Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 12 Tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu 2020-2021

1. Giải phương trình $$\cos 2 x \cdot \sin x+2 \cos ^{3} x=\sin x+2 \cos x.$$
2. Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{9}$ trong khai triển nhị thức Niu-ton cùa $$\left(\frac{1}{x^{3}}+\sqrt{x^{3}}\right)^{n}$$ biết rằng $C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^{n}=7(n+3)$.
3. Cho hình nón đỉnh $S$ có đường cao $S O$. Gọi $A$ và $B$ là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ $O$ đến $A B$ bằng $a$ và $\widehat{S A O}=30^{\circ}$, $\widehat{S A B}=60^{\circ}$. Tính diện tích xung quanh của hinh nón.
4. Cho hinh chóp tứ giác đều $S . A B C D$ có cạnh đáy bằng $a,$ cạnh bên bằng $a \sqrt{2}$. Gọi $C^{\prime}$ là trung điểm cùa $S C$. Mặt phẳng đi qua $A C^{\prime}$ và song song với $B D$, cắt $S B$ tại $B'$ và cắt $S D$ tại $D'$. Tính thể tich khối chóp $S . A B'C'D'$.
5. Tìm tất cả giá tri thực của tham số $m$ để hàm số $y=\dfrac{x^{2}+2 x-m}{x-m}$ đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)$.
6. Cho hàm số $$y=\dfrac{2}{3} x^{3}+(m+1) x^{2}+\left(m^{2}+4 m+3\right) x$$ với $m$ là tham số thực. Tìm tất cà giá trị cùa $m$ để hàm số có hai điểm cực trị $x_{1}$, $x_{2}$ và biểu thức $A=x_{1} x_{2}-2\left(x_{1}+x_{2}\right)$ đạt giá trị nhỏ nhất.
7. Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông canh $a$, $S A$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$ và $S A=a$. Gọi $I$ là trung điểm của $S D$. Tính khoàng cách giữa hai đường thằng $S B$ và $C I$.
8. Cho hinh lăng trụ $A B C . A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ có đáy $A B C$ là tam giác đều cạnh $a$, $A A^{\prime}=a$. Hình chiếu của đỉnh $A$ trên mặt phằng $\left(A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\right)$ trùng với trung điểm của $A^{\prime} B^{\prime}$. Gọi $\varphi$ là góc giũa hai đường thằng $A^{\prime} B$ và $A C^{\prime}$. Tính $\cos \varphi$.
9. Cho hai số thực $x$, $y$ khác $0$, biết $$\left(\sqrt{x^{2}+1}+x\right)^{\frac{1}{y}}=\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)^{y-2}=\left(y^{2}+1\right)^{x}.$$ Tính giá trị cùa biểu thức $$P=2^{x}-2^{-x}-2 x+2^{y}-2^{-y}-2 y.$$
10. Giải phương trình $$\log _{4} x^{2}+\log _{2}(5-x)=\log _{8}(3 x+1)^{3}.$$
11. Cho hàm số $y=x^{3}-3 x^{2}+1$ có đồ thị $(C)$, đường thẳng $(d): y=m x+1$ và điểm $K(3 ; 10)$. Tim tất cả giá trị thực của tham số $m$ sao cho $(C)$ và $(d)$ cắt nhau tại ba điểm phân biệt $A$, $B$, $C$ trong đó $A(0 ; 1)$ và trọng tâm của tam giác $K B C$ nằm trên đường thẳng $y=2 x+3$. 
12. Tìm tất cả giá trị thực của $m$ để hàm số $$y=2\ln(x+1)-(m+1)\ln(2-x)-m^ 2x$$ đạt cực tiểu tại điểm $x=1$.
13. Giải hệ phưong trình $$\begin{cases}x^{3}-y &=\sqrt[3]{x+y} \\ y+3 &=x+2 \sqrt{x}\end{cases}$$
14. Chọn ngẫu nhiên ba số đôi một khác nhau từ tập hơp $\{1 ; 2 ; 3 ; \ldots ; 100\}$ gồm $100$ số nguyên dưong đầu tiên. Tính xác suất chọn được ba số là độ dài ba cạnh của một tam giác.
15. Cho khối lăng trụ $A B C . A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ có $A B=A C=a$, $B C=a \sqrt{3}$. Các đường thẳng $B B^{\prime}$, $B A^{\prime}$, $C A^{\prime}$ cùng tạo với mặt phằng $(A B C)$ một góc $60^{\circ}$. Điểm $M$ nằm trên cạnh $A A^{\prime}$. Mặt phẳng $(\alpha)$ qua $M$ và song song với $(A B C)$ lần lượt cắt các đoạn thẳng $A B^{\prime}$, $B C^{\prime}$, $C A^{\prime}$ tại các điểm $D$, $E$, $F$. Biết rằng thể tích khối tứ diện $A^{\prime} D E F$ bằng $\dfrac{1}{18} a^{3}$. Hãy tính tỉ số $\dfrac{M A}{M A^{\prime}}$.
16. Xét ba số thực dương $a, b, c$ thay đổi. Tìm giá trị nhó nhất của biểu thức $$P=\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}+\frac{4}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+1}}.$$