và họ $k$ tập hợp phân biệt $S_{1}, S_{2}, \ldots, S_{k}$ thỏa mãn đồng thời các tính chất
    • Với mỗi $i \in\{1 ; 2 ; \ldots ; k\}, S_{i}$ chứa ít nhất ba số thuộc $S$.
    • Với ba số phân biệt thuộc $S$, tồn tại duy nhất $i \in\{1 ; 2 ; \ldots ; k\}$ mà $S_{i}$ chứa ba số đó.
    Chứng minh rằng
    a) Khi $(N ; k)=(5 ; 7)$ thì kết quả nêu trên là đúng.
    b) Khi $(N ; k)=(12 ; 210)$ thì kết quả nêu trên là sai.