[Đáp Án] Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 9 Tỉnh Quảng Nam 2019-2020

1. a) Cho hai số thực dương phân biệt $a$, $b$. Xét hai biểu thức $$A=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}},\quad B=\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}-b^{2}}.$$ Rút gọn biểu thức $A$ và tính $B$ theo $A$.
   b) Cho phương trình tham số $m$ sau $$x^{2}-3(m+1) x+2 m^{2}+7 m-4=0.$$ Tìm $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt sao cho bình phương của một nghiệm bằng ba lần nghiệm còn lại.
2. a) Giải phương trình $$4 x^{2}-2 x-10-5 \sqrt{2 x-1}=0.$$ b) Giải hệ phương trình $$\begin{cases}y^{3}-2 x^{3}+3 x^{2} y-3 x y^{2} &=0 \\ x^{2} y^{2}-4 x^{2} y-y^{2}-8 x+8 y+4 &=0\end{cases}$$
3. Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $A C=2 A B$, $H$ là chân đường cao vẽ từ $A$ của tam giác $A B C$, $D$ là trung điểm của $H C$.
   a) Chứng minh tam giác $A D H$ vuông cân.
   b) Gọi $F$ là trung điểm $A C$, dựng hình vuông $A B E F$. Chứng minh tứ giác $A B E D$ nội tiếp trong đường tròn và tính diện tích tam giác $A D E$ khi $A B=2cm$.
4. Cho nửa đường tròn tâm $O$, đường kính $A B=2 a$, $H$ là điểm nằm trên đoạn thẳng $O A$ sao cho $H A=2 H O$. Đường thẳng vuông góc với $A B$ tại $H$ cắt nửa đường tròn đã cho tại $C$. Hạ $HP$ vuông góc với $A C$ tại $P$, $H Q$ vuông góc với $B C$ tại $Q$.
   a) Chứng minh $O C$ vuông góc với $P Q$.
   b) Gọi $I$ là giao điểm của $O C$ và $P Q$. Tính độ dài đoạn thẳng $C I$ theo $a$.
   c) Lấy điểm $M$ trên tia đối của tia $B A$ ($M$ khác $B$), đường thẳng $M C$ cắt nửa đường tròn đã cho tại điểm thứ hai là $D$. Hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác $O A C$ và $O B D$ cắt nhau tại điểm thứ hai là $K$. Gọi $E$ là giao điểm của $A D$ và $B C$. Chứng minh bốn điểm $A$, $B$, $E$, $K$ cùng nằm trên một đường tròn và $K O$ vuông góc với $K E$.
5. a) Tìm số tự nhiên có $7$ chữ số đôi một khác nhau có dạng $n=\overline{\text { COVID19 }}$, biết $n$ chia hết cho $7$ và số $\overline{\text { COVID}}$ là số chính phương chia hết cho $5$.
   b) Cho hai số thực dương $a$, $b$ thỏa mãn $a^{2} b+a b^{2}+a b=a^{2}+b^{2}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$A=\frac{1}{a} \sqrt{1+\frac{a}{b}}+\frac{1}{b} \sqrt{1+\frac{b}{a}}.$$

DOWNLOAD ĐÁP ÁN